Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Получим125xL[ y ]   [ K x( n ) ( x, s)  a1 ( x) K x( n 1) ( x, s) x0 an 1 ( x) K x ( x, s)  an ( x) K ( x, s)] f ( s) ds  f ( x) x  Lx  K ( x, s )  f ( s)ds  f ( x)  f ( x).x00Выполнимость начальных условий следует непосредственноиз выражений для y  x  и ее производных в силу совпадения в интегралах верхнего и нижнего пределов интегрирования:n 1y  x0   y  x0   ...  y    x0   0 .Пример 2. Рассмотрим уравнение колебаний и получим егорешение при нулевых начальных данных с помощью функции влияния.

Общее решение однородного уравнения, зависящее от параметра, имеет видy  a 2 y  f  x  , K  x, s   A  s  cos ax  B  s  sin ax,где параметр s влияет на коэффициенты общего решения. Найдемэти коэффициенты, используя начальные условия. Имеем A  s  cos as  B  s  sin as  0,aA  s  sin as  aB  s  cos as  1,и для функции влияния получимK  x, s  A s  sin ascos as, B s ,aasin a  x  s .aНаконец, само решение, удовлетворяющее начальным условиям, дается формулойx1y  x    sin a  x  s  f  s  ds .a x0Дадим наглядную физическую интерпретацию для функции влияния.

В дифференциальном уравненииy   p1  t  y nn 1 ...  pn  t  y  f  t 126функцию f  t  можно рассматривать как некоторую «силу», действующую на систему, поведение которой определяется дифференциальным уравнением. Функция y  t  — решение дифференциального уравнения — определяет смещение системы за время t отдействия силы f  t  .Пусть при t  s система находится в покое, а в малом промежутке времени s  t  s   и только в нем действует силаf  t  , положительная по знаку, причем ее импульс равен единице:s  f   d  1 .sВне промежутка s  t  s   сила равна нулю.

Обозначимэту силу f  t  , а решение уравнения y  t  . Имеемy    p1  t  y nn 1t ...  pn  t  y  f   t  ,y  t    K  t , s  f   s  ds s  K t , s  f  s  ds.tosПрименим к интегралу теорему о среднемy  t   K  t , s    s  f  s  ds  K t, s    ,s0     .Найдем пределlim y  t   K  t , s  . 0Поэтому K  t , s  называется функцией влияния мгновенногоимпульса, действующего в момент времени t  s , на систему в момент t . В силу линейности уравнения если правую часть можнопредставить как сумму функций, то и решение будет суммой, илисуперпозицией, решений. Потому влияние непрерывно действующей силы является наложением (суперпозицией) влияний мгновенных импульсов:ty  t    K  t , s  f  s  ds .t0127§13.

УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕК УРАВНЕНИЯМ С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИРассмотрим уравнение Бесселя, которое при некотором значении параметра p приводится к уравнению с постоянными коэффициентами:(13.1)x 2 y  xy  x 2  p 2 y  0 .Проведем замену искомой функции, которая, как известно,не нарушает линейности и однородности уравнения:zz 3/ 2 ,x 2xzz3z 3/ 2  5/ 2 ,4xx x1p2  21p4 0.x3/ 2 z  z  x3/ 2   0 , z  z 1 2x4 xxВид дифференциального уравнения для z свидетельствует,что при любом значении параметра p при очень большом значении аргумента x это уравнение имеет почти постоянные коэффи1циенты.

При p  получим уравнение с постоянными коэффици2ентами z  z  0 . Его независимые решения z1  cos x ,yz,xy y z2  sin x. Для исходного уравнения имеемy1 cos x,xy2 sin x.xРассмотрим уравнение для полиномов Чебышева1  x  y  xy  n y  0,22n  0, 1, 2,,1  x  1 . (13.2)Проведем замену переменных. Заменим аргументx  cos  ,где угол  меняется в пределах 0     .

Это соответствует изменению x от  1 до 1. Заметим, что при x  1 уравнение имеет128особенность — коэффициент при старшей производной обращается в ноль:dy dy / d1 dy,dx dx / dsin  dd 1 dy d y d  sin  d 1 d 2 y cos  dy.dxdx 2sin 2  d 2 sin 3  dd2В новых переменных уравнение стало уравнением с постоянными коэффициентамиd2y n 2 y  0. Его решениями являютсяd 2функцииy1  cos n  cos  n arccos x  , y2  sin n  sin  n arccos x  .Решения y1  x  при разных n являются полиномами — по-линомами Чебышева:T0  x   1, T1  x   x, T2  x   2 x 2  1 .Второе решение не является полиномом:y2  1  x 2 при n  1, y2  2 x 1  x 2 при n  2 .13.1.

Уравнение ЭйлераЦелый класс уравнений видаxnn 1dnyydyn 1 dax ...  an 1 x  an y  01nn 1dxdxdx(13.3)носит название уравнений Эйлера. Заменой аргумента x  et ,t  ln x это уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Для производных получимdy dy dxdy et ,dtdx dt dt2d 2 y d   t dy  dxdy 2 t  d yee .22dt dt  dtdt dx dt129Докажем, что производная k-го порядка является выражением видаkdk yd k 1 ydy  kt  d ye ...   k 1  . k1kk 1dxdtdt  dtНайдем следующую производную исходя из предполагаемого выше вида, т.е. проведем доказательства методом математической индукции.

Имеемk 1d k 1 yydk ydy  k 1t  dek k 1  1  k  ...  k k 1  ,k 1dxdtdt  dtт.е. получим выражение того же вида. После подстановки в уравнение, при которой производныеdk yумножаются на x k  ekt ,dx kоно в новых переменных становится уравнением с постояннымикоэффициентами.Уравнение с постоянными коэффициентами имеет решениявида e kt , а в случае кратных корней характеристического уравнения — решения видаekt , tekt , t 2ekt , ..., t m1ekt .Этому в исходных переменных соответствуют решения x k , ав случае кратных корнейxk , xk ln x, xk ln 2 x, ..., xk ln m1 x .(13.4)Зная вид решения, можно, не переходя к переменной t , т.е.не преобразуя уравнение к уравнению с постоянными коэффициентами, сразу искать решение в виде y  x k .

Все слагаемые будутодной степени, именно x k , а коэффициенты образуют уравнениедля определения k , которое также называется характеристическим уравнением:k  k  1 ...  k  n  1  a1k  k 1 ...  k  n  2   ...  an1k  an  0 .Корни этого уравнения совпадают с корнями характеристического уравнения с постоянными коэффициентами, совпадают икратности соответствующих корней. Приведем доказательство со-130хранения кратности на основе использования символических операторов дифференцирования.Каждое дифференцирование по t при обратной замене заменяется дифференцированием по x с последующим умножением наx:ddx .dtdxХарактеристическим многочленом для уравнения с постоянными коэффициентами являетсяL(k )  (k  k1 )1 (k  k2 )2(k  km )m ,а оператором дифференцирования, в котором можно менять местами порядок дифференцирования, являетсяL( p)  ( p  k1 )1 ( p  k2 )2( p  km )m ,где p d.dtПосле обратной замены оператор дифференцирования запишется в виде21 d  dxk k2 1 x dx  dxm dxkm . dxdПроверим действие оператора  x km  на функцию dxx km ln r x ,r  0,1, 2, , m  1: d kmkm 1 k m x km  0 , x  km  x  xkm x dx dа каждое применение операции  x km  к x km ln r x при r  0 dxснижает показатель степени ln x на единицу: d km r x  km  x ln x  dx1 x  km x km 1 ln r x  x km r ln t 1 x    km x km ln r x  rx km ln r 1 x.x131Поэтому все выражения вида x k ln r x , r  0,1, 2, ,  m  1, являются решениями исходного дифференциального уравнения.Комплексному корню k     i соответствует сопряженный ему корень k     i и два действительных решенияmx cos   ln x  и x sin   ln x  , так какe i   ln x x  cos   ln x   i sin   ln x   .При кратных комплексных корнях в решениях появляютсядополнительные множители — степени ln x :x cos   ln x  , x cos   ln x  ln x, ..., x cos   ln x  ln m1 x,x sin   ln x  , x sin   ln x  ln x, ..., x sin   ln x  ln m1 x.(13.5)Уравнение вида ax  b nn 1dnyyn 1 daaxb ...

 an y  01nn 1dxdxсводится к уравнению Эйлера простой заменой аргумента:ax  b   , ax  b  etВ случае неоднородного уравнения Эйлера в роли квазимногочлена выступают выражения видаx k P  ln x  , x cos   ln x  P  ln x   x sin   ln x  Q  ln x  ,где P и Q — полиномы от аргумента ln x .Пример 1. Найти общее решение уравненияx3 y  xy  y 8 9x4 .xНайдем общее решение однородного уравненияx3 y  xy  y  0 .Ищем решение в виде y  x k (к уравнению с постояннымикоэффициентами заменой x  et приводить не обязательно).

Придем к характеристическому уравнениюk  k  1 k  2   k  1   k  1  0 ,3и общее решение однородного уравнения имеет вид132y  C1 x  C2 x ln x  C3 x ln 2 x .При нахождении частного решения неоднородного уравнения используем принцип суперпозиции, и решение неоднородныхуравнений с правыми частямивиде8и 9x 4 ищем соответственно вxAи Bx 4 (при правой части вида Cx , если  не совпадаетxс корнем характеристического уравнения, и решение уравнения будет вида Dx ). Подставляя в левую часть уравнения предполагае-13мые решения, найдем A  1, B  . Общее решение исходногонеоднородного уравнения имеет вид1 x3y  C1 x  C2 x ln x  C3 x ln x   .x 32133§14.

Характеристики

Список файлов лекций