Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Константы связанысоотношением F ( x 0 , y 0 , y 0 , y 0,..., y 0( n1) , y 0( n ) )  0 . Вместо общегорешения может быть получена его неявная форма — общий интеграл:( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0 .По общему решению или по общему интегралу можно получить решение задачи Коши после определения константC1 , C2 ,..., Cn из алгебраических систем, полученных последовательным ( n 1) -кратным дифференцированием его по x , считаяпри этом y функцией x , после подстановки в производныеначальных данных. Приведем систему для случая общего решенияв явном виде:76 ( x0 , C1 , C2 ,..., Cn )  y0 , ( x0 , C1 , C2 ,..., Cn )  y0 ,..................( n 1) ( x0 , C1 , C2 ,..., Cn )  y0( n 1) .(8.1)В случае общего интеграла аналогичная алгебраическая система имеет вид ( x0 , y0 , C1 , C2 ,..., Cn )  0,        y0  0,  x 0   y 0  2   2   2  2   2yy0   2 0  y0  0, (8.2)2   y 0  x 0  x y 0  y 0.....................................  n 1    ( n 1)  x n 1   ...

   y  y0  0.00После определения C1 , C2 ,..., Cn из этих систем и подстановки их соответственно в общее решение или в общий интеграл получим решение задачи Коши.Замечание. Способ получения из каждой конкретной системы констант C1 , C2 ,..., Cn , как и возможность их получения, —предмет исследования в каждом конкретном случае.Замечание. По известному общему решению или известномуобщему интегралу можно восстановить само дифференциальноеуравнение n -го порядка.

Процедура решения этой обратной задачи приведена в начале курса, когда дается определение общего интеграла.8.2. Промежуточные и первые интегралыПромежуточным интегралом дифференциального уравненияF ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0называется соотношение вида ( x, y, y ,..., y ( k ) , Ck 1 , Ck 2 ,..., Cn )  0,77(8.3)если после (n  k ) -кратного его дифференцирования по x , считаяпри этом y функцией x , и исключения из полученной системыCk 1 , Ck 2 ,..., Cn придем к исходному дифференциальному уравнению. Приведем упомянутую систему: ( x, y , y ,..., y ( k ) , Ck 1 , Ck 2 ,..., Cn )  0,  ( k 1)y y   ... y 0,x y y y (k ) 2 2 22y2y   ... x2 x y x y  2 2 ( k 2)y   ...

y   ... y 0,2yy y(k )(8.4)...................................... n k ( n ) ... y  0.n kx y(k )При k  n 1 промежуточный интеграл называется первыминтегралом: ( x, y, y ,..., y ( n1) , C)  0 .(8.5)Он содержит одну константу.Знание промежуточного, в частности первого, интеграла сводит задачу к интегрированию дифференциального уравнения болеенизкого порядка k  n , в случае первого интеграла ( n 1) -го порядка, т.

е. к более простой задаче.Знание двух разных первых интегралов 1 ( x, y, y ,..., y ( n1) , C1 )  0 , 2 ( x, y, y ,..., y ( n1) , C2 )  0позволяет после исключения y ( n 1) получить промежуточный интеграл с двумя константами: ( x, y, y ,..., y ( n2) , C1 , C2 )  0 .Знание n разных первых интегралов 1 ( x, y, y ,..., y ( n1) , C1 )  0 ,78 2 ( x, y, y ,..., y ( n1) , C2 )  0 ,(8.6)................. n ( x, y, y ,..., y ( n1) , Cn )  0позволяет после исключения y , y ,..., y ( n1) получить общий интеграл(8.7) ( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0 .Пример 1. Пусть первые интегралы некоторого дифференциального уравнения имеют видy cos x  y  sin x  C1  0 ,y sin x  y  cos x  C2  0 .Исключая y  , получим общее решениеy  C1 cos x  C2 sin x ,которое соответствует дифференциальному уравнениюy   y  0 .8.3.Решение задачи Коши для уравнения () = ()Интегрируя дифференциальное уравнение от x 0 до x , получимxy( n 1)y( n 1)0  f ( x )dx .x0Далееy( n 2)y( n 2)0y( n 1)0xxx0x0( x  x 0 )   dx  f ( x )dx .После n -кратного интегрирования получим( x  x0 )2y  y0  y0 ( x  x0 )  y02! y0( n 2)( x  x0 )n2( x  x0 ) n1 y0( n 1)  dx  dx(n  2)!(n  1)!x0x0xxx f ( x)dx.x0В последнем выражении n -кратный интеграл дает решениезадачи Коши при специальных начальных условиях:79y 0  y 0  y 0 ...

 y 0( n 2)  y 0( n1)  0 .Этот интеграл можно преобразовать к однократному, изменяя порядок интегрирования. Рассмотрим сначала случай n  2 .На рис. 8.1 область интегрирования заштрихована. Имеемxx0x0y   d  f ( z )dz xxx0z f ( z)dz  d ,xy   ( x  z ) f ( z )dz .(8.8)x0Рис. 8.1Полученная формула при n  2 называется формулой Дирихле. Формулу при произвольном n  2 докажем методом математической индукции:x1y( x  z )n 1 f ( z )dz .( n  1)! x0(8.9)При n  2 формула уже доказана — это формула Дирихле.Пусть она справедлива при n  k 1 . Тогда, предполагая, что после (k  1) -го кратного интегрирования получим(  z )k  2 (k  2)! f ( z )dz ,x0переставляя порядок интегрирования, имеем80x(  z ) k  2(  z ) k  2f ( z )dz   f ( z )dz d (k  2)!(k  2)!x0x0zx d x0xx1( x  z ) k 1 f ( z ) dz.(k  1)! x0Полученное выражение для n -кратного интеграла при произвольном n  2 носит название формулы Коши.8.4.

Краевые задачиПри определении частного решения дифференциальногоуравнения n -го порядкаy ( n )  f ( x , y, y ,..., y ( n1) )или F( x, y, y ,..., y ( n1) , y ( n ) )  0по общему решению или общему интегралуy   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,  ( x, y, C1 , C2 ,..., Cn )  0в задаче Коши в одной точке x  x 0 задается n начальных условий:y ( x 0 )  y 0 , y ( x0 )  y0 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1) .Эти начальные условия определяют n констант.Однако при n  2 возможны другие способы задания условий на функцию и ее производные, например, в двух разных точках x 0 и x1 .

Количество задаваемых параметров остается прежним. Для такого вида задач, называемых краевыми, существованиеи единственность их решения часто не имеет места даже в случаеочень простых дифференциальных уравнений с простыми краевыми условиями.Пример 2. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнениеy   y  0   1.4с краевыми условиями y( 0)  0 , y Общим решением уравнения являетсяy  A cos x  B sin x .81Краевые условия определяют линейную алгебраическую систему для нахождения констант. ИмеемA 1  B  0  0, A  0, B  2  y  2 sin x.11AB 1,22Решение задачи существует и единственным образом определяется краевыми условиями (см. рис. 8.2).Рис.

8.2Рис. 8.3Пример 3. Рассмотрим то же уравнение, но при других краевых условиях.y(0)  0, y( )  1.Проведя аналогичные выкладки, получимA  1  B  0  0, A  0 , 0  1.A( 1)  B  0  1,Решение краевой задачи не существует при заданных краевых условиях (см. рис. 8.3).Пример 4. При решении краевой задачи для того же уравнения с краевыми условиямиy(0)  0, y( )  0реализуется третья возможность — нарушение единственности.ИмеемA 1  B  0  0,A(1)  B  0  0, A  0, B — любое, y  B sin x.Решение задачи существует, но нет единственности при данных краевых условиях (см. рис. 8.4).82Рис. 8.4Краевые задачи находят широкое приложение. В частности,задача определения кривой, соединяющей точки x 0 , y 0 и x1 , y1 ,при которой достигается минимум или максимум функционалаx1 F ( x, y(x ), y (x ))dxx0среди всех допустимых кривых, соединяющих эти точки (см.рис.

8.5).Рис. 8.5Рис. 8.6В математической физике решаются так называемые задачина собственные значения — найти нетривиальное (т.е. не равноетождественно нулю) решение и значение параметра, при которомсуществует решение уравнения, удовлетворяющее однородным(т.е. нулевым) условиям.83Пример 5. Рассмотрим краевую задачу, содержащую параметр  , как коэффициент дифференциального уравнения:y   2 y  0 , y( 0)  0 , y(1)  0 , y  A cos  x  B sin  x .Решение алгебраической системы определяет значение параметра  , при котором существует нетривиальное решение:A 1  B  0  0,A cos   B sin   0, A  0, sin   0,    n, n  1, 2,3,В итоге определено счетное множество значений параметра , n   n , так называемых собственных значений, и соответствующих им функций — собственных функций yn  sin  nx (см.рис.

8.6).Собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя, не равного нулю, выше он был выбран равнымединице.8.5. Краевая задача Штурма–ЛиувилляРассмотрим следующую краевую задачу, называемую задачей Штурма–Лиувилля:d d Ly     p  x    q  x   y   r  x  y  0 ,dx  dx (8.10)p  C1[ x0 , x1 ], q  C[ x0 , x1 ], r  C[ x0 , x1 ] x  [ x0 , x1 ] p  0, q  0, 0 y( x0 )  0 y( x0 )  0, |  0 |  | 0 | 0,1 y( x1 )  1 y ( x1 )  0,| 1 |  | 1 | 0.Краевые условия подобного типа называются однородными.Требуется найти такие значения параметра  , при которыхкраевая задача имеет нетривиальное решение.

Такие значения параметра  называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями. В силу однородности уравнения собственная функция определяется с точностью до множителя, отличного от нуля.Теорема. Каждому собственному значению отвечает только одна собственная функция.84Доказательство проведем методом от противного.Пусть имеются две собственные функции y1  x  и y2  x  .Имеем  py1   qy1   ry1 ,  py2   qy2   ry2 .Умножим первое уравнение на y2 , второе уравнение на y1 ивычтем из первого уравнения второе.

Получим py2  y1   py1  y2   p  y2 y1  y2 y1    0,p  y2 y1  y2 y1   C .Из краевых условий следует пропорциональность в концевыхточках y  и y , и либо y  выражается через y , либо y через y с одинаковыми коэффициентами пропорциональности для обеихсобственных функций. ПоэтомуC  0,y2 y1  y1 y2  0,d  y2    0,dx  y1 y2  Ay1 или y1  By2 .Теорема доказана.8.6. Решение неоднородного линейного уравненияс помощью функции ГринаПусть при   0 краевая задача Штурма–Лиувилля не имеетсобственных функций, т.е. не существует нетривиального решенияуравнения py  qy  0 , отвечающего обоим однородным крае-вым условиям.

Характеристики

Список файлов лекций