Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Купцов Л.П. (1238781), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

26.6 изображёнсамый «неблагоприятный» случай взаимного расположения нулей,когда  минимальное, а ближайшие к a и b нули расположены отних на равном расстоянии. Больше нулей быть не может. Получимоценку N   Mb  a 1. 254Рис. 26.6M можно взять соответственноinf Q( x) и sup Q( x) .Замечание. В качестве m иПример 1. Запишем уравнение Бесселяx 2 y  xy  (x 2   2 ) y  0 , x  0в видеx( xy)  ( x2  2 ) y  0 .Проведем замену2dddx d y  (e 2t  2 ) y  0, dt  ,,xdt 2xdx dtln x  t , x  et , 0  x   ,    t   .При больших положительных значениях t расстояние междусоседними нулями стремится к нулю при t   и число нулейстремится к бесконечности. Эти же нули y остаются и при возвращении к исходному аргументу x , но расстояние между нулямипри больших значениях x стремится к постоянной величине, какэто будет показано в дальнейшем.255§27.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИУВИЛЛЯДано дифференциальное уравнение, содержащее параметрd2ydy p( x)  (q( x)   r ( x)) y  0 .2dxdxПусть на полуоси x  a выполняется(27.1)p  C1 ,r C 2 , r ( x)  0 .Постоянный параметр  может быть разного знака. Исследуем решение этого уравнения при больших значениях аргументаx , так называемое асимптотическое поведение решения (представляет интерес также исследование решения при больших значениях параметра  ).

Приведем уравнение к виду с почти постоянными коэффициентами. Как известно, замена y  u( x )z , гдеq C ,1  pdx, позволяет избавиться от члена с первой производной.ue 2Получим p p 2(27.2)z    q rz  0.4 2Пользуясь положительностью r( x ) , избавимся от множителяу  заменой аргумента  xr(t )dt .

Имеемdz dzd 2z d 2zdz r r (x) , 2 r.2dx ddxdd 2 rПодставим выражение для производной в уравнение и поделим уравнение на r( x ) . Получимd 2zr  dz  p p 2 q  z  023/ 2d2rd   2r 4r r(в этом уравнении и в дальнейшем штрих означает производную поx , но подразумевается, что переход к аргументу  принципиальных затруднений не вызовет). Избавимся повторно от члена с первой производной заменой z  v( ) , где2561r d1 r dx  3/ 2 v  e 2 2 r  e 4 r  r 1/ 4 .При этом в множителе перед  появятся дополнительные p p 2 слагаемые типа     , где p — коэффициент перед пер4  2вой производной, в нашем случае1 d  r   1 r 21  r  3 r  2  1 r  2 3 / 2   5 / 2    3 ,  3/ 2    3  2 d  2r  4 4r2 r  16 r4 r  rи для дополнительного слагаемого получим, так какd1 dr 5r  2, следующее выражение:  2 . Оконча4r16r 3dr ( x) dxтельно имеемd 2  r 5r  2p p 2 q     02232 r 4r rd16r 4rили, обозначая сумму всех слагаемых в скобках без  через  ,d 2        0 .d 2Приведём окончательный вид подстановок, называемых преобразованием Лиувилля:xx   r  t dt ,     4 r  x e1p  t  dt2ay  x .aВ достаточно широком классе коэффициентов(27.3)p, q, r функ-ция   оказывается «малой» при    , и решение уравнения спомощью преобразования Лиувилля, приводящего дифференциальное уравнение к так называемой нормальной форме Лиувилля,можно исследовать при больших значениях  или при большихзначениях  .

Заметим, что при этом обычно большим значениям257 соответствуют и большие значения x в силу положительностиr  x .Пусть функция   обладает следующими свойствами: C  0     0   0     0  :   C, 1а значение   1. Если   1 и положительно, это всегда можнодостичь простой заменой аргумента    .В то же время эта замена позволяет анализировать решениепри больших параметрах  и умеренных значениях аргумента  ,так как при    аргумент    .Перенесём малое при больших значениях  слагаемое в правую часть        и будем формально считать это слагаемое как неоднородную частьуравнения.

Данный прием можно рассматривать как начало процедуры последовательных приближений.Используем полученную ранее функцию влияния для уравненияy  a 2 y  f  x  , равнуюK  x, s  sin a  x  s , и выражеaние для частного решения этого уравненияx1y  x    sin a  x  s  f  s  ds ,a x0получим  A cos   B sin    sin   s     s    s   ds0или, полагая0   для удобства оценок добавочного члена,  A cos   B sin    sin(  s) ( s) ( s)ds .258Этот добавочный член при заданном характере убывания 1 . В результате можно  функции  ( ) равен по порядку O утверждать, что два линейно независимых решения при большихзначениях аргумента имеют вид 1  1, 2 ( )  sin   O    1 ( )  cos   O  .

(27.4)В случае   1 уравнение запишется в виде      ( ) .Дадим без доказательства выражение для двух линейно независимых решений при больших значениях аргумента (аккуратноедоказательство весьма сложно):1  e (1  O(  )),2  e  (1  O(  )) .259(27.5)§28. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯРассмотрим уравнениеx2 y  xy  ( x2  2 ) y  0 .(28.1)При x  0 уравнение имеет особенность. Покажем, что хотябы одно из линейно независимых решений имеет особенность приx  0 , т.е. не ограничено при x  0 либо не ограничена производная. Действительно, приведём к формеy   2 y    1  2  y  0 .x x Тогда для определителя Вронского получимa1 ( x) 1W  dx dW , 0, Wx  const,xWx WAW   y1 y2  y2 y1,xи хотя бы одна из величин y1 , y2 , y1 , y2 не является ограниченной.Решение такого уравнения в общем случае нельзя найти ввиде степенного ряда по x методом неопределённых коэффициентов.Замечание.

Уравнение, не содержащее особенности, коэффициенты которого разлагаются в степенной ряд, решается методом неопределённых коэффициентов. Найдём решение уравненияy  p( x) y  q( x) y  0с коэффициентами, представимыми в видеp( x)   an x n ,q( x)   bn x n ,n 0n 0в форме степенного ряда с неизвестными коэффициентамиy( x)    n x n .n0Подставим все три ряда в дифференциальное уравнениеn2n 0n 1n 0n 0 n n(n  1) x n2   an x n  n nx n1   bn x n  n x n  0 .Приравняем нулю после приведения подобных членов последовательно коэффициенты при всех степенях x :2602 2  a01  b0 0  0,6 3  2a0 2  a11  b01  b1 0  0,12 4  3a0 3  2a1 2  a21  b0 2  b11  b2 0  0,...................В первое уравнение входят сразу три неизвестных коэффициента.

Два из них можно задать произвольно, что соответствует заданию при x  0 значений y и y  . Остальные коэффициенты однозначно находятся из линейных алгебраических уравнений, таккак коэффициент перед определяемым из данного соотношения коэффициентом ряда отличен от нуля, а именно, при  n имеем множитель n(n  1) .В случае уравнения Бесселя так действовать нельзя, однакорешение можно найти в виде так называемого обобщённого степенного ряда:y  x   ak x k ,a0  0.(28.2)k 0В этом ряде подлежат определению коэффициенты a k и показатель степени  .Вычислим производные и подставим их в дифференциальноеуравнение, получим после приведения подобных членов и переиндексации:x 2  ak (k   )(k    1) x k    2  x  ak (k   ) x k   1 k 0k 0k 0k 0v 2  ak x k    x 2  ak x k    0,ak 0k(k   )(k    1)  (k   )  v  x   am x m 2  0,2km 0ak 0kk  m  2,(k   )2  v 2  x k   ak 2 x k  0.k 2261В первые два уравнения для коэффициентов члены второйсуммы не входят:a0 ( 2  2 )  0,a1 ((  1) 2  2 )  0.Так как нетривиальное решение однородного уравнениянаходится с точностью до множителя, отличного от нуля, то a 0можно считать не равным нулю (иначе просто «сдвинем» индексацию за счёт показателя  ).Для нахождения показателя  имеем так называемое определяющее уравнение:(28.3) 2  2  0 .При   0 имеем два решения (при   0 — одно решение)   .

В случае  2  0 (для определённости можно считать   0),    , в уравнении для определения a1 коэффициент при a1 неравен нулю, поэтому a1  0.Остальные уравнения дают рекуррентные соотношения между коэффициентами, связывающие a k и a k 2 :ak [(k   ) 2  2 ]  ak  2  0,ak [(k  ) 2  2 ]  ak  2  0,ak (k 2  2k )  ak  2  0.Поэтому все коэффициенты с нечётным индексом равны нулю, а все четные коэффициенты выражаются через a 0 .Аналогичный ряд сформируется при    (однако случаицелого и полуцелого  требуют специального рассмотрения):ak (k 2  2k )  ak 2  0 .Для коэффициентов a 2 n получим (рассматриваем одновременно случаи    и    , верхний знак будет соответствоватьв формулах случаю    , нижний — случаю    ):262a2 n  a2 n  2a  2 2 n 2 ,24n  4n2 n( n   )( 1)n a0a2 n  2 n.2 n !(   1)(   2)...(   n)(28.4)Для a 0 принята следующая нормировка:a0 21,Г (   1)(28.5)где Г ( x) — гамма-функция, или эйлеров интеграл второго рода:Г ( x)   t x1e t dt .0(28.6)x  0 .

Интегрируя по частям,Данный интеграл сходится приполучимГ ( x  1)  xГ ( x), Г (1)  1, Г (2)  1, ..., Г (n  1)  n! .a2 n(28.7)Перепишем с учётом свойств гамма-функции выражения дляи для всего ряда: 1a2 n  2 n,2   n  1     n  1n2 n 1 xy  x    .n  0   n  1     n  1  2 n(28.8)Рассмотрим некоторые свойства гамма-функции, так,t2e1   dt  2 e d  2 0 t0(28.9)(последний интеграл — известный из анализа интеграл Пуассона).(x)можно формально продолжить на x  0 по формуле( x  1).( x ) x263При этом знак(x)меняется после очередного интервала(x) не определена.

Будем формально считать, что в этих точках   m    . m  1,  m , а в точках mфункцияПриведем графики функций Г ( x) и1(см. рис. 28.1Г ( x)и 28.2).Рис. 28.1Рис. 28.2ФункцияJ  ( x)  n 0(1) n x Г (n  1) Г (  n  1)  2 2 n (28.10)называется функцией Бесселя  -го порядка, или бесселевой функцией первого рода — цилиндрической функцией первого рода. Термин цилиндрическая связан с тем, что бесселевы функции естественным образом появляются в задачах математической физикидля областей, ограниченных окружностями или цилиндрическимиповерхностями.Степенной ряд J ( x) x имеет радиус сходимости, равныйбесконечности. Непосредственно видно, что он сходится быстрее,чем ряд для функции e x , так как в знаменателе — произведениедвух гамма-функций, каждая из которых растёт как факториал или«смещенный» на  факториал.264Если 2 — не целое число (т.е.

Характеристики

Список файлов лекций