Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Отделяя действительную часть решения от мнимой и подставляяего в систему дифференциальных уравнений (с действительнымикоэффициентами), получим, что в силу свойств линейных систем идействительная, и мнимая части вектор-функции по отдельностиявляются решениями исходной нормальной системы. Данные решения линейно независимы. Убедиться в этом можно следующимприемом.Наряду с корнем характеристического многочлена (с действительными коэффициентами) k j  p j  q j обязательно естьjk tjпарный к нему, комплексно-сопряженный корень k j  p j  q j i .Среди собственных векторов корня k j  p j  q j i есть и вектор, соjпряженный вектору    , в чем можно убедиться, поставив знаксопряжения над системой уравнений для определения вектора   .

В итоге имеется и частное решение системы дифференциальныхj j j j jуравнений x  e j  . Вектор-функции x и x , как соответствующие разным собственным значениям, линейно независимы. Докажем линейную независимость их линейных комбинаций:k tx   x  , являющихся действительной и мнимой2ijчастями вектор-функции x   . Эту линейную независимость неx   x 2jjjjисложно доказать способом от противного. Предположив линейную141зависимость составленных выше линейных комбинаций, т.е.

существование констант C1 и C2 , одновременно не равных нулю и обращающих в тождественный ноль линейную комбинациюx   x  x   x   C1  iC2  j  C1  iC2  j  C2x x 0,22i22jjпридем к линейной зависимости x   и x   .jjjjC1Пример 2. Найти общее решение системыx  2 x  y,y  x  3 y  z,z  x  2 y  3z.Запишем характеристическое уравнение10 2det  131       2    2  6  10   0 , 12 3   1  2, 2,3  3  i .Найдем собственный вектор, соответствующий 1  2 :10   1   0 22 13 21   2    0  , 12 3  2    3   0 0  1  1   2  0  3  0,1  1  1   2  1  3  0,1  1  2   2  1  3  0.Решая систему, получим: 2  0, 1  3  1 , и собствен-1ным вектором является  0  .

Найдем собственный вектор, соот- 1  ветствующий 2  3  i :10   1   0   1  i  1   2  0,23i 133i1    2    0  , 1  i 2  3  0, 123  3  i    3   0  1  2 2  i3  0.1  1, 2  1  i, 3  i  2.Решением системы уравнений в комплексной форме будет142e(3 i ) t 1  1  3t 1  i   e (cos t  i sin t )  1  i  i  2i  2cos tsin t3t 3t  e  cos t  sin t   ie  cos t  sin t  . 2 cos t  sin t  cos t  2sin t Действительная и мнимая части являются независимыми решениями.

Общее решение системы имеет видcos tsin t x1 y   C1e2t  0   C2e3t  cos t  sin t   C3e3t  cos t  sin t  . z 1 2cos t  sin t  cos t  2sin t   Наибольшие сложности представляет случай, когда из собственных векторов матрицы системы нельзя составить базис.143§16. ЗАМЕНА БАЗИСА.ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫК ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУПерейдем к новому базису в нормальной линейной однородной системе дифференциальных уравнений:(16.1)x  Ax, e  eS .Переход к новому базису осуществляется с помощью матрицы перехода S , столбцами которой являются координаты новогобазиса в старом базисе: s11... en   s21...s n1s12s22...sn 2...... e1 e2 ... en    e1 e2......При этом координаты вектора в старом базисе xбазисе x связаны соотношением x1   s11 s12 ...

s1n   x1     x  Sx ,  x2    s21 s22 ... s2 n   x2  ....... ... ... ... ...x  s  n   n1 sn 2 ... snn   xn s1n s2 n .... snn и в новомПодставим в дифференциальное уравнение. Имеем(16.2)Sx  ASx, x  S 1 ASx  Ax .Если новый базис состоит из собственных векторов матрицысистемы (если это в принципе возможно), то матрица A имеетдиагональный вид и система дифференциальных уравнений распадается на n независимых дифференциальных уравнений.Замечание. При этом матрицей перехода является матрица,столбцы которой — координаты собственных векторов: 11 1 2 1 2S   2  2 ...1 ... 2 n  n144n... 1  n...  2   .... ... n...

 n  Приведение матрицы к диагональному виду не всегда возможно. Иными словами, не всегда существует базис из собственных векторов. 0 0Пример 1. Пусть матрица системы имеет вид A  0 1 .Для нее характеристическое уравнение 01   2  0 имееткратный корень   0 . Найдем собственный вектор:00 10    000  1  1   2  0,  10 ,000,212и характеристическому числу   0 соответствует лишь один соб1,ственный вектор.Простейшей формой, к которой можно привести квадратнуюматрицу A путем замены базиса, является так называемая жорданова нормальная форма. Все n-мерное пространство разбиваетсяпри этом на p, p  n, инвариантных относительно преобразования A подпространств, а преобразованная матрица J состоит изжордановых блоков J m — квадратных матриц специального вида,расположенных по главной диагонали матрицы J (т.е.

главныедиагонали матриц J m лежат на главной диагонали матрицы J ), инулевых прямоугольных матриц: J10J   ...00J2...0... 0 ... 0 ... ...  .... J p (16.3)Структура жорданова блока следующая: по главной диагонали расположены m , параллельная к ней укороченная диагональ,расположенная непосредственно над главной диагональю, составлена из единиц, остальные элементы равны нулю: m 0Jm   0 ... 01m0...014501m...0... 0 ... 0 ... 0  .... ...

... m (16.4)Определим «действие» матрицы J на подпространство, векторы которого могут иметь ненулевые составляющие лишь встрочках, соответствующих некоторому жорданову блоку J m . Ясно, что векторы этого подпространства остаются в этом подпространстве — инвариантном подпространстве.Замечание. Если матрица J — матрица преобразованнойнормальной линейной однородной системы дифференциальныхуравнений, то система уравнений распадается в преобразованномбазисе на p независимых систем. При анализе решения таких систем будем использовать «внутреннюю» нумерацию для компонент векторов.Собственным числом матрицы, «действующей» на подпространство (а также, в чем несложно убедиться, и матрицы J , «действующей» на все n -мерное пространство), является m :m  0...01...00    k  0, m .........

m  m   ......0где k — размерность квадратной матрицы.Найдем соответствующий собственный вектор — для простоты обозначений используем «внутреннюю» нумерацию составляющих векторов:00 ...00010...00001...000..................00...1000   x1   0 0   x2   0 ...  ...    ... ,0   xk  2   0 1   xk 1   0 0   xk   0 x2  01x3  00 ... ..., e .xk 1  0  x1  1 1  0 0xk  0000 У жорданова блока одно собственное значение m кратностиk и один собственный вектор e1 , являющийся базисным.

Остальные базисные векторы e1, e2 , ..., ek называются присоединенными:146000100 01e2    , e3    , ... ek   0  .000 ...  ...  ... 001   Вектор e1 является собственным и как вектор n -мерногопространства со всеми «внеблочными» компонентами, равныминулю, а m является собственным числом для жордановой матрицы J этого пространства.Рассмотрим, как «действует» матрица J m на векторыe1, e2 , ..., ek :J me1  me1, J me2  e1  me2 , ..., J mek  ek 1  mek ,или векторы e1, e2 , ..., ek удовлетворяют следующим уравнениям: J m  m E  e1  0,  J m  m E  e2  e1,..., J m  m E  ek  ek 1 ,где E — единичная матрица подпространства.Собственный вектор удовлетворяет векторному линейномуоднородному уравнению с нулевым определителем, а присоединенные — линейным неоднородным уравнениям с тем же определителем, и находятся присоединенные векторы неоднозначно, сточностью до слагаемого — произвольного решения однородногоуравнения.Тем же уравнениям, с заменой J m на J , а единичной блочной матрицы E на единичную матрицу всего n -мерного пространства, удовлетворяют векторы e1, e2 , ..., ek как векторыn -мерного пространства, в чем несложно убедиться непосредственно: J  m E  e1  0,  J  m E  e2  e1, ...,  J  m E  ek  ek 1 .Набор векторов из одного собственного и присоединенныхe1,e2 , ..., ek 147называется жордановой цепочкой жорданова блока.

Если вернутьсяв исходный базис, то векторы жордановой цепочки определяются спомощью матрицы перехода S :h1  Se1, h2  Se2 , ..., hk  Sek .Теорема (приводится без доказательства). Для любой квадратной матрицы A существует неособенная матрица S такая,что матрицаJ  S 1 ASявляется матрицей нормальной жордановой формы. Матрица Jопределяется единственным образом с точностью до перестановки жордановых блоков.Другая формулировка теоремы.

Для произвольной квадратной матрицы порядка n существует базис, состоящий изжордановых цепочекh , h ,12, hk1  ,hk1 1,, hk1 k2  ,Эти цепочки отвечают собственным,hk1  k2   kn1 1,, hn ,k1  k2   ks  n.значениям  ,  , …, n12матрицы A , среди которых могут быть совпадающие. Число цепочек, отвечающих одному собственному значению, равно числунезависимых собственных векторов, отвечающих этому одномусобственному значению.

Характеристики

Список файлов лекций