Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

е. аргумент и функция могут меняться местами. При этом проверку на непрерывность f ( x, y) и f ( x, y )yможно при нарушении условий непрерывности дополнить проверкой на непрерывность1 f ( x, y )и, т. к. в дифференциf ( x, y )xальном уравненииdx1 ,dy f ( x, y)  x  f ( x, y )1 x . 2f ( x, y) f ( x, y)58Пример 1.dy M ( x, y), M ( x0 , y0)  0 , N ( x0 , y0)  0.dx N ( x, y )Одновременно нарушается непрерывность иf ( x, y) , и1dy 2 y. В частности,, y  Cx 2 , и точка (0,0) — осоf ( x, y )dxxбая, нарушается единственность решения, все кривые семействаимеют в точке (0,0) общую касательную (см.

рис. 6.1).Рис. 6.1Рис. 6.2Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение:dy 3 ( y  x) 2  2 .dxПриведем для справки его общий интеграл:x C.( y  x)1/ 3  arctg( y  x)1/ 3 3Частная производнаяf 2 ( y  x)1/3y 3и прямая y  x — кандидат в особую кривую. Но, как следует изанализа поля направлений, y  x не является особой кривой (см.рис. 6.2).59Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение, почтисовпадающее с уравнением предыдущего примера:dy 3 ( y  x) 2  1 .dxДадим для справки его общее решение:x  C y  x  ( x  c),.( y  x) 273В этом случае прямая y  x касается всех кривых семейства,являясь их огибающей.

Кривая y  x — решение дифференциального уравнения, его особое решение (см. рис. 6.3).31/ 3Рис. 6.3В случае дифференциального уравнения, не разрешенногоотносительно производнойF ( x, y, y)  0 ,подлежат проверке точки, где нарушается непрерывностьF  x, y, y  ,F  x, y, y  F  x, y, y ,,yyа также нарушается условиеF 0 . Эти точки подлежат проверкеy — они кандидаты в особые.606.1. p-дискриминантные кривыеРассмотрим системуF ( x, y , y )  0,(6.1) F ( x, y , y ) 0. yЕсли исключить из нее y  , то полученная кривая называетсяp -дискриминантной кривой ( x, y)  0 . Если при этомFyко-нечна, то p -дискриминантная кривая исчерпывает все множествоособых кривых — выполняется необходимое условие особой кривой.Если какая-либо ветвь y   (x) кривой ( x, y)  0 является интегральной кривой, то эта кривая — «кандидат в особое решение», но осталось еще проверить, является ли кривая решениемособым и даже вообще решением.Пример 4.

Рассмотрим уравнениеy  2 xy  y2 .Приведем для справки его параметрическое решение:y  2 xp  p 2 ,xC 2 p.p2 3Из системыy  2 xy  y2 ,2 x  2 y  0найдем p -дискриминантную кривую y  x . Эта кривая не является ни особым решением, ни вообще решением. Интересно отметить, что y  0 является решением уравнения, но оно не входит вобщее решение и не является особым.2616.2. C-дискриминантные кривыеЕсли ( x, y, C )  0 является общим интегралом дифференциального уравнения и у интегральных кривых этого семействаесть огибающая, то она обязательно является особым решением,так как нарушается единственность, а y  отвечает полю направлений в каждой точке огибающей (см.

рис. 6.4).Рис. 6.4Если из системы ( x, y, C )  0,(6.2)  x, y, C 0Cисключить C , то полученная кривая  ( x, y)  0 называетсяC-дискриминантной кривой. Среди этих кривых могут оказатьсяогибающие. При фиксированном C вдоль интегральной кривойполучимd dx  dy  0 .xyЕсли кривая — огибающая, то в каждой своей точке она совпадает с одной из кривых семейства, т.е. отвечает определенномузначению C  C ( x, y) . Для огибающей имеем ( x, y, C ( x, y))  0 .Возьмем дифференциал для огибающейd dx dy dC .xyC62Касательные к огибающей и к кривой семейства совпадают,если коэффициент перед dC обратится в нуль.

Необходимо, чтобы0.CПриведем достаточные условия того, чтобы C -дискриминантная кривая была огибающей — это условие того, чтобы криваяне имела особенностей (достаточные условия):2     (6.3)0 .  x   y Однако при нарушении, например, одного из этих условий,кривая все же может оказаться огибающей.Пример 5. Рассмотрим уравнение48 3y  x  y 2 y .927Методом введения параметра найдем его общий интеграл2( y  C ) 2  ( x  C )3 .Система уравнений для определения C -дискриминантныхкривых имеет вид( y  C ) 2  ( x  C )3 ,2( y  C )  3( x  C ) 2 .C -дискриминантных кривых две:4y  x, y  x.27Первая является огибающей (см. рис.

6.5). Вторая — такназываемое геометрическое место точек возврата, на ней выполняется C  x  y и нарушается достаточное условие огибающей,т.к.C  x  y,  0.x yЭти же кривые можно получить и как p -дискриминантныекривые.Пример 6. Рассмотрим уравнение63y  5 y 4/5 .Если записать его решение в форме y  x  C , то C -дискриминантную кривую найти нельзя. Действительно, если записать1/5интеграл в виде y  x  C  0 , то1  0 .C1/5Рис. 6.5Рис. 6.6Однако при этой записине существует приyy  0 . Придругой форме решения, когда существуют все частные производные, y  ( x  C ) и C -дискриминантная кривая, являющаяся огибающей, легко находится. Это y  0 (см.

рис. 6.6).Пример 7. В данном примере огибающая является одновременно геометрическим местом точек возврата, т.е. кратных точеккривых (см. рис. 6.7):2y  y1/ 3 , y 2 / 3  x  C ,35y 2  ( x  C)3 , y  0.Пример 8. Рассмотрим уравнениеy2  y3  0,общим решением которого являетсяy4.( x  C )264Рис. 6.7Рис. 6.8Кроме того, имеется еще частное решение y  0 , не входящее в общее. Это решение не является особым, кривые из общегорешения его не касаются. Формально y  0 является p -дискриминантной кривой (см. рис. 6.8).Пример 9. Рассмотрим пример уравнения, когда появляютсяточки другого типа, также являющиеся особыми:y2 ( x  y)2 1  2 y  ( x  y)2 1  0.Общее решение этого уравнения приводить не будем. Исследуем результаты проведенного анализа. Кривыеx y  2являются огибающими семейства решений, а следовательно, особыми решениями.

Кривая x  y представляет собой геометрическое место так называемых точек прикосновения. В этих точкахпроисходит касание двух кривых одного семейства и эти точки являются особыми. Эта особая кривая не входит в C -дискриминантные кривые, но является p -дискриминантной кривой (см.рис. 6.9).Пример 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение2 y3  xyy  2 y 2  0,общее решение которого имеет видCy  ( x  2C ) 2 .465y  0 является огибающей и одновременно входит в общее реше-ние приC  0 . Имеется и еще одна огибающаяx3y54(см. рис. 6.10).Рис.

6.9Рис. 6.10Пример 11. В следующем дифференциальном уравнении(2 xy  y)2  4 x3  0появляются точки нового типа — точки самопересечения кривыхиз семейства решений y  x( x  C ) . Эти точки называются узловыми, их геометрическое место y  0 . Единственность нарушаетсяпри x  y  0 (см. рис. 6.11).22Рис. 6.1166§7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВЫСОКОГО ПОРЯДКАДля дифференциального уравнения n -го порядка, n  2 , вопросы существования и единственности решения задачи Коши решаются в случае уравнения, разрешенного относительно старшейпроизводнойy(n)  f ( x, y, y,, y( n1) ),(7.1)путем сведения этого уравнения к нормальной системе, что всегдавозможно.

Для этого введем обозначения для первых (n 1) производныхy  y1 , y  y2 ,, y ( n1)  yn1.Получим системуy  y1 ,y1  y2 ,(7.2)yn  2  ym 1 ,yn 1  f ( x, y, y1 , y2 ,, yn 1 ).Условия теоремы существования и единственности выполняются при непрерывности функции f по всем аргументам и выполнении условия Липшица по ( y, y1 , , yn1 ) или, в частности,при ограниченности частных производных по этим переменным.Как и всякая общая теорема существования и единственности, иэта теорема носит локальный характер, т.е. требования к f выполняются в окрестности точкиx0 , y0 , y0 , y0, , y0( n1) , а решениянаходятся в окрестности точки x0 .В случае дифференциального уравнения n -го порядка, неразрешенного относительно старшей производнойF ( x, y, y,, y ( n) )  0,67(7.3)добавляется достаточное условие его разрешимости относительноy(n) ,F 0 и, разумеется,y ( n )F ( x0 , y0 , y0 , y0,гдеy0( n ), y0( n1) , y0( n) )  0,— один из корней уравненияF ( x0 , y0 , y0 , y0,, y0( n1) , y0( n) )  0.7.1.

Понижение порядка дифференциальногоуравненияВозможность понизить порядок дифференциального уравнения позволяет свести решение исходной задачи к последовательному решению принципиально более простых задач. Рассмотримнесколько типов задач, допускающих понижение порядка.7.1.1. Уравнение, не содержащее yПусть уравнение не содержит y и, быть может, еще несколько производных:F ( x, y ( k ) ,..., y ( n) )  0 .(7.4)Проведем замену y ( k )  z .

Характеристики

Список файлов лекций