Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

ПРИВЕДЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫК УРАВНЕНИЮ N-го ПОРЯДКА.МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯИзлагаемый ниже алгоритм применим к общему случаюнормальных линейных неоднородных систем с переменными коэффициентами. Однако он не всегда достигает цели, т.е. не всякаясистема приводится к уравнению n-го порядка в отличие от обратной операции по приведению уравнения n-го порядка к нормальнойсистеме. Кроме того, метод требует «большей гладкости» от коэффициентов и вектор-функции в правой части.Рассмотрим нормальную системуx  A t  x  f t  ,(14.1)где x1  xx   2 ,   xn  f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) , f n (t )  a11 (t ) a12 (t )a (t ) a22 (t )A(t )   21 an1 (t ) an 2 (t )a1n (t ) a2 n (t ) .ann (t ) Потребуемfi (t )  C n1 (t1 , t2 ), aij (t )  C n1 (t1 , t2 ),xi (t )  C n (t1 , t2 ), i, j  1, 2,, n.Ранее при рассмотрении нормальных систем достаточно было потребоватьfi (t )  C (t1 , t2 ), aij (t )  C (t1, t2 ), xi (t )  C1 (t1, t2 ), i, j  1, 2,Запишем систему в развернутом видеx1  a11  t  x1  a12  t  x2  ...

 a1n  t  xn  f1  t  ,x2  a21  t  x1  a22  t  x2  ...  a2 n  t  xn  f 2  t  ,....................................xn  an1  t  x1  an 2  t  x2  ...  ann  t  xn  f n  t  .134, n.Здесь и далее для обозначения производной по t используеми традиционный «штрих», и верхнюю точку. Продифференцируемпервое уравнение x1  a12 x2  ...  a1n xn  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  f1 .x1  a11Подставим в полученное выражение выражения для первыхпроизводных — правые части исходной нормальной системы — ипосле приведения подобных членов получимx1  a21 x1  a22 x2  ...

 a2n xn  f 2 .Продифференцировав последнее выражение, подставив в него выражения для первых производных и приведя подобные члены,получимx1 a31 x1  a32 x2  ...  a3n xn  f3 .Данная процедура повторяется (n  1) раз. Заменяя формально для единообразия обозначений в первом уравнении исходнойсистемы a1 j  a1 j , f1  f1 и присоединяя это уравнение к соотношениям для высших производных, получим следующую систему:x1  a11  t  x1  a12  t  x2  ...

 a1n  t  xn  f1  t  ,x1  a21  t  x1  a22  t  x2  ...  a2 n  t  xn  f 2  t  ,.................................nx1  an1  t  x1  an 2  t  x2  ...  ann  t  xn  f n  t  .Разрешим, что, конечно, не всегда возможно, первые  n  1уравнения относительно x2 , x3 , …,в последнее уравнение. Получимxnи подставим x2 ,x3 , …, xnd n x1d n1 x1dx b1  t  n1  ...  bn1  t  1  bn  t  x1  F  t  . (14.2)ndtdtdtРешив это уравнение n -го порядка, найдем функцию x1  t  ,зависящую от n констант, подставим x1  t  и производные от135x1  t  в полученные ранее выражения для остальных составляющих вектор-функции x2 (t ) , x3 (t ) , …, xn (t ) .Описанный выше алгоритм, называемый методом исключения, сводит задачу интегрирования нормальной линейной системык интегрированию одного уравнения n -го порядка.Если процедура разрешения относительно x2 , x3 , …, xn невозможна, то за исходное уравнение для последующего дифференцирования следует взять второе уравнение исходной нормальнойсистемы и попытаться привести систему к уравнению n -го порядка относительно x2 и т.д.Имеются однако вырожденные случаи принципиальной невозможности сведения задачи к решению одного уравнения n -гопорядка.

Например:dx1 a11  t  x1  f1  t  ,dtdx2 a22  t  x2  f 2  t  ,dt....................dxn ann  t  xn  f n  t  .dtНормальная система распадается на n не связанных между собойуравнений первого порядка, лишь формально составляющих нормальную систему.Пример 1. Найти методом исключения общее решение системыx  4 x  y  et ,y  2 x  y  sin t.Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:y  x  4 x  et ,x  4 x  et  2 x  x  et  sin t ,x  5x  6 x  sin t.Характеристическое уравнение 2  5  6     2    3  0136имеет корни 1  2, 2  3.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде x  a cos t  b sin t. Получим a  b 1. В ито10ге11cos t  sin t .1010Подставляя x в выражение для y , получимsin t cos ty  2C1e2t  3C2e3t  4C1e2t  4C2e3t 10104431 cos t  sin t  et  2C1e2t  C2e3t  cos t  sin t  et .1010102x  C1e2t  C2e3t Замечание.

Указанная процедура дает основание в случаенормальной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическогоуравнения организовать решение системы методом неопределенных коэффициентов (характеристическое уравнение для нормальной системы будет получено ниже). В случае кратного корня характеристического уравнения k j кратности s для частного решения x1  t  имеем следующее представление:x1  t   10  11t  ...

 1, s 1t s 1  e j .k tОстальные составляющие вектор-функции находятся с помощью операций дифференцирования, и потому порядок полиномапо t для каждой составляющей не может превысить  s  1 .Процедура метода неопределенных коэффициентов весьматрудоемка, однако принципиально проста.137§15. НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯОДНОРОДНАЯ СИСТЕМАС ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИРассмотрим системуx  Ax , a11 a12 x1  x1  x2  x2 x    , x    , A   a21 a22.........

...x x a n n n1 an 2... a1n ... a2 n .... ... ... ann Для систем с постоянными коэффициентами решение существует на всей действительной оси. Определить форму решения испособ решения — задача данного раздела. Запишем систему в развернутом виде:x1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn ,x2  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn ,....................xn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn .(15.1)Попробуем найти решение в виде 1  x  e  ,    2  ....  nktПодставим предполагаемое решение в систему и сократим еена e , получим систему алгебраических линейных однородныхktуравнений относительно 1 ,  2 , …,n : a11  k  1  a12 2  ...

 a1n n  0,a211   a22  k   2  ...  a2 n n  0,........................an11  an 2 2  ...   ann  k   n  0.Условием существования нетривиального решения является равенство нулю определителя системы:138a11  ka21...a n1a12a22  k...an 2...a1n...a2 n 0.......... ann  k(15.2)Данное уравнение называется характеристическим, оно является уравнением n -й степени для определения характеристического, или собственного, числа k . Соответственно многочлен,стоящий в правой части уравнения, называется характеристическим многочленом.Если все корни характеристического уравнения различны, азначит, простые, то, подставляя их по очереди в однородную систему уравнений, найдем все нетривиальные решения системы, являющиеся векторами — собственными векторами матрицы A : (i ) 1(i )  (i )    2  , i  1, 2,  (i )  n , n.Частные решения системы дифференциальных уравненийимеют видx (i )  eki z (i ) 1(i )  (i )  e ki z   2  , i  1, 2,  (i )  n , n.Известно, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям (корням характеристическогоуравнения), линейно независимы и матрица, столбцами которойявляются составляющие этих векторов, в силу линейной независимости столбцов имеет определитель, отличный от нуля:11 1 2 ...

1 n  21  2 2 ...  2 n   0 ............. n1  n 2 ...  n n Столбцы матрицы остаются линейно независимыми и после умножения их соответственно на ek1t , ek2t , ..., eknt :139 11 ek1t 1 2 ek2t  1 ek1t   2 ek2t2 2... 1... k1t 2  k2 tn e n en... 1  eknt  n  kn t ...

 2 e  ....... n  kn t ...  n e После умножения столбцов на ek1t , ek2t , ..., eknt опреде-литель матрицы умножается на число, отличное от нуля:11 ek t 1 2 ek t ... 1 n ek t11 1 2 ... 1 n  21 ek t  2 2 ek t ...  2 n ek t  e k  k ... k t  21  2 2 ...  2 n  .12n12n...... n1 ek1t  n 2 ek2t12......n...

 n ekntn............ n1  n 2 ...  n n Образованная после умножения столбцов на ek t , e k t , …, e k tматрица представляет собой фундаментальную матрицу решений,так как столбцы ее линейно независимы и являются составляющими вектор-функций — решений системы12nx(i )  eki z (i ) , i  1, 2, , n,составляющих фундаментальную систему решений.Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет видx  C1 x (1)  C2 x (2)  1(1)  x1  (1)   x2   C e k1t   2  1  (1)   xn n  Cn x ( n ) , 1( n )  (n) kn t   2  Cn e. ( n ) n (15.3)Если среди корней характеристического уравнения имеютсякратные, но каждому кратному корню соответствует равное егократности число линейно независимых собственных векторов, или,иными словами, если существует базис из собственных векторовматрицы системы, то все предыдущие рассуждения остаются в силе, и ФСР и ФМР имеют ту же форму:x    ekit   , i  1,2,..., n,iiно ki могут совпадать у различных x .i140 2 0 02 0  корню характеристи 0 0 1Пример 1.

У матрицы A   0ческого уравнения k  2 соответствуют два линейно независимых1 0 0  0 собственных вектора:  0  ,  1  .В случае комплексных корней характеристического многочлена k j  p j  q j i этому корню соответствует комплексный собjственный вектор    и комплексная вектор-функция — част-ное решение системы дифференциальных уравнений x   e j   .

Характеристики

Список файлов лекций