Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Проведем выкладки:1kaeмалости),k  t  k(учитываем лишь слагаемые основного порядка k t    , t   aa, и разность et  равнаea1e  ea  ka  ak e  e  e  1      .1Доказательство закончено.961eat  §9. ЛИНЕЙНЫЕУРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ.ОБЩИЕ СВОЙСТВАУравнение видаL  y   y   a1  x  ynn 1 ...  an1  x  y  an  x  y  f  x  ,(9.1)k где входящие в него коэффициенты перед y и функция в правойчасти непрерывны на некотором промежутке, а само решение n разнепрерывно дифференцируемо на этом промежутке:ai  x   C  x1 , x2  ,i  1, 2,,n;f  x   C  x1 , x2  , y  x   C n  x1 , x2  ,называется линейным дифференциальным уравнениемn -го поряд-ка, причем если f  x   0 , то уравнение называется линейным однородным, а при f  x   0 — линейным неоднородным.y nОбычно рассматриваются уравнения с коэффициентом при, равным единице, так как если этот коэффициент, обозначае-мый обычно a0  x  , не равен нулю ни в одной точке промежутка x1 , x2  и непрерывен в нем, то на него можно поделить, а если онобращается в ноль в какой-либо точке промежутка, то в этой точкеимеется особенность — уравнение перестает быть уравнением n го порядка.

Определение решения в окрестности подобных точек— предмет специального исследования.Замечание. Вместо открытого промежутка  x1 , x2  могутбыть рассмотрены замкнутый интервал  x1 , x2  или даже вся действительная ось.979.1. Замена переменныхЛинейность уравнения, а в случае линейного однородногоуравнения и однородность сохраняются при следующей замене аргумента:x    t  ,   t   C n  t1 , t2  , t   t1 , t2  :    t   0 .Действительно,dy dydx dtd 2 y d  1 dy  dx 2 dt     t  dt dx1 dy,dt    t  dtdx  d 2 ydy  2    t      t    3  t  ,dt  dtdtdk yи производная k -го порядкаявляется линейной однороднойdt k2dk ydy d yкомбинацией производных ,.2 , …,dt kdt dtЛинейность и однородность уравнения сохраняются при следующей замене функции:y  x     x  z  x  ,   x   C n  x1 , x2  .Действительно, по формуле Лейбница для производной отпроизведения функций получимky     Cki z    x  kik i  x ,i 0и производная yk является линейной однородной функцией отk z , z  , z , …, z .

Свойства линейности и однородности относительно z , z  , z  , …, z   сохраняются и у всей левой части дифференциального уравнения:L  y   0  L  z   0 .nПри заменеy  x     x  z  x     x  ,   x   C n  x1 , x2  ,   x   C n  x1 , x2 сохраняется лишь линейность уравнения.989.2. Общие свойства решений линейных уравненийПусть функция y  x   Y  x  является некоторым частнымрешением линейного неоднородного уравненияL  y  f  x  ,L Y  x    f  x  .

Тогда, представляя y  Y  x   z  x  , получимL Y  z   L Y   L  z   f  x  , L  z   0 , т.е. z  x  удовлетворяетлинейному однородному уравнению.Поэтому общее решение линейного неоднородного уравнения равно частному решению линейного неоднородного уравненияплюс общее решение линейного однородного уравнения.Если y1  x  и y2  x  — решения однородного уравненияL  y   0 , то его решениями также будут y1  x   y2  x  и Cy1  x  ,так какL  y1  y2   L  y1   L  y2   0 , L Cy1   CL  y1   0 .Если y1  x  , y2  x  , …, yk  x  — различные решения линейного однородного уравнения, то его решением будет и их линейная комбинацияC1 y1  x   C2 y2  x   ...

 Ck yk  x  :L C1 y1  C2 y2  ...  Ck yk   C1L  y1   C2 L  y2   ...  Ck L  yk   0 .Здесь константы являются независимыми, если независимырешения y1  x  , y2  x  , …, yk  x  , т.е. никакое из них нельзя выразить через линейную комбинацию остальных. Максимально возможное число независимых констант n , и общее решение однородного уравнения n -го порядка имеет видy  x   C1 y1  x   C2 y2  x   ...  Cn yn  x  .(9.2)Дадим строгое определение линейно зависимых и линейнонезависимых на промежутке  a, b  функций, не связанных с возможностью выразить какую-либо конкретно через остальные.99Функции y1  x  , y2  x  , …, yk  x  называются линейно зависимыми на отрезке  a, b  , если существуют такие постоянные1 ,  2 , …,  k , из которых хотя бы одна не равна нулю, что тож-дественно на  a, b  выполняется1 y1  x    2 y2  x   ...

  k yk  x   0 .Если тождество справедливо лишь при 1   2  ...   k  0 ,то такие функции называются линейно независимыми на  a, b  .Замечание. Определения остаются справедливыми и длядругих промежутков (a, b) , [a, b) , (a, b] , (,  ) и т.п.Если y1  x  , y2  x  ,…, yn  x  — линейно независимые решения однородного уравнения, а Y  x  — частное решение неоднородного уравнения, то общее решение неоднородного уравненияимеет видy  x   C1 y1  x   C2 y2  x   ...  Cn yn  x   Y  x  . (9.3)Если правая часть неоднородного уравнения является суммойf  x   f1  x   f 2  x  ,а y1 и y2 — решениями неоднородных уравненийL  y1   f1  x  , L  y2   f 2  x  ,тосуммаэтихL  y  f  x  :решенийявляетсярешениемуравненияL  y1  y2   L  y1   L  y2   f1  x   f 2  x   f  x  .В общем случае справедлив так называемый принцип суперпозиции:L  y1   f1 , L  y2   f 2 , …, L  yk   f k ,L 1 y1  2 y2  ...

  k yk   1L  y1   2 L  y2   ...  k L  yk   1 f1  2 f 2  ...   k f k .100Аналогичными свойствами обладают линейные системы.Рассмотрим нормальную линейную систему, то есть разрешеннуюотносительно производных. Векторно-матричная запись этой системы имеет видx  A t  x  f t  ,(9.4)где A  t  — матрица вида a11  t  a12  t a21  t  a22  t A t    ...... an1  t  an 2  t ...

a1n  t  ... a2 n  t  ....... ... ann  t  Ее элементы — непрерывные на некотором промежутке t1 , t2  функции aij  t   C t1, t2  . Функции f  t  , x  t  , x  t  являются вектор-функциямиf1  t   x1  t   x1  t  x2  t  f2 t   x2  t  , x t  , x t   . ... ...  x t  xf n  t  tn n Элементы вектор-функции f  t  непрерывны на промежуткеf t    t1 , t2  , а элементы вектор-функции x  t  непрерывно дифференцируемы на  t1 , t2  :fi  t   C  t1 , t2  , xi  t   C1  t1 , t2  .Замечание.

Вместо открытого промежутка нормальная система может быть рассмотрена на отрезке [t1 , t2 ] или на всей оси.Если z  t  — решение неоднородной системы, то, представ-ляя x  z  y , получимx  z  y  A  z  y   f  Az  Ay  f , y  Ay ,101и y — решение однородной системы (при f  0 нормальная система называется однородной, в противном случае — неоднородной).Общее решение нормальной линейной неоднородной системы равно частному решению этой системы плюс общее решениесоответствующей однородной системы.Если x1 и x2 — решения однородной системы, то x1  x2 иCx1 — тоже ее решения.

Действительно,x   x1  x2   x1  x2  Ax1  Ax2  A  x1  x2   Ax ,x   Cx1   Cx1  CAx1  A Cx1   Ax .Аналогичным свойством обладает и произвольная линейнаякомбинация решений однородной системыx  C1 x1  C2 x2  ...  Ck xk .Если x1 , x2 , …, xk — ее решения, то таковым является ивыражение C1 x1  C2 x2  ...Ck xk . ПолучимC1 x1  C2 x2  ...  Ck xk  C1 x1  ...  Ck xk  C1 Ax1  ...  Ck Axk  A  C1 x1  C2 x2  ...

 Ck xk  .Общее решение однородной системы — произвольная линейная комбинация n независимых вектор-функций — решенийэтой системы:x  C1 x1  C2 x2  ...  Cn xn .(9.5)Определение линейной зависимости и линейной независимости на промежутке вводится вполне аналогично одномернымфункциям.Вектор-функции x1  t  , x2  t  , …, xk  t  называются линейно зависимыми на отрезке [a, b] , если существуют постоянные 1 , 2 , …,  k , не все равные нулю, такие, что на [a, b] тождественновыполняется1 x1   2 x2  ...   k xk  0 .Здесь под нулем в правой части понимается нулевой вектор.102Еслитождествона[ a , b]справедливолишьпри1   2  ...

Характеристики

Список файлов лекций