Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

ПолучимF ( x, z,..., z ( nk ) )  0  z  z ( x, C1 , C2 ,..., Cnk )или  ( x, z, C1 , C2 ,..., Cnk )  0  y ( k )  z ( x, C1 , C2 ,..., Cnk ) .7.1.2. Уравнение, не содержащее xПусть уравнение не содержит x :F ( y, y, y ,..., y ( n) )  0 .Пару переменных x , y заменим на пару y , p аргумент, p — функция). Тогдаy  d ( y ) dp dp dydpp ,dxdx dy dxdy68(7.5)dy(y—dx2 dp d ( y ) d  dp  dyd2p p ,y   p   p 2dxdy  dy  dxdy 2 dy и производные p по y на порядок меньше. ИмеемdpF *  y , p, ,dy,d n 1 p   0   y, p, C1 ,dy n1 , Cn 1   0  dy   y, , C1 , dxПример 1., Cn1   0.yy  5 y2  3 y 2 y .Уравнение не содержит x .

Имеем y  p , y  pdp. Полуdyчим, подставляя в дифференциальное уравнение,ypdpdp 5 p 5 p2  3 y2 p , 3y .dydyyРешение полученного уравнения первого порядка имеет видp  Cy5  y 2 .7.1.3. Уравнение, однородное относительно, ′, ′′, …, ()Уравнение называется однородным относительно y , y  ,y, …,y ( n ) , если функцияF ( x, y, y ,..., y (n) ) является однород-ной функцией y, y , y ,..., y ( n ) порядка p , т.е.F ( x, ky, ky,..., ky( n) )  k p F ( x, y, y,..., y ( n) ) .(7.6)В частности, если выражение F ( x, y, y ,..., y (n ) ) содержитнесколько слагаемых, то все они будут одинаковой суммарной степени по y, y , y ,..., y ( n ) .

Произведем замену y   yz илиy  ezdx. Имеемy   yz ,y   y z  yz   y( z 2  z ) ,69y   y ( z 2  z )  y(2 zz   z )  y( z 3  3zz   z ) ,……………..y( n) y( z, z ,..., z ( n1) ) .После замены вместо каждой производной y (k ) появляетсянекоторый многочлен от z и ее производных, «снабженный» множителем y , который в определении однородной функции играетроль k . Поэтому F ( x, y, y ,..., y ( n) )  y p F * ( x, z, z ,..., z ( n1) )  0 ,и, сокращая на y p , получим дифференциальное уравнение порядкаn 1.Если общее решение дифференциального уравнения приp  0 не содержит y  0 , то его надо добавить к общему решению.xyy  2 xy2  2 yy .Пример 2.Уравнение однородно относительно y , y  , y  . Имеемy  yz , y  y z 2  z .

Подставляя в дифференциальное уравнение, получимxy 2  z 2  z  2 xy 2 z 2  2 y 2 z .Сокращая на y 2 , получим дифференциальное уравнениепервого порядка — уравнение Бернулли:z   3z 2 2z.x7.1.4. Уравнение, однородное относительно x, yЗапишем дифференциальное уравнениеF ( x, y, y ,..., y ( n) )  0в виде функции от первого дифференциала независимой переменной и дифференциалов зависимой переменной до порядка n вклю(k )чительно — при этом yформально считается частным от деления дифференциала k -го порядка от y на k -ю степень дифференциала от x первого порядка:70( x, y, dx, dy, d 2 y,..., d n y)  0 .Пусть эта функция  будет однородной функцией порядка p :(kx, ky, kdx, kdy, kd 2 y, , kd n y)  k p ( x, y, dx, dy, d 2 y, , d n y).(7.7)В этом случае рекомендуется заменаx  e , y  e u .Получимdx  du  du e  u   e u  e,d d dd 2 y  du d 2 u  e ,dx 2  d d 2  dyd e udx dd 3 y  d 3u du  2e ,dx 3  d 3 d и каждая производная y ( m ) является произведением e  ( m 1) и линейной комбинации производных u по  до m порядка включительно.

При выполнении приведенного выше свойства функции«роль» множителя k выполняет е  . Сокращая на е p дифференциальное уравнение, получим дифференциальное уравнение, не содержащее явно  , которое, как известно, допускает понижениепорядка на единицу.7.1.5. Обобщенное однородное уравнениеЗапишем дифференциальное уравнениеF ( x, y, y, , y (n) )  0в виде функции от дифференциалов( x, y, dx, dy, d 2 y,..., d n y )  0.Если левая часть этого уравнения обладает свойством обобщенной однородности, а именно:71(kx, k m y, kdx, k mdy, k md 2 y, , k md n y)  k p ( x, y, dx, dy, d 2 y, , d n y),(7.8)т.е.

входящие в нее слагаемые имеют одну степень по x , а другуюпо y (с «весом»), то рекомендуется заменаx  e , y  e m u .Получимdy  mdu   me u  e m dx d dxdu  e( m1)  mu   ,dd d 2 y  d 2udu  2  (2m  1) m(m  1)u e ( m 2 ) ,2ddx dmq (q)и каждая производная y представляется произведением e и линейной комбинации производных от u от нулевого до q -гопорядка включительно.

В соответствии со свойством обобщеннойоднородности левая часть уравнения имеет множитель e p , на который можно сократить, и дифференциальное уравнение не содержит явно аргумента  , а значит, допускает понижение порядка наединицу.Пример 3.x 4 y  xyy  2 y  x 2 y  0 .Данное уравнение является обобщенно однородным.

Подставляя вместо x , y , dx , dy , d 2 y соответственно kx , k m y ,kdx , k m dy , k m d 2 y , получим вместо x 4 y ,  xyy , 2 y 2 , 2x 2 y2mсоответственно k 2 k m x 4 y , k   xyy  , 2k 2 m y 2 , k 2 k m  2 x 2 y  .Множители уравниваются при m  2 . Поэтому произведем заменуx  e , y  e2 u . Имеем dud 2uduy  e  2u  , y  2  3 2u .dd dПодставляя в дифференциальное уравнение, получим новоедифференциальное уравнение72d 2ududu3u 0.2dddПоследнее уравнение не содержит  , и потому его порядокможно понизить, но можно проще поступить, обратив внимание,что его левая часть является полной производной:d  duu2 duu2 3u    0 , а значит, 3u   C .d  d2d2Замечание. При решении задачи Коши не обязательно находить общее решение, а затем константы, при которых удовлетворяются начальные условия.

В частности, пусть в предыдущей задаче начальные условия имеют вид: y 1  6 , y 1  12 . В новыхпеременных при x  1 значение   0 и u  0   6 . НайдемТак как y 1  12 , имеем 12 константуCdu (0).ddu  0 du  0  26 и 0 . Найдемddduu2 3u   C .d2интегралаИмеем62 0 . В итоге получим уравнение Бернулли21duu2 3u  0 . Совершая замену u  , получим линейноеzd21уравнение z  3z   0 .

Его общее решение имеет вид2111z  Be3  . Так как z  0   , то константа B  0 и6u  0 61z    , значит, u    6 . В итоге получим6y  e2 u  6e2  6 x2 .0  3 6 737.1.6. Дифференциальное уравнение, являющеесяпроизводной от дифференциального уравненияменьшего порядкаПустьF ( x , y , y ,..., y ( n ) ) d( x , y , y ,..., y ( n1) )  0 ,dx(7.9)т.е. левая часть уравнения является полной производной от дифференциального выражения, имеющего высший порядок производнойна единицу меньше (при дифференцировании считаем y функцией от x ). Тогда ( x, y, y ,..., y ( n1) )  C представляет собойдифференциальное уравнение меньшего порядка.В ряде случаев левую часть уравнения можно привести кполной производной, умножив или разделив его на некоторое выражение.

При этом можно получить лишнее решение при умножении на возможный ноль либо потерять решение при делении навозможный ноль. После получения решения преобразованногоуравнения анализ этих возможностей необходимо произвести.Пример 4. Рассмотрим уравнениеyy   2 y  2 .Разделим его на y y . Получим1y  2 y 1. y   Cy 2    Cx  D  y  Cx  DyyyИз-за операции деления потеряно решение y  0 .Пример 5. Рассмотрим уравнениеy   y  0 .Умножив его на y  , получимy y   yy   0  y  2  y 2  A .Лишним решением является y    A , A  0 .7.2. Уравнения высокого порядка специального вида,решаемые в квадратурахРассмотрим уравнение вида74F ( y ( n ) , y ( n1) )  0 .(7.10)Пусть удалось найти его параметрическое решение относительно y ( n ) и y ( n 1) , именно, найти параметрическое представление для y ( n ) и y ( n 1) , обращающее уравнение в тождество:y ( n )   ( t ) , y ( n1)  f ( t ) , F ( ( t ), f ( t ))  0 n n 1)2  1 , y ( n )  sin t , y ( n1)  cos t ).(например, ( y )2  ( yЗапишем очевидную цепочку соотношений:dy ( n1)  y ( n ) dx , f ( t )dt   ( t )dx , x  y ( n 2 )   y ( n1) dx  f ( t )dt C1 , (t )f ( t ) f ( t )dt C2 (t )и т.д.В итоге получим параметрическое решение в квадратурах:y   ( t , C2 , C3 ,..., Cn ) , x   ( t )  C1 .Рассмотрим уравнение вида(7.11)F ( y ( n ) , y ( n 2 ) )  0 .Пусть удалось получить параметрическое решение уравненияотносительно y ( n ) и y ( n 2 ) :y ( n )   ( t ) , y ( n2 )  f ( t ) , F ( ( t ), f ( t ))  0 .Запишем цепочку очевидных преобразований:1d ( y ( n 1) ) 2 ,2  ( t ) f ( t )dt ,y ( n 1) y ( n ) dx  y ( n 1) dy ( n 1) y ( n ) y ( n1) dx  y ( n ) dy ( n2 )y ( n1)  2  ( t ) f ( t )dt  C .В итоге получили параметрическое представление для «соседней» с y ( n 2 ) производной, и задача сведена к предыдущей.75§8.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВЫСОКОГО ПОРЯДКА (продолжение)8.1. Общее решение и задача КошиОбщее решение дифференциального уравнения n -го порядкаy ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n1) )имеет вид y   ( x , C1 , C2 ,..., Cn ), где, в частности, константы могут быть начальными данными задачи Коши:y   ( x , y 0 , y 0 ,..., y 0( n1) ) ,y 0  y ( x 0 ) , y0  y ( x0 ) ,..., y 0( n1)  y ( n1) ( x 0 ) .Тот же вид имеет решение задачи Коши для дифференциального уравненияF ( x, y, y , y ,..., y ( n1) , y ( n ) )  0 .Хотя в этом виде задается также y 0(n ) , но задается это значение согласованно с другими константами, а значит, последняяконстанта является зависимой от остальных n констант, правда,она может принимать больше одного значения.

Характеристики

Список файлов лекций