Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Найти какое-нибудь частное решение уравнения1ut  u ,  x, y, z , t   R4 .21  t  x (1) Так как правая часть уравнения (1) есть функция, зависящая толькоот t и x , то попробуем найти частное решение уравнения (1) то же, какфункцию, зависящую только от t и x :u 0  u 0  x, t  .Уравнение (1) для функции u0  x, t  примет вид u0 tt   u0  xx 11  x  t 2.(2)Заметим, что уравнение (2) — волновое уравнение для функции однойпространственной переменной (то есть уравнение струны), которое можетбыть решено методом характеристик.Очевидно, что характеристиками данного уравнения являютсяx  t  С1 , x  t  С2 .Введем характеристическую замену переменных  x  t ,  x  t .174(3)В переменных (3) уравнение (2) примет вид1.4u 1  2Очевидно, что одним из решений уравнения (4) будет функция1u    arctg  ,4и, таким образом, учитывая (3), функцияu0  x, t    x  t  arctg  x  t (4)есть частное решение уравнения (2) и, следовательно, и уравнения (1). Теперь рассмотрим несколько примеров поиска частного решенияуравнения Пуассона относительно функции двух переменных.Пусть x  r cos  , y  r sin  , и в полярных координатах на плоскостиправая часть уравнения Пуассона имеет вид либо G  r  cos k , либоG  r  sin k , где k некоторое число из множества 0,1, 2,... .

То есть уравнение имеет видилиu  G  r  cos k ,илиu  G  r  sin k .Достаточно часто G  r   r  при некотором целом  .В этом случае можно пробовать найти частное решение в видеAr  2 cos k (или Ar  2 sin k соответственно).Пример 8. Найти какое-нибудь частное решение уравненияu  12r 2 cos 2 , 1  r  2 , 0    2 . Ищем частное решение уравнения (1) в видеu0  Ar 4 cos 2 (здесь   2 ).Запишем уравнение (1) в полярных координатах:11urr  ur  2 u  12r 2 cos 2 ,rrи подставим в (3) функцию, заданную соотношением (2). Получаем12 Ar 2 cos 2  4 Ar 2 cos 2  4 Ar 2 cos 2  12r 2 cos 2 .175(1)(2)(3)Отсюда A  1 , и, следовательно функцияu0  r 4 cos 2есть частное решение уравнения (1).Пример 9. Найти какое-нибудь частное решение уравнения3u  4 sin  , r  1 , 0    2 .r(1) Ищем частное решение уравнения (1) в виде1u0  A 2 sin  (здесь   2 ).(2)rЗапишем уравнение (1) в полярных координатах:113urr  ur  2 u  4 sin  ,(3)rrrи подставим в (3) функцию, заданную соотношением (2).

Получим61  21  1 3A 4 sin   A  3 sin    A 2   2 sin    4 sin  .r rrr  r rОтсюда A  1 , и, следовательно, функция1u0  2 sin rесть частное решение уравнения (1). Если частное решение уравнения в виде Ar  2 cos k (или Ar  2 sin kсоответственно) не находится, то можно попробовать искать частное решение уравнения в виде g  r  cos k (или g  r  sin k соответственно).Пример 10. Найти какое-нибудь частное решение уравненияu  4 x  y 2x2  y 2, 1  r  2 , 0    2 .(1) В данном случае, пересчитывая правую часть уравнения (1) в полярных координатах, получаемu  4  4 sin 2 , 1  r  2 , 0    2 .(2)Найдем u01 — частное решение уравненияu  4 , 1  r  2 , 0    2 .176(3)и u02 — частное решение уравненияu  4 sin 2 , 1  r  2 , 0    2 .Тогда функцияu 0  u01  u02есть частное решение уравнения (2).Частное решение u01 уравнения (3) ищем в виде(4)(5)u01  Ar 2 (здесь   0 ).(6)Подставляем функцию, определенную соотношением (6), в уравнение(3), записанное в полярных координатах.

Получаем2A  2A  0  4 .Отсюда A  1 , и, следовательно, функцияu01  r 2(7)есть частное решение уравнения (3).Ищем теперь частное решение u02 уравнения (4). Здесь   0 , но (проверьте!) решение не найдется в виде Br 2 sin 2 . Поэтому ищем частное решение уравнения (4) в видеg  r  sin 2 .(8)Подставляем функцию, определенную соотношением (8), в уравнение(4), записанное в полярных координатах. Получаем14g   r  sin 2  g   r  sin 2  2 g  r  sin 2  4sin 2 ,rr14g   r   g   r   2 g  r   4 ;rrr 2 g   r   rg   r   4 g  r   4r 2 .(9)Уравнение (9) есть уравнение Эйлера.

Делаем замену переменнойr  e t , и для новой функции g  t   g  et  получаемg   t   g   t   g   t   4 g  r   4e 2t ;g   t   4 g  r   4e 2t .(10)Найдем какое-нибудь решение уравнения (10).Заметим, что в данном случае наблюдается случай резонанса (фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функцийe2t и e  2t ). Поэтому ищем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов в виде(11)Dte 2t .177Подставляя функцию (11) в уравнение (1), получаем4 De 2 t  4 Dte 2 t  4 Dte 2 t   4 e 2 t .Отсюда D  1 , и , следовательно, функция te 2t есть частное решениеуравнения (10).Делая обратную замену переменных t  ln r , получаем, что функцияg  r   r 2 ln rесть частное решение уравнения (9), и, следовательно, функцияu02  r 2 ln r sin 2есть частное решение уравнения (4).Из (5), (7) и (12) имеем, что функцияu0  r 2  r 2 ln r sin 2(12)есть частное решение уравнения (2), а следовательно, и уравнения (1).

178Литература1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции.Москва : Наука, 1974. 432 с.Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. Москва : Наука, 1982.Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва : Наука,1988.Владимиров В. С., Жаринов В. В.

Уравнения математической физики.Москва : Физматлит, 2000.Владимиров В. С., Михайлов В. П., Михайлова Т. В., Шабунин М. И. Сборник задач по уравнениям математической физики. Москва : Физматлит,2016.Годунов С. К. Уравнения математической физики. Москва : Наука, 1982.Зоммерфельд А. Д. Дифференциальные уравнения в частных производныхфизики. Москва : Иностранная литература, 1957.Колесникова С. И.

Методы решения основных задач уравнений математической физики. Москва : МФТИ, 2015. 79 с.Курант Р. Уравнения с частными производными. Москва : Мир, 1964.Ладыжинская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения.Москва : Гостехиздат, 1953.Ладыжинская О. А. Краевые задачи математической физики. Москва :Наука, 1973.Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения. Москва : ЕдиториалУРСС, 2004. 232 с.Михайлов В. П.

Дифференциальные уравнения в частных производных.Москва : Наука, 1983.Михайлов В. П. Лекции по уравнениям математической физики. Москва :Физматлит, 2001.Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва : Физматлит, 1977.Михлин С. Г. Курс математической физики. Москва : Наука, 1968.Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. Ч. 1.Москва : Изд-во МГУ, 1976.Олейник О. А.

Лекции об уравнениях с частными производными. Москва :БИНОМ, 2005.Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.Москва : Физматгиз, 1961.Петровский И. Г. Лекции по интегральным уравнениям. Москва : Физматгиз, 1957.Петровский И. Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва : Физматгиз, 1960.Пикулин В. П., Похожаев С.

И. Практический курс по уравнениям математической физики. Москва : МЦНМО, 2004. 208 с.Положий Г. Н. Уравнения математической физики. Москва : Высшаяшкола, 1964.17924. Смирнов М. М. Сборник задач по уравнениям математической физики.Москва : Высшая школа, 1971.25. Смирнов М. М. Курс высшей математики. Т. 3, 4, 5. Москва : Физматгиз,1959.26. Соболев С.

Л. Уравнения математической физики. Москва : Наука, 1992.433 с.27. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Москва : Наука,1983. 432 с.28. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.Москва : Наука, 2004. 798 с.29. Трикоми Ф. Дж. Интегральные уравнения. Москва : Иностранная литература, 1960. 296 с.30. Трикоми Ф. Дж. Лекции по уравнениям в частных производных. Москва :КомКнига, 2007. 440 с.31. Уроев В.

М. Уравнения математической физики. Москва : ИФ Яуза, 1998.373 с.32. Шаньков В. В. Замена системы координат и метод характеристик : учебнометодическое пособие. Москва : МФТИ, 2017. 43 с.33. Шаньков В. В. Волновые уравнения и уравнения теплопроводности :учебно-методическое пособие.

Москва : МФТИ, 2017. 43 с34. Шаньков В. В. Интегральные уравнения и задача Штурма — Лиувилля :учебно-методическое пособие. Москва : МФТИ, 2018. 47 с.35. Шаньков В. В. Эллиптические уравнения : учебно-методическое пособие.Москва : МФТИ, 2018. 46 с.36. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.Москва : КомКнига, 2007. 240 с.180Учебное изданиеМихайлова Татьяна ВалентиновнаХасанов Адам АгзамовичНЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО КУРСУУРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИРедактор О. П. Котова. Корректор И. А. ВолковаДизайн обложки Е.

А. КазённоваПодписано в печать 05.03.2020. Формат 60  84 1/16. Усл. печ. л. 11,5.Уч.-изд. л. 10,5. Тираж 400 экз. Заказ № .Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования «Московский физико-технический институт(национальный исследовательский университет)»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел. (495) 408-58-22, е-mail: rio@mipt.ru___________________________________________________________Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г.

Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел. (495) 408 84 30. Е-mail: polygraph@mipt.ruДля заметок.

Характеристики

Список файлов книги