Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

  k  0 , то такие функции называются линейно независимыми на [a, b] . Вместо отрезка понятие линейной зависимости и линейной независимости можно ввести для интервала илидля всей оси.Общее решение линейной нормальной неоднородной системы имеет вид(9.6)x  z  C1 x1  C2 x2  ...  Cn xn ,где z — частное решение неоднородной системы, а x1 , x2 , …, xn— линейно независимые решения однородной системы.Для нормальной неоднородной системы справедлив и принцип суперпозиции: если вектор-функция f является суммой вектор-функций f1  f 2 , а x1 и x2 — решения системx1  Ax1  f1 , x2  Ax2  f 2 ,то их сумма — решение системы при f  f1  f 2 :x   x1  x2   x1  x2  Ax1  f1  Ax2  f 2  A  x1  x2   f1  f 2  Ax  f .В общем случае имеем: f  1 f1   2 f 2  ...

  k f k ,x1  Ax1  f1 , x2  Ax2  f 2 ,…, xk  Axk  f k ,иx  1 x1  2 x2   k xkявляетсяx  Ax  f .103решениемсистемы§10. ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕУРАВНЕНИЕ N-го ПОРЯДКАС ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИРассмотрим уравнениеL  y   y   a1 y nn 1 ...  an1 y  an y  0 ,(10.1)где все коэффициенты a1 , a2 , …, an постоянны.Для таких уравнений их интегрирование возможно провестив элементарных функциях, а определение последних сводится квыполнению алгебраических операций.

Определение решения основано на использовании замечательных свойств функции e kx —она нигде не обращается в ноль и при дифференцировании остается «подобной» самой себе, приобретая лишь постоянный множитель:e kx m k mekx .Подставим эту функцию в дифференциальное уравнение.ПолучимL ekx   ekx  k n  a1k n1  ...  an1k  an   ekx F  k   0 ,где F  k  — многочлен n -й степени, который называется характеристическим многочленом.Алгебраическое уравнение относительно kF  k   k n  a1k n1  ...  an1k  an  0(10.2)называется характеристическим уравнением.Если k  k1 — корень характеристического уравнения, тофункцияуравненияy1  x   ek1x является решением дифференциальногоL ek1x   ek1x F  k1   0 .Если все корни характеристического уравнения разные, торешения дифференциального уравнения e k1x , e k2 x ,…, e kn x образуют линейно независимую систему функций на всей оси.

Вообще104специфичным свойством решений линейных однородных уравнений и нормальных систем с постоянными коэффициентами является то, что их область определения — вся действительная ось.Докажем теорему о линейной независимости на всей осиследующих функций:ek1x , xek1x , x 2ek1x , …, x1 1ek1x , ek2 x , xek2 x , x 2ek2 x , …,x2 1ek2 x , …, e km x , xekm x , x 2ekm x , …, xm 1ekm x .Доказательство проведем методом от противного. Пусть этифункции линейно зависимы. ТогдаP1  x  ek1x  P2  x  ek2 x  ...  Pm  x  ekm x  0 ,где все ki разные, а Pi  x  — многочлены степени не вышеi  1 .

В силу линейной зависимости хотя бы у одного многочлена не все коэффициенты равны нулю. Пусть этим многочленомбудет последний Pm  x  — в противном случае по-другому занумеруем ki . Разделим на e k1x , получимP1  x   P2  x  ek2  k1  x ...  Pm  x  eВ последнем выражении все разностиПродифференцируем последнее тождество1  P  x 1km  k1 0. ki  k1 различны.1 раз. Так как 0 , то первое слагаемое обращается в ноль, получимQ2  x  ek2  k1  x ...  Qm  x  ekm  k1  x0.Интересно отметить, что степени многочленов Qi  x  иPi  x  , i  2, 3,, m , совпадают. Действительно, P  x  e    P  x  l  P  x  elxiiilx,и так как в нашем случае l  0 , то коэффициент при старшей сте-пени многочлена Pi  x  приобретает лишь множитель l , а степеньмногочлена Pi  x  меньше степени многочлена Pi  x  . Доказан-105ным свойством обладает, в частности, и многочлен Pm  x  , а еслион нулевой степени, то коэффициент при нулевой степени остаетсяне равным нулю.k k xДалее продолжаем процедуру, то есть делим на e 2 1  идифференцируем  2 раз и т.д.

Проделав упомянутую процедуру m  1чимраз, избавимся от всех слагаемых, кроме последнего, полу-Rm  x  ekm  km1  x 0,а значит, Rm  x   0 . Многочлен Rm  x  по условию и по доказанному имеет степень не выше  m  1 и хотя бы один из коэффициентов этого полинома отличен от нуля, т.е.b0  b1 x  b2 x 2  ...  bk x k  0 ,и дело свелось к доказательству линейной независимости функций1, x , x 2 , …, x k ,т.е. к опровержению возможности последнего тождества при хотябы одном ненулевом коэффициенте, что оказалось следствием исходного предположения.Пусть какой-либо (т.е. произвольный) коэффициент многочлена отличен от нуля bp  0 . Продифференцируем p раз этотождество и положим x  0 (в случае b0 сразу полагаем x  0 ).Получим bp  0 , т.е.

придем к противоречию. Теорема доказана.10.1. Фундаментальная система решенийКак ранее показано, система функцийeki x , i  1, 2, , n , i  j, ki  k j ,где ki — разные корни характеристического уравнения, — линейно независимая система функций — решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.Вообще любые n линейно независимых частных решенийна некотором промежутке [a, b] линейного однородного уравне-106ния n -го порядка называются фундаментальной системой решений.Определение дано в общем случае линейных уравнений с переменными коэффициентами.

В частном случае постоянных коэффициентов эта фундаментальная система решений определена навсей оси. По известной фундаментальной системе решений определяется решение видаy  C1 y1  x   C2 y2  x   ...  Cn yn  x  ,(10.3)где все n констант вещественны. Заметим, что фундаментальнаясистема решений определяется не однозначно, не единственнымобразом. Это зависит от процедуры их определения.Любые n линейно независимых на промежутке [t1 , t2 ] вектор-функций — решений нормальной линейной однородной системы дифференциальных уравнений — называются фундаментальной системой решений.

Коэффициенты уравнений системымогут быть как постоянными, так и переменными, но для постоянных линейная независимость, как и существование этих решений,имеет место для всей действительной оси, что последует из структуры решений, которая будет найдена позднее.Общее решение нормальной линейной однородной системыимеет вид(10.4)x  t   C1 x1  t   C2 x 2  t   ...  Cn x n  t  ,где x1  t  , x 2  t  , …, x n   t  — фундаментальная система решений и все n констант вещественны. Матрица, столбцами которойявляются вектор-функции x1i  t  x2i  t  x i   t   ...

xtniфундаментальной системы решений, называется фундаментальнойматрицей решений107 x11  t  x12  t x21  t  x22  t  t    ...... xn1  t  xn 2  t ... x1n  t  ... x2 n  t  ....... ... xnn  t  (10.5)В дальнейшем для фундаментальной системы решений используется сокращенная запись ФСР, а для фундаментальной матрицы решений — сокращенная запись ФМР.10.2. Уравнения с постоянными коэффициентами.Случай комплексных корнейУ уравнения с постоянными и действительными коэффициентами корни характеристического многочлена могут быть комплексными:k    i ,   0 .В алгебре доказывается, что каждому комплексному корнюмногочлена с действительными коэффициентами соответствует корень, комплексно-сопряженный с ним.

Иными словами, комплексные корни появляются обязательно парами:k1     i , k2     i .Это доказывается применением операции сопряжения к характеристическому многочлену F  k  , используя свойство перестановочности арифметических операций и операции сопряжения:F  k   k n  a1k n1  ...  an1k  an  0, F  k   F k  0 . eВ результате получим пару комплексных решений: e x  cos  x  i sin  x  , e   i  x  e x  cos  x  i sin  x  .(   i ) xИх разные линейные комбинации также являются решениями, в частности:e  ix e2  ix e x cos  x ,e  ix e2i  ix e x sin  x .Тот факт, чтоe x cos  x , e x sin  x108(10.6)являются решениями уравнения, можно доказать иначе, подставив i xe  в дифференциальное уравнение и отделив затем действительную и мнимую части:L e  ix  L e x cos  x   i L e x sin  x   0  0  0 .00Линейную независимость функций e x cos  x , e x sin  xможно доказать следующим способом.

Проведем выкладкиC1e x cos  x  C2e x sin  x  A cos  e x cos  x  A sin  e x sin  x  Ae x cos(  x   )  0лишь при A  0 , а значит, C1  C2  0 , что свидетельствует о линейной независимости функций e x cos  x , e x sin  x .10.3. Уравнения с постоянными коэффициентами.Случай кратных корнейПроведем сначала качественное, нестрогое рассмотрение науровне так называемых правдоподобных рассуждений. Пусть kявляется кратным корнем характеристического уравнения. Изменим «немного» коэффициенты дифференциального уравнения, тогда корни «расщепятся» и станут простыми и близкими и междусобой, и вместо кратного корня k появятся два близких к немуразных корня k , k  k , где k близко к k , но не равно ему, а kблизко к нулю, но не равно нулю. Решениями такого дифференциального уравнения наряду с e kx и eкомбинацияe k k  x ekxklimk kk 0 k k  xkявляется и их линейная.

Проведем «обратное» изменение коэф-фициентов, найдем пределe k k  x ekx limk kk 0109ekx  ekx  1k ekx x ,и xekx тоже является решением дифференциального уравнения.Аналогично действуя, можно показать, что в случае корня кратности три, наряду с e kx и xekx , появляется еще решение x 2 ekx , и т.д.Замечание. С точки зрения вычислительной математикикратные корни — скорее, исключение, чем правило. Трудно различить кратные корни от близких простых. В вычислительной математике для анализа этих случаев используются специальные процедуры.Докажем, что корню характеристического уравнения kкратности  соответствует ровно  линейно независимых решений:(10.7)e kx . xekx , x 2ekx , …, x 1ekx .Дадим доказательство этого утверждения, основанное на использовании символического оператора дифференцированияpd.dxДифференциальное уравнениеL  y   y   a1 y nn 1 ...

 an1 y  an y  0можно записать в символическом виде как умножение дифференциального оператора на y : dnd n 1dL  y    n  a1 n1  ...  an1  an  y  0 ,dxdx dxили, заменяяd p , в более компактном виде:dxL  y    p n  a1 p n1  ...  an1 p  an  y  L  p  y  0 . (10.8)Тот же вид, что и L  p  , имеет характеристический многочленL  k   k n  a1k n1  ...  an1k  an .Последний в случае кратных корней можно записать в видеL  k    k  k1 1 k  k2 2...  k  km  m .В том же виде можно представить и L  p  :110L  p    p  k1 1 p  k2 2...  p  km  m .Такое представление несложно обосновать, доказав возможность переставлять соседние скобки и группировать их.

Характеристики

Список файлов лекций