Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

(8)),и, следовательно, для любой f  x   C   ,   справедливоf  x   Ker  E   K   ,и согласно Теореме 3 уравнение   имеет решение при любой правой части f  x   C   ,   , причем решение определяется с точностью до элемента подпространства Ker  E   K   0 (см. (11)), то есть решение единственно.1Если   1 , то уравнение   имеет решение тогда и только то2гда, когда функция f  x   C   ,   такова, что для нее выполняется соотношение (см.(8) Пример 3),157 f  y  sin ydy  0 ,или f  y   y dy  0 ,1или f  y  ,  y    0 ,1или (см.

(6))f  y   Ker  E  1 K   ;при выполнении данного условия на f  x  уравнение   имеет бесконечномного решений (см. ( 41 ) Примера 3):u  x 11C1 x 2311C1u1  x  23 f  y  cos2ydy  f  x   f  y  cos2ydy  f  x  , x    ,   , С1  R ,то есть определяется (см. (9)) с точностью до элемента подпространстваKer  E  1 K  .1, то уравнение   имеет решение тогда и толькотогда, когда функция f  x   C   ,   такова, что для нее выполняется со-Если   2  отношение (см.

(10) Пример 3), f  y  cos2ydy  0 ,или f  y   y  dy  0 ,2или f  y  ,  y   ,2или (см. (7))f  y   Ker  E  2 K   ;158при выполнении данного условия на f  x  уравнение   имеет бесконечномного решений (см. ( 41 ) Примера 3):u  x  x31 11xf  y  sin ydy  C2  f  x   3 1 f  y  sin ydy   C u  x   f  x  ,2 2x    ,   , С 2  R ,то есть определяется (см. (10)) с точностью до элемента подпространстваKer  E  2 K  .Пример 11. Проиллюстрируем теоремы Фредгольма на примере результатов Примера 5. В Примере 5 рассматривалось ядроK  x, y  3x 21 1  8 , x   ,1 , y   ,1 .y222 Тогда3y21 1  8 , x   ,1 , y   ,1 .x22 2 Так как (напомним) все рассматриваемые функции являются действительными и   R , то в силу Теоремы 2 характеристические числа ядраK  x, y  и ядра K   x, y  совпадают, т.е.K   x, y  1и 2  22(характеристические числа и собственные функции ядра K  x, y  найденыв Примере 5).Найдем собственные функции ядра K   x, y  , а также заодно найдем1  непосредственно и характеристические числа ядра K   x, y  , то естьнайдем нетривиальные решения однородного уравнения: 3y21  x      2  8   y dy , x   ,1 .2   xИз уравнения (1) следует, что159(1)  x 1122331  y 2  y  dy  8     y  dy  2  D1  8  D2 , x   ,1 ,2 x 1x2 1где1D1   y 2  y  dy ,(2)121D2     y  dy .(3)12Поэтому решение уравнения (1) имеет вид31  x   2 D1  8 D2 , x   ,1 ,x2 где D1 и D2 определены равенствами (2) и (3).Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в виде11 3D1   y 2  2 D1  8 D2  dy    3 D1  8 D2 y 2  dy x112(4)21 3 D1 y 1 28D2 y 3311237 D1   D2 ,2311111D2    3 D1  2  8 D2  dy  3 D18 D2 y 1  3 D1  4 D2 .1yy2122Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно D1 и D2с параметром  : 3 1    D1 2  3 D17D2  0,3 1  4  D2  0.(5)Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:371 5 3   1    1  4   7 2   2    1 232 23 1  4 1601    11.       2  0  22   2  21Еcли   1   , то система (5) примет вид2  3  1 7  1 1        D1      D2  0,3  2  2  2   3    1  D  1  4   1   D  0. 1 2 2 2 773 4 D1  6 D2  0,D2  D1 ,23 D D1  любое число.D0.2 2 1Подставляя найденные D1 и D2 в (4), получаем, что уравнение (1) при  1  1имеет нетривиальное решение:213  1 1 13  x   3     D1 2  8     D1   D1  2  4  ,2 x 2 x 221 x   ,1 , D1  R , D1  0 .2 1 4 есть собственная функция ядраx21K   x, y  , отвечающая характеристическому числу 1   .2Если   2  2 , то система (5) примет видТаким образом, функция 1  x   371    2    D1    2  D2  0,3 2 3   2  D  1  4  2   D  0.12147D2  0,D1  ,4 D  136 6 D1  7 D2  0. D2  любое число.Подставив найденные D1 и D2 в (4), получаем, что уравнение (1) при  2  2 имеет нетривиальное решение:16161 7  x   3  2   D2 2  8  2  D2   D2  2  16  ,7xx1 x   ,1 , D2  R , D2  0 .2 7 16 есть собственная функцияx2ядра K   x, y  , отвечающая характеристическому числу 2  2 .Таким образом, функция 2  x  Следовательно, подпространства  1Ker  E  1 K    a  2  4   a1  x  , a  R  ,x   7Ker  E  2 K    b  2  16   b2  x  , b  R  ,x Ker  E   K    0 , если   1 ,   2(6)(7)(8)(так как уравнение (1) имеет только нулевое (тривиальное) решение, если  1 ,   2 ).Напомним, что в Примере 3 у ядраK  x, y  3x 21 1  8 , x   ,1 , y   ,12y2 2 были найдены собственные функции: u1  x   6 x2  7 и u2  x   3x2  2 ,отвечающие характеристическим числам 1  12и 2  2 соответ-ственно.

Следовательно, подпространстваKer  E   K   l  3x 2   lu  x  , l  R ,Ker  E  1 K   k  6 x 2  7   ku1  x  , k  R ,222Ker  E   K   0 , если   1 ,   2 .(9)(10)(11)Таким образом, мы непосредственно нашли, что в действительном случае множества характеристических чисел ядер K  x, y  и K   x, y  совпадают (как это и следует из Теоремы 2).Кратко напомним другие результаты Примера 5 (см. решение Примера 3). В Примере 5 было получено, что уравнение:1621 3x 21 1 u  x      2  8  u  y  dy  f  x  , x   ,1 , f  x   C  ,12 2 1 y(**)2в случае, если   1 и   2 , то есть, если  не равно любому из характеристических чисел ядра K  x, y  , то уравнение   имеет единственное1решение при любой правой части f  x   C  ,1 , задаваемое формулой2  4  Примера 5 – этот факт и должен иметь место согласно Теореме 1.Также, если   1 и   2 , то Ker  E   K    0 (см. (8)) и, следова1тельно, для любой f  x   C  ,1 справедливо f  x   Ker  E   K   и со2 гласно Теореме 3 уравнение   имеет решение при любой правой части1 f  x   C  ,1 , причем решение определяется с точностью до элемента2 подпространстваKer  E   K   0 (см.(11)), то есть решение един-ственно.1Если   1   , то уравнение   имеет решение тогда и только21тогда, когда функция f  x   C  ,1 такова, что для нее выполняется соот2 ношение (см.

(10) Пример 5),1 11  y 2  4  f  y  dy  0 ,2или1  y  f  y  dy  0 ,112или  y  , f  y    0 ,1или (см. (6))f  y   Ker  E  1 K   ;при выполнении данного условия на f  x  уравнение   имеет бесконе-163чно много решений (см. (11) Пример 5):1u  x 461 С2  6 x 2  7   x 2   2 f  y  dy  f  x  771 y214611  С2  u1  x   x 2   2 f  y  dy  f  x  , x   ,1 , С 2  R ,77y2 12то есть определяется (см.(9)) с точностью до элемента подпространстваKer  E  1 K  .Если   2  2 , то уравнение   имеет решение тогда и только1тогда, когда функция f  x   C  ,1 такова, что для нее выполняется соот2 ношение (см.(13) Пример 5),1 71  y 2  16  f  y  dy  0 ,2или1  y  f  y  dy  0 ,212или  y  , f  y   ,2или (см.

(7))f  y   Ker  E  2 K   ;при выполнении данного условия на f  x  уравнение   имеет бесконечно много решений (см. (14) Пример 5):131u  x   8С2  3x 2  2   x 2  2 f  y  dy  f  x  2 1 y21 8С2u2  x  3 2 11 x  2 f  y  dy  f  x  , x   ,1 , С 2  R ,2 1 y2 2то есть определяется (см. (10)) с точностью до элемента подпространстваKer  E  2 K  .

164§ 7. НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ПОИСКА ЧАСТНЫХРЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙПоиск частного решения рассматриваемых ниже уравнений основан научете тех или иных особенностей как самих уравнений, так и входящих вних неоднородностей.Сначала рассмотрим несколько примеров поиска частного решениядля уравнения теплопроводности или волнового уравнения.Случай 1. Правая часть уравнения представляет собой произведениефункции от t и функции от пространственных переменных, причем функция от пространственных переменных есть собственная функция оператораЛапласа  .То есть рассматривается либо уравнениеut  a 2 u  F  t  G  x1 , x2 ,..., xn  ,либо уравнениеutt  a 2 u  F  t  G  x1 , x2 ,..., xn  ,причем G  x1 , x2 ,..., xn     G  x1 , x2 ,..., xn  .В этом случае можно частное решение уравнения искать в видеu0  f t  G  x1 , x2 ,..., xn  , где функция f  t  находится как результат подстановки u0 в исходное уравнение.Пример 1.

Найти какое-нибудь частное решение уравненияutt  9u   t  3 cos  x  y  2 z  ,  x, y, z , t   R4 .(1) Заметим, что  cos  x  y  2 z   6 cos  x  y  2 z  , и ищем частноерешение данного уравнения в видеu0  f t  cos  x  y  2 z  .(2)Подставим функцию, заданную соотношением (2) в (1). Получимf   t  cos  x  y  2 z   9 f  t   cos  x  y  2 z    t  3 cos  x  y  2 z  ;f   t  cos  x  y  2 z   54 f  t  cos  x  y  2 z   t  3 cos  x  y  2 z  ;f   t   54 f  t    t  3 .Решаем уравнение (3).Общее решение однородного уравнения в данном случае это165(3)C1 cos54t  C2 sin54t ,а частное решение неоднородного уравнения ищем методом неопределенных коэффициентов в виде многочлена первой степени:at  b ,который подставляем в уравнение (3), и получаем0  54  at  b   t  3 .13, b .5454Следовательно, функцияОтсюда a 1 t  354есть решение уравнения (1) при любых постоянных C1 и C2 .

▲u0  C1 cos54t  C2 sin54t Пример 2. Найти какое-нибудь частное решение уравнения x2 y2 z2 utt  u     sin t ,  x, y, z , t   R4 .44 2(1) x2 y 2 z 2  Заметим, что      0 , и ищем частное решение уравне44  2ния (1) в виде x2 y 2 z 2 u0  f  t    .(2)44  2Подставим функцию, заданную соотношением (2) в (1). Получим x2 y2 z2  x 2 y 2 z 2   x2 y 2 z 2 f   t      f t        sin t ;4444  244 2 2 x2 y 2 z 2   x2 y 2 z 2 f   t          sin t ;44  244 2f   t   sin t .Решаем уравнение (3).f  t   C1t  C2  sin t .Следовательно, функция166(3) x2 y 2 z 2 u0   C1t  C2  sin t    44 2есть частное решение уравнения (1) при любых постоянных C1 и C2 .Пример 3. Найти какое-нибудь частное решение уравненияut  u  e9t cos  2 x  y  2 z  ,  x, y, z , t   R4 .(1) Заметим, что  cos  2 x  y  2 z   9 cos  2 x  y  2 z  и ищем частное решение данного уравнения в видеu0  f  t  cos  2 x  y  2 z  .(2)Подставим функцию, заданную соотношением (2) в (1).

Характеристики

Список файлов книги