Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(  )) имеет вид11 12 2 2B   0 1 1 0 0 1 Тогда матрица B * имеет вид 10 0 21B* 1 0 2  1 1 1  2Рассмотрим согласно (**) преобразование   B x ,   1 ,  2 , 3  ,или1 1  2 x1 ,1 2  x1  x2 ,21 3   2 x1  x2  x3 .Запишем уравнение (2) в переменных  1 , 2 , 3  .

Из (5) имеем03−14111u x1  u1  u2  u3222u x2  u2  u3u x3  u3111111u x1 x1  u11  u22  u33  u12  u13  u234442228(5)111111u x1 x2  u12  u22  u23  u13  u23  u33222222u x2 x3  u23  u33−4−2Слева от вертикальной черты написаны коэффициенты, с которыми соответствующие производные входят в уравнение (2).Приведя подобные члены, получаем111 1 1 1 1u11  4   u2 2  4  4   u3 3  4  4  2   u1 2  4  4  4424222111 1 1u13  4  4   u 23  4  4  4  2   u 2 3  u3  3  1  022222илиu11  u22  u33  3u2  4u3  0 .Пример 2.

Найти общее решение уравнения3u xx  5u xy  2u yy  7 sin  x  3 y  .(1) Найдем характеристики уравнения. Из (III) имеем2223  dy   5dxdy  2  dx   0 или 3  y    5 y   2  0 ,1. Следовательно, y  2 x  C1 и33y  x  C2 — два семейства характеристик уравнения (1). Введем характеристическую замену переменных  2 x  y,(2)  x  3 yи запишем уравнение (1) в новых переменных:u x  u  2  u 1,откуда получаем, что y  2 и y u y  u 1  u   3  ,3uxx  4u  4u  u ,−2u yy  u  6u  9u ,−5u xy  2u  5u  3u ;откуда получаемu 12  2  10   u 12  12  25  u  3  18  15   7sin  ,или949u  7 sin  .Следовательно,1u   cos  C1   ,7где C1    — любая функция класса C 2 .

Проинтегрировав последнее равенство по  , получаем1u   ,     cos  f    g   ,7где f   и g   — любые функции класса C 2 , откуда в силу замены переменных (2) находим общее решение уравнения (1):1u  x, y     2 x  y  cos  x  3 y   f  2 x  y   g  x  3 y  . 7Пример 3. Решить задачу Коши:yxxu xx   x  y  u xy  yu yy  ux  u y   0, x  0, y  0;yxuy 1 x2 ,uyy 1 2,x  0.(1)(2) Найдем характеристики уравнения (1). Из (III) находим22x  dy    x  y  dxdy  y  dx   0 ,или2x  y   x  y  y  y  0 .Отсюда получаем, что y  1 и y   yy.

Следовательно, y  x  C1 иxC2— два семейства характеристик уравнения (1).xВведем характеристическую замену переменных  x  y,  xy,и запишем уравнение (1) в новых переменных:yxyxu x  u 1  u  y10(3)yxyxu y  u   1  u  xxu xx  u  2 yu  y 2 uyu yy  u  2 xu  x 2ux yu xy   xu   x  y  u  xyu  uОтсюда имеемu  x  y   x  y    u  xy 2  yx 2  xy  x  y   2u 2 yx  2 xy   x  y  u 1  1 yxyx u  y  x   x  y   0.yx yxСледовательно, уравнение принимает вид x  y2u  0 ,или (так как x  0, y  0 )u  0 .(4)Отсюда следует, что u   ,   f     g   , где f   и g   — любыефункции класса C 2 , является общим решением уравнения (3), а функцияu  x, y   f  x  y   g  xy (5)есть общее решение уравнения (1).Подберем функции f   и g   так, чтобы выполнялись условия (2).Из (5) и (2) получаемu y 1  f  x  1  g  x   x 2 ,x  0,(6)uyy 1  f   x  1  xg   x   2,x0(7)(так как u y  x, y   f   x  y    1  g   yx   x ).Продифференцировав равенство (6) как тождество по x , получаемf   x  1 1  g   x  1  2 x, x  0.(8)Сложив равенства (7) и (8), получим x  1 g   x   2  2 x,илиg   x   2, x  0.11x  0,Откуда следует, чтоg  x   2 x  A,x  0,(9)где A  R — любое число.Из (9) и (6) находимf  x  1  x 2  g  x   x 2  2 x  A 2  x 2  2 x  1  1  A   x  1  1  A,или2f  x  1   x  1  1  A,откуда, обозначив q  x  1 , получаемf  q   q2 1  A .(10)Из (5), (9) и (10) получаем2u  x, y    x  y   1  A  2 xy  A.Следовательно, функция2u  x, y    x  y   1  2 xy  x 2  y 2  1есть решение задачи (1), (2).Пример 4.

(Задача о максимальной области.) Найти максимальнуюобласть Q плоскости R2 , в которой решение уравненияu yy  uxx  0(1)однозначно определяется условиямиuy 0 u0  x  ,uyy 0 u1  x  ,0  x  1,(2)где u0  x   C 2  0,1 , u1  x   C1  0,1 . Уравнение (1) имеет два семейства характеристик: x  y  C1 иx  y  C2 , а в переменных   x  y ,   x  y это уравнение принимаетвид u  0 . Поэтому любое решение уравнения (1) можно записать в видеu  x, y   f  x  y   g  x  y при некоторых дважды непрерывно дифференцируемых функциях f   иg   . Следовательно, в квадратеQ   x, y  : 0  x  y  1,0  x  y  112решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), определено однозначно формулой Д’Aламбера.

Покажем, что Q — искомая область.Пусть в некоторой области  ,   Q существует решение u  x, y уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2). Тогда функцияu1  x, y   u  x, y   F  x  y  1 ,  x, y    , где F  t   0 для t  0 иF  t   t 4 для t  0 , также является решением уравнения (1) в области  ,удовлетворяющее условиям (2) и отличным от u  x, y в каждой точкемножества 1     x, y  : x  y  1.Функцииu 2  x, y   u  x, y   F  x  y  , x, y    ,u3  x, y   u  x, y   F  x  y  1 ,  x, y    ,u4  x, y   u  x, y   F   x  y  ,  x, y    ,также являются решениями в уравнения (1), удовлетворяющими условиям(2) и отличными от u  x, y  в каждой точке множеств: 2     x, y  : y  x  0 , 3     x, y  : x  y  1 , 4     x, y  : x  y  0соответственно.Следовательно, Q — искомая область.Пример 5.

Решить задачу Коши.Найти наибольшую область, где решение определено однозначно.x2 uxx  4 y 2 u yy  xux  4 yu y  16 x 4 ,(1)uy 1 3x 4 ,uyy 1 0, 0  x  2. Найдем характеристики уравнения (1). Из (III) находим222x 2  dy   4 y 2  dx   0 , или x 2  y    4 y 2  0 .Отсюда получаем, чтоа) xdy  2 ydx  0 x2dydx 2  ln y  ln x 2  ln C  C1 ;yxy13(2)б) xdy  2 ydx  0 dydx 2  ln y   ln x 2  ln C  x 2 y  C2 .yxx2 C1 и x 2 y  C2 — два семейства характеристик уравнеyния (1). Введем характеристическую замену переменныхПолучилиx2  ,y  x 2 y(3)и запишем уравнение (1) в новых переменных:2xu x  u  x  u x  u x  u 2 xy ,xy4 y x2 u y  u  y  u y  u   2   u x 2 , y x2u xx 22x 2x2xu   u u 2 xy   2 yu  2 xy  u u 2 xy  ,yy yyu yy 2xx2u  23 yy4y2  x2  2   x2 22 u   2   u x   x  u   2   u x   y   y Отсюда имеем 4 x4 4 x4 u  2  2   u  4 x 4  4 x 4  4 x 4  4 x 4   u  4 x 4 y 2  4 x 4 y 2  y  y x2x2x2x2 u  2  4  2  8   u  2 x 2 y  4 x 2 y  2 x 2 y   16 x 4 ,yyy y16 x 4u  16 x 4 ,u  1.(4)Следовательно, u  ,   f    g     , где f   и g   есть любые функции класса C 2 , является общим решением уравнения (4), а функция x2 u  x, y   f    g  x 2 y   x 4 yесть общее решение уравнения (1).14(5)Подберем функции f   и g   так, чтобы выполнялись условия (2).Из (5) и (2) получаемu y 1  f  x2   g  x 2   x4  3x 4 ,uyy 1 f  x2  x   g   x  x2221  x  2, 0,1  x  2,(6)(7) x 2  x 2 (так как u y  x, y   f     2   g   x 2 y  x 2 ). y  y Сделав замену z  x 2 в (6) и (7), получаемf  z   g  z   2z2 ,1  z  4,(8) zf   z   zg  z   0,1  z  4.(9)Продифференцировав тождество (8) по z и сократив тождество (9) наz , получаемf   z   g   z   4 z,1  z  4,(10) f   z   g   z   0,Сложив (10) и (11), имеем2g   z   4z,g   z   2 z,1  z  4.(11)1  z  4,1  z  4,2g  z   z  C,1  z  4.(12)Из (8) и (12) получаем, чтоf  z   z 2  C,1  z  4.(13)Из (5), (12) и (13) находим, чтоu  x, y  x4 x 4 y 2  x4 ,2yгдеx2 4 из (13)1  z }. x, y   Q  { x, y   R : y 1  z  x 2 y  4 из (12)3 x22  y  x4}.Нарисуем область Q , Q  { x, y  : 1 y 4 x 2x2CD — это область задания начальных условий (2) задачи Коши (1), (2).15Найдем координаты точек A и B ; получим1A  2,  , B22, 2(рис.

Характеристики

Список файлов книги