Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииФедеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«Московский физико-технический институт(национальный исследовательский университет)»Т. В. Михайлова, А. А. ХасановНЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО КУРСУУРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙФИЗИКИУчебное пособиеМОСКВАМФТ И2020УДК 517.958(075)ББК 22.161.6я73М69Рецензенты:Главный научный сотрудник Института автоматизации проектированияРАН, член-корр. РАН, профессор В.

А. ГущинГлавный научный сотрудник ФГУ «Федеральный исследовательскийцентр «Информатика и управление» РАН»,доктор физико-математических наук, профессор В. И. ЗубовМихайлова, Татьяна Валентиновна, Хасанов, Адам АгзамовичНекоторые методы решения типовых задач по курсу уравнения математической физики: учеб.

пособ. / Т. В. Михайлова, А. А. Хасанов.– Москва : МФТИ, 2020. – 184 с.ISBN 978-5-7417-0733-3.Рассматриваются некоторые методы решения ряда типичных задач покурсу Уравнения математической физики. Изложение ведется на примерахрешения задач, составляющих стандартные наборы для самостоятельногорешения, и задач из экзаменационных контрольных работ, которые предлагались в течение многих лет студентам МФТИ.Решение задач предваряет краткий справочный материал из теории,цель которых – напомнить соответствующие темы лекционных курсов.В пособие включена новая (по отношению к пособию, изданному в2007 году) глава, посвященная некоторым методам поиска частных решений отдельных типов уравнений.Предназначено для студентов физико-математических, физико-технических и экономических специальностей, повышающих подготовку поприкладной математике в рамках ГОС.УДК 517.958(075)ББК 22.161.6я73М69Печатается по решению Редакционно-издательского совета Московскогофизико-технического института (национального исследовательского университета)ISBN 978-5-7417-0733-3 Михайлова Т.

В., Хасанов А. А., 2020 Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«Московский физико-технический институт(национальный исследовательский университет)», 2020ОглавлениеПредисловие ................................................................................................. 4§ 1. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.Некоторые граничные задачи для уравнения второго порядкана плоскости .................................................................................................

5§ 2. Смешанная задача для полубесконечной струны ............................... 17§ 3. Метод Фурье решения смешанных задач ........................................... 293.1. Применение метода Фурье для решения смешанных задачдля волнового уравнения и уравнения теплопроводностина отрезке ............................................................................................ 383.2.

Первая смешанная задача для волнового уравненияи уравнения теплопроводности в круге ............................................. 703.3. Смешанные задачи для дифференциальных операторов болееобщего вида на плоскости ..................................................................

82§ 4. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа ......................... 90§ 5. Задача Коши для волнового уравнения и уравнениятеплопроводности .....................................................................................107§ 6. Интегральные уравнения ....................................................................125§ 7. Некоторые способы поиска частных решений неоднородныхуравнений ..................................................................................................165Литература ................................................................................................1793ПредисловиеВремя, прошедшее с момента издания в 2007 году учебного пособия«Сборник типовых задач по курсу уравнения математической физики», авторами которого являлись преподаватели кафедры высшей математикиМФТИ В.

П. Михайлов, Т. В. Михайлова и М. И. Шабунин, показало еговостребованность у студентов МФТИ для самостоятельной работы при выполнении домашних заданий и подготовке к экзаменам.Изменения, накопившиеся за этот период в составе типовых задач, осознание необходимости привлечения дополнительных приемов их решенияпобудили авторов к актуализации пособия и внесения в него необходимыхизменений.

Однако преждевременный уход из жизни В. П. Михайлова иМ. И. Шабунина не позволил им реализовать задуманное обновление.Предлагаемое учебное пособие является реализацией такого обновления сучетом их идей и наработок.Стиль изложения и структура пособия не претерпели существенныхизменений. Изложение ведется на примерах решения задач, составляющихстандартные наборы для самостоятельного решения и задач из экзаменационных контрольных работ, которые предлагались в течение многих лет студентам МФТИ с учетом элементов новизны в их постановках и методахрешений.

В каждом разделе предварительно разбираются способы решениябазовых задач, которые составляют основу метода решения для задач данного раздела. Решение задач предваряет краткий справочный материал изтеории, цель которых — напомнить соответствующие темы лекционныхкурсов. В пособие включена новая (по отношению к пособию, изданному в2007 году) глава, посвященная некоторым методам поиска частных решений отдельных типов уравнений.Предназначено для студентов физико-математических, физико-технических и экономических специальностей, повышающих подготовку поприкладной математике в рамках ГОС.4§ 1. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. НЕКОТОРЫЕГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИВ области G  R n рассмотрим уравнениеn a  xuijxi x j Ф  x, u , gradu   0,x   x1 ,..., xn   G ,(I)i , j 1в котором вещественная симметрическая матрица A  x   aij  0, x  G .

Впроизвольной точке x 0  G квадратичную формуn A  x  y, y    a  x  y y ,00ijiji , j 1порожденную матрицей A  x0  , можно привести с помощью невырожденного преобразованияy  B ,( )y   y1 ,..., yn   R n ,  1 ,...,n   R n , B  B  x 0  к каноническому виду,который представляет собой алгебраическую сумму квадратов координатвектора  .

При этом пусть n  n  x 0  из них будут с коэффициентом 1 ,n  n  x 0  — c коэффициентом 1 , а остальные n0  n0  x 0  — c коэф-фициентом 0 , т.е. будут отсутствовать, n  n  n0  n . Уравнение (I) принадлежит в точке x 0  G эллиптическому типу, если n0  0 и или n  n ,или n  n , гиперболическому типу, если n0  0 и или n  n  1 , илиn  n  1 , ультра гиперболическому типу, если n0  0 , и одновременноn  1 и n  1 , параболическому типу, если n0  0 .Уравнение (I) принадлежит эллиптическому (гиперболическому, …)типу на множестве G1  G , если оно принадлежит эллиптическому (гиперболическому, …) типу в каждой точке x0  G1 .Преобразование  B*x ,(  )  1 ,..., n  , x   x1 ,..., xn  приводит уравнение (I) в точке x  G к каноническому виду.В двумерном случае  n  2  уравнение (I) примет вид05a  x, y  u xx  2b  x, y  u xy  c  x, y  u yy  Ф  x, y , u , u x , u y  ,(II)где a  b  c  0 и принадлежит (в точке или области):гиперболическому типу, если b 2  ac  0 ;параболическому типу, если b 2  ac  0 ;эллиптическому типу, если b 2  ac  0 .В случае n  2 уравнение можно привести к каноническому виду нетолько в каждой точке, но и в окрестности точки, в которой уравнение сохраняет тип.Для уравнения (II) характеристическое уравнение22a  x, y  dy   2b  x, y  dxdy  c  x, y  dx   0(III)распадается на два уравнения:ady   b b  ac  dx  0.ady  b  b 2  ac dx  0 ,(IVa)2(IVb)Уравнения гиперболического типа: b 2  ac  0 .

Общие интегралы  x, y   c1 ,   x, y   c2 уравнений (IVa) и (IVb) действительны и различны. Они определяют два различных семейства действительных характеристик для уравнения (II). Заменой переменных     x, y  ,     x, y уравнение (II) приводится к видуu  Ф1   , , u , u , u  .(V)Иногда удается найти общее решение u   ,  уравнения (V). Тогдафункция u  x, y   u   x, y  ,  x, y   представляет собой общее решениеуравнения (II).Уравнения параболического типа: b 2  ac  0 . Уравнения (IVa) и(IVb) совпадают.

Общий интеграл   x, y   c этих уравнений определяетсемейство действительных характеристик для этого уравнения. Заменойпеременных     x, y  ,     x, y  , где   x, y  — любая гладкая функция такая, что замена переменных взаимно однозначна в рассматриваемойобласти, уравнение (II) приводится к видуu  Ф1  , , u , u , u  .(VI)Уравненияэллиптическоготипа:Пустьb 2  ac  0 .  x, y   i  x, y   c — общий интеграл уравнения (III) , где   x, y  и6  x, y  —действительныефункции1).Тогдазаменойпеременных    x, y  ,     x, y  уравнение (II) приводится к каноническому видуu  u  Ф1  , , u , u , u  .(VI)Замечание.

В дальнейшем для удобства будем вместо u   ,  писатьпросто u   ,  .Пример 1. Определить тип уравнения4uxx  4uxy  2u yz  3u y  u z  0(1)и привести его к каноническому виду, где u  u  x, y, z  . Переобозначив x через x1 , y через x2 , z через x3 , запишем уравнение (1) в виде4ux1x1  4u x1 x2  2ux2 x3  3ux2  ux3  0 .(2)Квадратичная форма, порождаемая матрицей старших коэффициентовуравнения (2), имеет вид4 y12  4 y1 y2  2 y2 y3 , y   y1 , y2 , y3  .Приведем ее с помощью невырожденного вещественного преобразованияк сумме квадратов4 y12  4 y1 y2  2 y2 y3  2 y 12 2  2 y1  y2  y22  y22  2 y2 y3 2 2 y1  y2    y22  2 y2 y3  y32   y32  2 y1  y2    y2  y3   y32 .22Пусть1  2 y1  y2 ,  2  y2  y3 ,  y . 33(3)Тогда4 y12  4 y1 y2  2 y2 y3  12  22  32 .Следовательно, это уравнение является гиперболическим.Из (3) нетрудно получить, что_______________________________________________________________________________________1)Если a , b , c — аналитические функции, то существование общего интегралауравнения (III) вытекает из теоремы Ковалевской.7111 y1  2 1  2 2  2 3 , y2   2   3 ,y  ,3 3(4)илиy  B , где B (см.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги