Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пусть    A, B — конечный интервал оси Ox , а область QT   x, t  : A  x  B, 0  t  T — прямоугольник высоты T  0 с основанием    A, B  . Граница области  в этом случае состоит из двух точек: x  A и x  B ; в каждой изэтих точек (на соответствующей стороне прямоугольника QT ) задаетсяодно из граничных условий типа (IV) или типа (V).Типичная смешанная задача в гиперболическом случае выглядит следующим образом:1utt  u xx  f  x, t  ,  x, t   QT ,(XI)a2u t 0    x  , A  x  B ,(XII)utt 0ux A   x,x A B,(XIII)  A t  , t  0  T ,(XIV) ux   Bu xB B  t  , 0  t  T ,(XV)где число  B  0 .

Вместо условий (XIV) и (XV) могут быть, например,условия(XIV’) ux   Au  x  A   A  t  , 0  t  T ,uxB B  t  , 0  t  T ,(XV’)где число  A  0 .Аналогично обстоит дело и со смешанными задачами для одномерногоуравнения теплопроводности.Спектральную задачу при n  1 рассмотрим только в двумерном случае  n  2  , причем область  будем считать либо квадратом (прямоугольником), либо кругом.В обоих случаях воспользуемся методом разделения переменных.Рассмотрим сначала случай квадрата (прямоугольника) в  2 .33Пусть, например,    x, y  : 0  x  1, 0  y  1 .Решение u  x, y  задачи x, y     0  x  1, 0  y  1 .0  y  1,x  0   u x   u  x 1  0,u   u ,uuyy 0uy 1(XVI) 0, 0  x  1 ,где постоянная   0 (мы взяли, например, такое распределение граничных условий на сторонах квадрата), будем искать в виде произведенияX  x   Y  y  .

Для функций X  x  и Y  y  получаем одномерные спектральные задачи :X ''   2 X , 0  x  1, X  0   X ' 1   X 1  0 ,(XVI”)Y "   2Y , 0  y  1, Y '  0   Y 1  0 ,где22    .Пустьпоследовательности(XVI”) ,  , ,  , 21222nи ,  , ,  ,  составляют спектры задач (XVI’) и (XVI’’), а ортогональ21222nные в L2  0, 1 системы функцийX1  x  ,  ,X n  x  ,  , Y1  y  ,  , Yn  y  , соответствующие системы собственных функций.Функции unk  x, y   X n  x  Yk  y  , 0  x  1, 0  y  1, n, k  1, 2,  ,образуют полную ортогональную в L2  0  x  1, 0  y  1 систему собственных функций задачи (XVI), отвечающих соответствующей системесобственных функций nk   n2   k2 , n, k  1, 2, В случае, когда  есть круг OR0 радиуса R с центром в начале координат, задача (IX) (ее удобно переписать в полярных координатах:x  r cos  , y  r sin  ) имеет вид11rr  r  2    , r  R, 0    2 ,rr r  R  0.(XVII)Считая, что   r ,    Z  r      , после разделения переменных дляфункций Z  r  и    получим задачи "     2     0,   0     2  ,   0      2  ;r Z "  r   rZ '  r     r  22234 Z  r   0,Z R  0 ,(XVIII)(XIX)в которых  — постоянная.

Из (XVIII) следует, что  m  m, m  0, 1, 2,  ,     m    Am cos m   Bm sin m при m  1, 2 ,  ,     0    A0 при m  0,где Am , m  0, 1, 2,  , и Bm , m  1, 2,  , — произвольные постоянные.Общее решение уравнения (XIX) при    m  m, m  0, 1, 2 ,  , имеетвидZ m  r   Cm J m r  Dm N mr ,(XX)где Cm и Dm , m  0 ,1, 2,  , - произвольные постоянные, а J m   и N m   — цилиндрические функции Бесселя и Неймана (см.  4 ). В интересующемнас случае, когда r   0, R ,Z m  r   Cm J mпоскольку N m r , m  0, 1, 2,  , r   при r  0 .Если учесть граничное условие в (XIX), то   mZ m  r   Z m , k  r   Cm ,k J m  k Rr  , k  1, 2,  ,где k m  — k -й положительный нуль функции J m   , m  0, 1, 2,   0Таким образом, функция A0  J 0  k R0задачи (XVII) при   k  0 k Rr  есть нетривиальное решение2 для всех k , k  1, 2,  ,   m а функции  Am cos m   Bm sin m    J m  k r  при любых постоянных Am R и Bm являются решениями задачи (XVII) при   m   k m   k  , k  1, 2, , m  1, 2, R Весь спектр задачи (XVIII) состоит из собственных значений35m   k  m  k R2 , k  1, 2, , m  0, 1, 2,(XXI)Каждое собственное значение k  , k  1, 2, , однократное, а соответствующая ему собственная функция есть0   0J0  k Rr  , k  1, 2, (XXII)Каждое собственное значение k  , k  1, 2,  , при m  1 двукратно,соответствующие ему линейно независимые собственные функции естьm   m   m  J m  k r  cos m  и J m  k r  sin m  .(XXII’) R  R Система функций (XXII) и (XXII’) образует ортогональный базис вгильбертовом пространстве L2  QR0  .

Это означает, что для любой функцииfˆ  x, y   fˆ  r cos  , r sin    f  r ,    L2  QR0  имеет место сходящееся вL2  QR0  разложение в ряд Фурье:  0 f  x, y   f  r ,     A0k J 0  k Rk 1r    m  Amk cos m   Bmk sin m   J m  k Rm 1 k 1в котором коэффициенты Фурье:r,2  k 0 rdrfr,J00 0 R r  d A0k , k  1,2R 0 k 2  r  J 0 r  dr  R  0 R2 k m rdrfr,Jm 0 0 R r  cos m  d , m  1, k  1,2R m k  r  J m r   dr0  R RAmk36(XXIII)2  k m  rdrfr,Jm 0 0 R r  sin m  d, m  1, k  1.2R m k  r  J m r   dr0  R RBmk(Напомним, что скалярное произведение в L2  QR0  имеет вид2R f , q L  Q    f  x, y  q  x, y  dx dy   d   f  r ,   q  r ,   r dr .)20RQR000   m Jm  k r  , R k  1, 2, , образует ортогональный базис в гильбертовом пространствеL  0, R  , скалярное произведение в котором определяется формулойПри каждомm, m  0, 1, 2, , система функций2R f , q  L 0, R    r f  r  q  r  dr .20Это означает, что для любой функции f  r   L2  0, R  при любом 2  0, R  разложение в ряд Фурье :целом m  0 имеет место сходящееся в L   m f  r    Ck m  J m  k r  , R k 1коэффициенты Фурье в котором(XXIV) k m rfrJm 0 R r  dr , k  1, 2,mCk 2R m0 r  J m  Rk r   dr Замечание.

При решении задач, связанных с функциями Бесселя, используется равенствоR  m     Am cos m  Bm sin m   J m  k r    R    m  k R2 k m  AcosmBsinmJr , k , m  1, 2,  (XXV)mmm  R 373.1. Применение метода Фурье для решениясмешанных задач для волнового уравненияи уравнения теплопроводности на отрезкеВ качестве ПРИМЕРА одномерной спектральной задачи рассмотримследующую задачу:u " x    2 u  x  , 0  x  1,(1)u ' 0  u  0  0 ,(2)u 1  0 .(3)Если   0 , то u  x   C1  C2 x .

При выполнении условий (2) и (3) получаемC2  C1  0,C1  C2  0.Отсюда C1  C2  0, u  x   0 , т.е.  2  0 не является собственнымзначением задачи.Пусть   0 . Тогда любое решение уравнения (1) определяется формулойu  x   C1 cos  x  C2 sin  x .Отсюдаu   x   C1 sin  x   C2 cos  x .Используя условия (2) и (3), получаемC1   C2 C2  C1  0, CcosCsin0.Ccos  C2 sin   0. 12 2 C1  C2 ,   cos   sin   C2  0.Это означает, что  2 является собственным значением задачи тогда итолько тогда, когда  является ненулевым (и положительным) корнемуравнения(4)tg     ,т.е. числа k2 , k  1, 2,  , и только эти числа являются собственными значениями задачи. Здесь k — k -й положительный корень уравнения (4).38Соответствующие собственные функции при этом имеют видuk  x   C2 k cos k x  C2 sin k x  C2  k cos k x  sin k x  , C2  0, k  1, 2,...илиuk  x   k cos k x  sin k x, k  1, 2,...(здесь воспользовались соотношением C1   C2 ).Пример 1.

Решить смешанную задачу:1ut  u xx  17 cos 4t sin 6 x, t  0, 0  x   ;36u t  0  6sin 24 x  4  2 x, 0  x   ;(1)(2)ux 0 4 , t  0 ;(3)ux  2 . t  0 .(4) 1. Если условия (3), (4) не являются однородными, то найдем какуюнибудь функцию q  x, t  , удовлетворяющую условиям (3) и (4).Можно, например, попробовать искать такую функцию в виде многочлена по x :q  x, t   ax  b ,q  x, t q  x, t x x 0 b  4 , a  b  2 .Отсюда получаем, что b  4 , a 1 2  4   2.Таким образом,q  x, t   2 x  4 .2. Рассмотрим новую искомую функцию   x, t  такую, что  x, t   u  x, t   q  x , t  ,  x, t   u  x, t    2 x  4  ,и запишем задачу (1), (2), (3), (4) для функции   x, t  : так какt  ut ,  xx  u xx ,t 0ut 0  2 x  4 39t 0ut 0  2 x  4  ,(5)то получим следующую задачу:1t   xx  17 cos 4t sin 6 x, t  0, 0  x   ;36 t  0  6sin 24 x, 0  x   ;(6)(7)x 0 0, t  0 ;(8)x  0, t  0 .(9)Решение задачи (6), (7), (8), (9) будем искать в виде  x, t    Tk  t k  x  ,kгде  k  x  — собственные функции следующий задачи Штурма — Лиувилля: ''  x    2  x  , 0  x   ;  0   0;     0.3.

Решим задачу (10).Пусть   0 . Тогда уравнение в (10) примет вид:  "  x   0.(10)Следовательно,   x   C1 x  C2 , а из граничных условий в (10) имеем:  0   C2  0,     C1  C2  0 .Отсюда C1  0, C2  0 и   x   0 . Следовательно,  2  0 не являетсясобственным числом задачи (10). Пусть   0 .

Характеристики

Список файлов книги