Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Следующие три утверждения эквивалентны:а) уравнение (I) имеет решение при любой рассматриваемой функцииf  x ;б) число  не является характеристическим числом ядра K  x, y  ;в) если при какой-либо функции f  x  уравнение (I) имеет решение,то это решение единственно.Теорема 2. Число  является характеристическим числом ядра______________________________________________________3)Полезно обратить внимание на Пример 6.126K  x, y  тогда и только тогда, когда  является характеристическим числом ядра K *  x, y  .

При этом кратности этих чисел конечны иодинаковы, то есть k     k      .Теорема 3. Уравнение (I) имеет решение тогда и только тогда, когда функция f  x  ортогональна всем элементам подпространстваKer  E   K * , то есть f  x   Ker  E   K * (в скалярном произведе-нии  f , g    f  x  g  x dx ).GПри этом решение определяется с точностью до слагаемого, которое является элементом подпространства Ker  E   K  .Теорема 4. При любом R  0 в круге    R комплексной  —плоскости не может быть более конечного числа характеристических чиселядра K  x, y  .Заметим, что полезно ознакомиться с изложенными далее Примером 10 и Примером 11, в которых проиллюстрированы теоремы Фредгольма на примере конкретных уравнений.Рассмотрим решение некоторых задач.Пример 1.

Решить интегральное уравнение2u  x      y 2  x  u  y dy  1 , x   2, 2 .(1)2Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. Из уравнения (1) следует, что22u  x     y 2 u  y  dy   x  u  y  dy  1   C1   C 2 x  1 , x   2, 2 ,22где22(2)C2   u  y  dy .(3)Поэтому решение уравнения (1), если оно существует, имеет видu  x   C1  C2 x  1 , x   2, 2 ,(4)C1  y u  y  dy ,222127где C1 и C2 определены равенствами (2), (3).Используя соотношение (4), запишем равенства (2) и (3) в виде2C1 2y 2   C1  C2 x  1dy 2   C123 2y3   C1  12161616 C1  1   C1  ,3332C2  1 y 2   C2 y 3 dy   C12 C2 x  1dy    C1  1 y 2  4 C1  4 .2Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C1 иC2 с параметром  : 16  161  C1   ,3  3 4C  C  4.12(5)Определитель системы (5) равен161  0161  .33411) Если определитель системы (5) не равен нулю    0  , т.е.

если3, то система (5) имеет единственное решение:161616C1 ,3  16 16 3 1   34  1612C2  4  4C1  4 .3  16 3  16Следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение:1612 xu  x  1 , x   2, 2 .3  16 3  1632) Пусть    1 . Тогда система (5) приобретает вид1612816 0  C1  3 ,4 3 C  C  4.2 16 1Очевидно, что данная система решений не имеет.

Следовательно, иуравнение (1) решений не имеет.3) Найдем теперь собственные функции и характеристические числаядра, то есть найдем нетривиальные решения однородного уравнения:2u  x      y 2  x  u  y dy , x   2, 2 .2Из сказанного выше следует, что решение данного уравнения имеетвидu  x    C1   C2 x , x   2, 2 ,(6)где постоянные C1 и C2 определены формулами (2) и (3) и удовлетворяют однородной системе уравнений:  16  1  C1   0,(7)3 4 C  C  0.12Однородная сиcтема линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель равен нулю:3  0    1 .163Если   1 , то система (7) примет вид160  C1  0,C  любое число, 1 33C2  C1 .4 16 C1  C2  0.

4Подставляя найденные C1 и C2 в (6), получаем, чтоu1  x  3333  3 C1  x  C1  C1  1  x  ,1616 416  4 где C1 — любое число, C1  0 .3Таким образом, u1  x   1  x есть собственная функция ядра, отве43чающая характеристическому числу 1  .16129Пример 2. Решить при всех допустимых значениях  и a интегральное уравнениеu  x      x 2 cos y  y sin x  u  y dy  cos x  a sin x , x    ,   .(1)Найти собственные функции и характеристические числа соответствующего интегрального оператора. Из уравнения (1) следует, чтоu  x    x2cos y  u  y dy   sin x  y  u  y dy  cos x  a sin x   C1 x 2  C2 sin x  cos x  a sin x , x    ,   ,гдеC1  cos y  u  y  dy ,(2)C2  y  u  y  dy .(3)Потому решение уравнения (1), если оно существует, имеет видu  x    C1 x 2  C2 sin x  cos x  a sin x , x    ,   ,где C1 и C2 определены равенствами (2), (3).Используя соотношение (4), запишем равенства (2) и (3) в видеC1  cos y  u  y  dy  C y12 C2 sin y  cos y  a sin y  cos ydy   C1  y 2 cos ydy 22 cos ydy  C1  y d  sin y  1  1  cos 2 y  dy  C1   y 2 sin y    2 y sin ydy  2 11  y  sin 2 y   2 C1  yd  cos y    22  2C1   y cos y     cos ydy     4 C1   ,130(4)C2 y  u  y  dy  C y21 C2 sin y  cos y  a sin y  ydy    C2  a   y sin ydy     C2  a   yd  cos y     C2  a    y cos y     cos ydy     C2  a  2   2C2  2 a .Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C1 иC2 с параметром  : ,1  4  C1(5)12C2 a.2Определитель системы (5) равен1  40 1  4 1  2  .01  21) Если определитель системы (5) не равен нулю, то есть если11, , то система (5) имеет единственное решение:422 aC1 , C2 .1  41  2Следовательно, уравнение (1) при любом a  R имеет единственноерешение:2 au  x x2 sin x  cos x  a sin x , x    ,   .1  41  212) Пусть    1 .

Тогда система (5) приобретает вид4 ,0  C 1 1  2    C  2 a, 4  и, следовательно, решений не имеет.1Таким образом, уравнение (1) при   решений не имеет.413) Пусть   2 . Тогда система (5) приобретает вид21311  , 1  4 C1(6)2 0C2a.2Отсюда следует, что если a  0 , то система (6) имеет бесконечномного решений:C1  , C2  любое число.3Потому при a  0 уравнение (1) имеет бесконечно много решений:1  2 111u  x x C2 sin x  cos x  x 2 C2 sin x  cos x,2 3262x    ,   , C2  R .Если же число a не равно нулю, то система (6) и, следовательно,уравнение (1) решений не имеет.4) Найдем теперь собственные функции и характеристические числаядра, то есть найдем нетривиальные решения однородного уравнения:u  x      x 2 cos y  y sin x  u  y dy , x    ,   .Из сказанного выше (из (4) при f  x   0 , x    ,   ) следует, что решение данного уравнения имеет видu  x    C1 x 2   C2 sin x , x    ,   .(7)где постоянные C1 и C2 определены формулами (2) и (3) и удовлетворяют однородной системе уравнений: 0,1  4  C1(8)12C2  0.Однородная сиcтема линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:11  0    1  и   2 .421Если   1  , то система (8) примет вид4 0,0  C1C  любое число, 1 1 C2  01  2    C2  0; 4  Подставляя найденные C1 и C2 в (7), получаем, что1321C1 x 2 , x    ,   , C1  R , C1  0 .4Таким образом, u1  x   x2 есть собственная функция, отвечающаяu1  x   характеристическому числу 1  Если   2 1.41, то система (8) примет вид:21  0,C1  0,1  4 C12 C2  любое число.0  C2  0;Подставляя найденные C1 и C2 в (7), получаем, что1C2 sin x , x    ,   , C 2  R , C2  0 .2Таким образом,u2  x   sin xu2  x  есть собственная функция, отвечающая характеристическому числу12 .2Пример 3.

Решить интегральное уравнениеu  x      x sin y  cos 2 y  u  y dy  f  x  , x    ,   ,(1)f  x   C   ,   . Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. Из уравнения (1) следует, чтоu  x    x  u  y  sin ydy    u  y  cos 2 ydy  f  x    xC1  C2  f  x  , x    ,   ,гдеC1  u  y  sin ydy ,(2)C2  u  y  cos1332ydy .(3)Потому решение уравнения (1), если оно существует, имеет видu  x    xC1   C2  f  x  , x    ,   ,(4)где C1 и C2 определены равенствами (2), (3).Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в виде   yCC1 1  C2  f  y   sin ydy   C1  y sin ydy  sin ydy   f  y  sin ydy  C 2   C1  yd  cos y    C2 cos y   f  y  sin ydy   C1   y cos y     cos ydy    f  y  sin ydy    C1   y cos y     cos ydy    f  y  sin ydy   2 C1  f  y  sin ydy ,C2   C y  C1 C 22 f  y   cos 2 ydy   C1  y cos 2 ydy  cos2ydy  f  y  cos21ydy    C2  1  cos 2 y  dy 211  f  y  cos 2 ydy    C2  y  sin 2 y  22   f  y  cos 2 ydy   C2  f  y  cos2ydy .(здесь воспользовались тем, что функция y cos2 y , y    ,   , являетсянечетной, поэтому y cos2ydy  0 ).Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C1 иC2 с параметром  :134  f  y  sin ydy ,C1 1  2 2C12 f  y  cos ydy.Определитель системы (5) равен1  20 1  2 1    .01  (5)1) Если определитель системы (5) не равен нулю, то есть если11,    , то система (5) имеет единственное решение при любой2правой части:1C1 f  y  sin ydy ,(61)1  2 C2 1f  y  cos 2 ydy ,1   (62)и, следовательно, уравнение (1) при любой f  x  , f  x   C   ,   , имеетединственное решениеu  x    xC1   C2  f  x  , x    ,   , 4 где C1 и C2 определены равенствами (61) и (62) .2) Пусть  1 1 .

Тогда система (5) приобретает вид:2  f  y  cos 2 ydy, 0  C1 C 1    1    f y cos 2 ydy.2   2  (7)Отсюда следует, что если функция f  x  , f  x   C   ,   , такова,что справедливо равенство f  y  sin ydy  0 ,то система (7) имеет бесконечно много решений:2C1  любое число, C2   f  y  cos 2 ydy .3 135(8)Поэтому и уравнение (1) при выполнении соотношения (8) имеет бесконечно много решений:11 2u  x xC1 f  y  cos 2 ydy  f  x  22 3 11xC1 23 f  y  cos24 ydy  f  x  , x    ,   ,1C1  R , f  x  удовлетворяет соотношению (8).Если же функция f  x  такова, что равенство (8) не выполняется, тосистема (7) и, следовательно, уравнение (1) решений не имеет.13) Пусть     2 .

Тогда система (5) приобретает вид 1   f  y  sin ydy , 1  2     C1  (9)20  C2   f  y  cos ydy.Отсюда следует, что если функция f  x  , f  x   C   ,   , такова,что справедливо равенство f  y  cos2ydy  0 ,(10)то система (9) имеет бесконечно много решений:1C1   f  y  sin ydy , C2  любое число.3 Таким образом, уравнение (1) при выполнении соотношения (10)также имеет бесконечно много решений:1 11u  x    x  f  y  sin ydy  C2  f  x   3 x31 f  y  sin ydy   C2 f  x  , x    ,   ,4 2C 2  R , f  x  удовлетворяет соотношению (10).Если же функция f  x  такова, что равенство (10) не выполняется, тосистема (9) и, следовательно, уравнение (1) решений не имеет.4) Найдем теперь собственные функции и характеристические числаядра, то есть найдем нетривиальные решения однородного уравнения:136u  x      x sin y  cos 2 y  u  y dy , x    ,   .Из сказанного выше (из (4) при f  x   0 , x    ,   ) следует, что решение данного уравнения имеет видu  x    xC1   C2 , x    ,   .(11)где постоянные C1 и C2 определены формулами (2) и (3) и удовлетворяютоднородной системе уравнений:01  2  C1(12)1C 20Однородная сиcтема линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:11  0    1 и   2   .21Если   1 , то система (12) примет вид2 0,0  C1C  любое число, 1 1 C2  0.1     C2  0; 2  Подставляя найденные C1 и C2 в (11), получаем, что1C1 x , x    ,   , C1  R , C1  0 .2Таким образом,u1  x   xu1  x  есть собственная функция, отвечающая характеристическому числу11 .21Если   2   , то система (12) примет вид 1  0,C1  0,1  2     C1  C2  любое число.0  C2  0;Подставляя найденные C1 и C2 в (11), получаем, что137u2  x  1C 1 , x    ,   , C2  R , C2  0 . 2Таким образом,u2  x   1есть собственная функция, отвечающая характеристическому числу12   .

Характеристики

Список файлов книги