Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1).Рис. 1Искомая наибольшая область Q — это криволинейный четырехугольник ADBC (доказать, что Q — действительно максимальная область). 16§ 2. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧАДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫПростейшей после задачи Коши краевой задачей для одномерного волнового уравнения является смешанная задача на полуоси (задача для полубесконечной струны):1utt  u xx  f  x, t  , x  0 ,(I)t  0;a2u t 0    x  , x  0 ;(II)utt 0  x , x  0 ;u x 0    t  ,(III)t 0.(IV)2Для существования классического решения (из C  x  0, t  0  ) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия гладкости:  x   C 2  x  0  ,  x   C 1  x  0  ,   t   C 2  t  0  ,f  x, t   C  x  0, t  0 и условия согласования:1   0      0   f  0, 0  .a2Граничное условие (IV) жесткого закрепления конца струны часто заменяется условием его пружинного закрепления:  0    0  ,   0      0  ,ux   u  x0   t  ,t 0,(IV*)где   0 ; условие неотрицательности коэффициента  — чисто физическое условие; при   0 условие (IV*) — условие свободного конца.

Вэтом случае условия согласования выглядят так:   0     0     0  ,    0     0      0  .Классические решения задачи (I), (II), (III), (IV) и задачи (I), (II), (III),(IV*) единственны.Наряду с классическими решениями указанных задач рассматривают иобобщенные решения этих задач.Не напоминая здесь определения обобщенного решения, скажем лишь,что принадлежащая C1  x  0, t  0  функция u  x, t  , удовлетворяющаяначальным и граничным условиям (II), (III), (IV) или (II), (III), (IV*) и прилюбой финитной в  x, t  : x  0, t  0 функции g  x, t   C 2  x  0, t  0  ,удовлетворяющая равенству171 u  x, t   a2x 0, t  0gtt  x, t   g xx  x, t  dxdt   f  x, t g  x, t  dxdtx  0, t  0( u  x, t  удовлетворяет уравнению (I) в смысле обобщенных функций), является обобщенным решением задачи (I), (II), (III), (IV) или задачи (I), (II),(III), (IV*).

Обобщенное решение каждой из этих задач единственно. Существование обобщенных решений, естественно, устанавливается при меньших ограничениях на функции   x  ,   x  ,   t  и, в частности, на условия их согласования.Рассмотрим решения некоторых задач.Пример 1. Решить задачу9utt  u xx  6t sin x ,3xu t 0  e ,uxutx 0x  0, t  0;2 9 x  6sin x ,t 0 3  6t ,x0;t 0.(1)(2)(3) 1.

Так как уравнение является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение этого уравнения.В нашем случае ищем частное решение уравнения (1) в видеw  x, t    At  B  sin x .(4)Подставляя (4) в уравнение (1), получаем0    At  B  sin x  6t sin x , A  6, B  0 .Таким образом, функцияw  x, t   6t sin xесть частное решение уравнения (1).2. Введем новую искомую функцию   x, t  такую, что  x, t   u  x, t   w  x, t  ,  x, t   u  x, t   6t sin x ,и запишем задачу (1), (2), (3) для функции   x, t  :9tt   xx , x  0 , t  0 ;3x t  0  e , txx 02t 0 9x , x  0 ;3, t  0.Общим решением волнового уравненияtt  a 2xx , a  R, a  0 ,18(5)(6)(7)является функция  x, t   f  x  at   g  x  at  ,где f   и g   — любые функции класса C 2 .В нашем случае общее решение уравнения (5) запишется в виде  x, t   f  3 x  t   g  3 x  t  .3.

Из (8) и условий (6) следует, что t  0  f  3 x   g  3 x   e3 x ,tx0;2t 0(8) f   3 x   g   3x   9 x ,x0.Сделав замену переменной q  3 x в обоих выше написанных соотношениях, получимf  q   g  q   eq , q  0 ,(9*)f   q   g   q   q2 , q  0 .(9**)Продифференцировав правую и левую части равенства (9*) поq,получаем из (9*) и (9**)f   q   g   q   eq , q  0 ,(9***)f   q   g   q   q2 , q  0 .Сложив (9***) и (9****), находим11f   q   eq  q 2 , q  0 ,221 q 1 3f q  e  q  C, q  0 ,26(9****)(10)(11)где C — произвольная постоянная.

Подставляя f  q  из равенства (11) всоотношение (9*), получаем11g  q   eq  q3  C , q  0 .(12)26Из (8), (11) и (12) следует, что решение задачи в области x, t  : 3x  t  0,3x  t  0 имеет вид111133  x, t   e3 x  t   3 x  t   e3 x  t   3 x  t  .26264. Из (8) и условия (7) имеем x x  0  3 f   t   3g   t   3 , t  0 .Разделив обе части этого равенства на 3, получим19(13)f   t   g   t   1 , t  0 .Воспользовавшись соотношением (10), находим1 t 1 2e  t  g   t   1 , t  0 .2211g   t   1  et  t 2 , t  0 .22Положив p  t , имеем11g   p   1  e p  p 2 ,22p0.Следовательно,11g  p   p  e  p  p3  C1 ,26где C1 — произвольная постоянная.Таким образом, решение задачи в областиp  0,(14) x, t  : 3x  t  0,3x  t  0задается формулой111133  x, t   e3 x  t   3 x  t    3 x  t   e  3 x t   3 x  t   C1 .

(15)26265. Найдем связь постоянной C из формулы (12) и постоянной C1 изформулы (14), требуя непрерывности решения задачи в области x, t  : x  0, t  0 . Для этого осуществим «склейку» по непрерывностирешений, задаваемых формулами (13) и (15) в соответствующих областях,на общей границе этих областей, то есть на характеристике 3 x  t  0 или,что то же самое, «склейку» по непрерывности функций g   , задаваемых(12) и (14) в нуле:11 C  g  0  0   g  0  0    C1 .22Отсюда следует, чтоC1  C .Подставляя найденное значение C1 в формулу (14), получаем11g  p   p  e  p  p3  С ,(16)p  0.26Из (8), (11) и (16) следует, что решение задачи в области x, t  : 3x  t  0,3x  t  0 имеет вид201 3xt 11133(17)e  3 x  t    3 x  t   e 3 x  t    3 x  t 2626Из (13) и (17) следует, что решением задачи (5), (6), (7) является функ-  x, t  ция3 1 3xt 1  3x  t  ,3 x  t  0; 2 e1 3xt 136  x, t   e  3x  t   26 3 x  t   1 e 3 x t   1  3 x  t 3 , 3 x  t  0.26Следовательно, функцияu  x, t     x, t   6t sin x ,где функция   x, t  определена выше, будет решением задачи (1), (2), (3).Пример 2.

Решить задачуutt  4u xx  6 xt ,3u t 0  x ,utt 03u x 0  t ,x  0, t  0;(1)0,(2)x0;t 0.(3) Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение этого уравнения. В нашем случае легко видеть, что,например, функция w  xt 3 является частным решением уравнения (1).Введем новую искомую функцию   x, t  такую, что  x, t   u  x, t   w  x, t  ,  x, t   u  x, t   xt 3(4)и запишем задачу (1), (2), (3) для функции   x, t  :tt  4 xx  0 , x  0 , t  0 ;3 t  0  x , tt 03 x 0  t ,0,x0,t 0.(5)(6)(7)Общее решение уравнения (5) имеет вид  x, t   f  x  2t   g  x  2t  .(8)Из (8) и соотношений (6) следует, что t 0  f  x   g  x   x 3 , x  0 ,(9*)tt 0 2 f   x   2g   x   0 , x  0 .21(9**)Продифференцировав правую и левую части равенства (9*) по x , получаемf   x   g   x   3x 2 , x  0 .(9***)Сложив (9***) и (9**), поделенное на 2, находим2 f   x   3x 2 , x  0 ,f  x 3 2x , x0,21 3x С, x  0,(10)2где C — произвольная постоянная.

Подставляя f  x  из соотношения (10)в равенство (9*), получаемg  x   x3  f  x  , x  0 ,f  x 11g  x   x3  x 3  C  x 3  C , x  0 .(11)22Из (8), (10) и (11) следует, что решение задачи в областиx, t  : x  2t  0, x  2t  0 имеет вид1133 x  2t    x  2t  .22Из (8) и соотношения (7) имеем x  0  f  2t   g  2t   t 3 , t  0 .  x, t  (12)Воспользовавшись соотношением (10), получим13 2t   C  g  2t   t 3 , t  0 ,2g  2t   t 3  4t 3  C , t  0 ,g  2t   3t 3  C , t  0 .Положив p   2t , имеем3 3p C , p  0.(13)8Заметим, что из (11) и (13) следует, что «склейку» по непрерывностифункции в нуле проводить не надо в случае выполнения условий согласования.Из (8), (10) и (13) следует, что решение задачи в области x, t  : x  2t  0, x  2t  0 имеет видg  p 221333(14) x  2t    x  2t  .28Из (12) и (14) следует, что решением задачи (5), (6), (7) является функ-  x, t  ция31 x  2t  , x  2t  0;13 2  x, t    x  2t   2 3  x  2t 3 , x  2t  0. 8Следовательно, функцияu  x, t   xt 3    x, t  ,где функция   x, t  определена выше, будет решением задачи (1), (2), (3).Пример 3.

Решить задачуutt  9u xx  2 ,3u t 0  x  x , u  u x  x 0utx  0, t  0;2t 0 9 x , t 2 1 ,x0;t 0.(1)(2)(3) Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение этого уравнения.В нашем случае легко видеть, что, например, функция w  t 2 являетсячастным решением уравнения (1).Введем новую искомую функцию   x, t  такую, что  x, t   u  x, t   w  x, t  ,  x, t   u  x, t   t 2 ,(4)и запишем задачу (1), (2), (3) для функции   x, t  :tt  9vxx ,3 t 0  x  x ,x  0, t  0;vt2t 0 9 x ,   x  x  0  1 ,(5)x0;t 0.Общее решение уравнения (5) имеет вид  x, t   f  x  3t   g  x  3t  .Из (8) и соотношений (6) имеем t 0  f  x   g  x   x  x3 , x  0 ,23(6)(7)(8)(9*)tt 0 3 f   x   3 g   x   9 , x  0 .(9**)Продифференцировав правую и левую части равенства (9*) по x , разделив обе части равенства (9**) на 3, получаемf   x   g   x   1  3x 2 , x  0 ;(9***)f   x   g   x   3x 2 , x  0 .(9****)Сложив полученные равенства (9***) и (9****), находим2 f  x  1 , x  0 ;f  x 1,2x0;(10)1x C , x  0 ,(11)2где C — произвольная постоянная.

Подставляя f  x  из соотношения (11)в равенство (9*), получаемg  x   x  x3  f  x  , x  0 ,f  x 1x  x3  C , x  0 .(12)2Из (8), (11) и (12) получаем, что решение задачи в областиx, t  : x  3t  0, x  3t  0 имеет видg  x 113 x  3t    x  3t    x  3t  .22Из условия (8) и соотношения (7) имеем   x  x 0  f  3t   g  3t   f   3t   g   3t   1 , t  0 .  x, t  Сделав замену 3t  p в выше написанном соотношении, получимf  p   g   p   f   p   g    p   1 , p  0 .Воспользовавшись соотношениями (10) и (11), находим11p  C  g   p    g    p   1 , p  0 ,221 1g  p   g  p    p  C , p  0 .2 2Положив q   p , имеем1 1g  q  gq    q  C , q  0 ,2 224(13)или11C  q , q  0 .(14)22Решая уравнение (14), получаем, что1g  q   C1eq  q  C , q  0 ,(15)2где C1 — произвольная постоянная.Найдем связь постоянной C из формулы (12) и постоянной C1 из форgq  g q мулы (15), осуществив «склейку» по непрерывности функции g   в нуле:0  C  g  0  0   g  0  0   C1  C .Отсюда следует, что C1  0 .Подставляя найденное значение C1 в формулу (15), получаем1g q  q  C , q  0 .(16)2Из (8), (11) и (16) следует, что решение задачи в области x, t  : x  3t  0, x  3t  0 имеет вид11(17) x  3t    x  3t  .22Из (13) и (17) следует, что решением задачи (5), (6), (7) является функ-  x, t  ция31x  3t    x  3t  , x  3t  0;1  x, t    x  3t    212 x  3t  , x  3t  0.2Следовательно, согласно (4), функцияu  x, t   t 2    x, t  ,где функция   x, t  определена выше, будет решением задачи (1), (2), (3).Вместо волнового уравнения можно взять иное гиперболическое уравнение и рассмотреть смешанную задачу на полуоси для этого уравнения.Пример 4.

Характеристики

Список файлов книги