Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

При малых значениях h и  a    имеет место резонанс — амплитуда вынужденных колебаний становится большойвеличиной. Интересно отметить, что максимум амплитуды имеетместо не точно при a   , а при  2  a 2  2h2 .118§12. НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕУРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ.МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХВ случае произвольной правой части линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами какой-либо вариант метода неопределенных коэффициентов не подходит. Излагаемый ниже метод определения частного решения линейного неоднородного уравнения годится и для уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнениеL  y   y n   a1  x  y n1  ...

 an1  x  y  an  x  y  f  x  , (12.1)ai  x   C  a, b , i  1, 2,,n,f  x   C  a, b .Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения:y1 ( x), y2 ( x),yn ( x).Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет видy  C1 y1  x   C2 y2  x   ...

 Cn yn  x  .Попробуем найти решение неоднородного уравнения в тойже форме, но с коэффициентами, зависящими от x :y  x   C1  x  y1  x   C2  x  y2  x   ...  Cn  x  yn  x  . (12.2)Имеем n новых неизвестных функций, и на эти функциилишь одно условие — y  x  должно удовлетворять дифференциальному уравнениюL  y  f  x  .Остальные  n  1 условий можно задать произвольно. Этимпроизволом распорядимся так, чтобы получить «удобный» алгоритм поиска частного решения.Найдем первую производнуюy  x   C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn  y1C1  y2C2  ...  ynCn .119Потребуем (первое «искусственное» условие)y1C1  y2C2  ...  ynCn  0 .Найдем вторую производную с учетом предыдущего условияy  x   C1 y1  C2 y2  ...

 Cn yn  y1C1  y2C2  ...  yn Cn .Потребуем (второе условие)y1C1  y2C2  ...  yn Cn  0 .Продолжим процедуру. Для yy( n 1)( n 1)1 1 n 1( n 1)2имеем Cn yn( n1)  y1( n 2)C1  y2( n 2)C2  yn( n 2)Cn .C1  y2Cn  0 .( x)  C y C2 yПоследнее  n  1 -е условие, которым можно распорядиться,имеет видy1n  2n  2C2  ...  ynn  2Далее выпишем выражение для последней yy n n n n n1 C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn  y1nnnC1  y2n 1C1  y2 a1 ( x)  C1 y1( n1)  C2 y2( n1)  an1 ( x)  C1 y1  C2 y2 производной n1Подставим выражения для y, y, y,..., yренциальное уравнение, получимC1 y1   C2 y2   ...

 Cn yn   y1 nC2  ...  yn n1n 1, ynn 1Cn .в диффе-С2  ...  ynn 1 Cn yn( n1)  Cn  Cn yn   an  x  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn   C1  x  L  y1   C2  x  L  y2   ...  Cn  x  L  yn  0 n 1+ y10 n 1C1  y20 n 1C2  ...  ynCn  f  x  .Следствием является последнее уравнение для производныхn 1n 1n 1y1 C1  y2 C2  ...  yn Cn  f  x  .120Запишем итоговую систему алгебраических уравнений дляCnопределения C1 , C2 , …,— систему линейных относительноCi уравнений:y1C1  y2C2  ...  ynCn  0,y1C1  y2C2  ...  yn Cn  0,......................................y1 n 2C1  y2 n 2C2  ...

 yn n 2Cn  0,y1 n 1C1  y2 n 1C2  ...  yn n 1Cn  f  x  .(12.3)Исследуем эту систему на возможность ее однозначного решения. Определителем системы является так называемый определитель Вронского:W  x y1y1... n 1y1y2y2......yn...yn...... . n 1... yn n 1y2(12.4)В первой строке матрицы расположены функции, составляющие фундаментальную систему решений (ФСР), во второй строке— их первые производные и т.д. до  n  1 -го порядка включительно.Если n  1 a, b  a, b , тораз непрерывно дифференцируемые нафункции были бы линейно зависимы на промежуткеодна из них была бы линейной комбинацией остальных:yi  1 y1   2 y2  ...

 i 1 yi 1  i 1 yi 1  ...   n yn .Такой же линейной комбинацией, т.е. с теми же коэффициентами, будут все производные от этой функции:yi   1 y1    2 y2   ...  i 1 yi1  i 1 yi1  ...   n yn  ,kkkkkkk  1, 2,...,  n  1 .В итоге i -й столбец матрицы является линейной комбинацией остальных столбцов, т.е. столбцы матрицы оказываются линейно зависимыми и ее определитель — определитель Вронского —равен нулю, причем во всех точках промежутка  a, b  .121Докажем, что если y1 , y2 ,..., yn линейно независимы на a, b и являются решениями уравненияL  y  0 ,то на всем промежутке определитель Вронского отличен от нуля,т.е. не равен нулю при всех x   a, b ,W  x  0 .Отметим, что в отличие от случая линейной зависимости нафункции y1 , y2 , …, yn накладывается требование «большей гладкости» (непрерывны и n -е производные).

Доказательство произведем методом от противного. Пусть в некоторой точке x0 значениеW  x0   0 , x0   a, b .Запишем линейную однородную алгебраическую системуA1 y10  A2 y20  ...  An yn 0  0,  A2 y20  ...  An yn 0  0,A1 y10............................... n 1A1 y10 n 1  A2 y20 ...  An yn n01  0,( n 1)( n 1)где yi 0  yi ( x0 ) , yi0  yi( x0 ) , …, yi 0  yi ( x0 ) , i  1, 2, , n, и определитель этой системы есть определитель Вронского в точке x0 , W  x0  .Система однородная и имеющая нулевой определитель обязательно имеет, кроме тривиального, и нетривиальное решение.Пусть это нетривиальное решение будетA1 , A2 , , An ,где не все Ak равны нулю.

Составим выражениеy  x   A1 y1  x   A2 y2  x   ...  An yn  x  .Как линейная комбинация ФСР, y  x  тоже будет решениемисходного дифференциального уравнения L  y   0 . Это решение122удовлетворяет нулевым начальным условиям в силу записаннойвыше системы:y  x0   A1 y10  A2 y20  ...  An yn 0  0,  A2 y20  ...

 An yn 0  0,y  x0   A1 y10...................................n 1n 1n 1 n 1y    x0   A1 y10   A2 y20 ...  An yn 0   0.По теореме существования и единственности решения задачи Коши y  x   0 на  a, b  , т.к. это очевидное решение уравнения. Значит,y  x   A1 y1  x   A2 y2  x   ...

 An yn  x   0и функции y1 ( x) , y2 ( x) , …, yn ( x) линейно зависимы, что противоречит условию, что они составляют ФСР, а значит, линейно независимы.Итак, во всех точках промежутка W  x   0 , и систему можно однозначно разрешить относительноC1 , C2 , …,Cn .После выполнения квадратур найдем и сами функцииC1 , C2 , …,Cnс точностью до произвольных константCi  Fi  x  ,Ci   Fi  x  dx   i , i  1, 2,, n.В итоге решение неоднородного дифференциального уравнения запишется в видеnni 1i 1y  x     i yi  x    yi  x   Fi  x  dx .Здесь первое слагаемое — общее решение соответствующегооднородного уравнения, а второе — частное решение неоднородного.Пример 1.

Найти общее решение уравненияy  y 1.cos xОбщее решение однородного уравнения имеет вид123y  C1 cos x  C2 sin x .Правая часть уравнения отлична от квазимногочлена. Поэтому его решение ищем методом вариации постоянных:y  C1  x  cos x  C2  x  sin x .Запишем систему уравнений для C1 , C2 :C1 cos x  C2 sin x  0,1C1 sin x  C2 cos x .cos xРешение этой системы имеет видC1  sin x, C2  1 .cos xИнтегрируя, найдемC1  ln cos x  A1 , C2  x  A2 .Общее решение исходного уравнения имеет видy  A1 cos x  A2 sin x  cos x ln cos x  x cos x .12.1. Решение неоднородного уравнения с помощьюфункции влиянияРассматриваемый ниже метод определения специальногочастного решения линейного неоднородного уравнения применимв общем случае линейного уравнения с переменными коэффициентами при произвольной правой части и носит название методаКоши.Рассмотрим дифференциальное уравнениеnn 1L  y   y   a1  x  y    ...

 an1  x  y  an  x  y  f  x  ,f  x   C  a, b  , ai  x   C  a, b  , i  1, 2,,n.Пусть известно частное решение однородного уравненияL  y  0 ,зависящее от параметра s :y  K  x, s  , Lx  K  x, s   0124(12.5)(индекс « x » у L показывает, что оператор дифференцированияотносится к переменной x при фиксации s как параметра) и удовлетворяющее специальным начальным условиямK  s, s   K x  s, s   ...

 K xn  2 s, s   0 , n 1Kx s, s   1 .(12.6)Докажем, что частное решение неоднородного уравнения,удовлетворяющее нулевым начальным условиямn 1y  x0   y  x0   ...  y    x0   0 ,можно найти по формулеxy  x    K  x, s  f  s  ds ,(12.7)x0где функция K  x, s  носит название функции влияния. Она вычисляется один раз для заданного дифференциального оператораL[ y ], а затем используется для любой правой части с помощьюпростых квадратур. Найдем выражения для производных:xxy( x)  K ( x, x) f ( x)   K x ( x, s ) f ( s ) ds 0x0 K  ( x, s) f (s)ds,xx0xy( x)  K x ( x, x) f ( x)   K x( x, s ) f ( s ) ds x00x K ( x, s) f (s)ds,xx0xy ( n 1) ( x)  K x( n  2) ( x, x) f ( x)   K x( n 1) ( x, s ) ds x00y(n)( x)  K( n 1)xxK( n 1)x( x, s ) ds ,x0x( x, x) f ( x)   K x( n ) ( x, s ) f ( s ) ds x01xK(n)x( x, s ) f ( s )ds  f ( x ).x0Подставим выражения для функции и ее производных вдифференциальное уравнение.

Характеристики

Список файлов лекций