Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Воспользовавшисьразложением (5), получим371  1T  t  sin  J1  k 3k 1'k   1r   4 Tk  t     k  3k 1  13 Tk  t  sin  J1  k 3k 12 1 sin  J1  k 3  1r   e  t   k sin  J1  k 3k 1r(7)r ; k1  11 T0sinJr8Jr sin  .t 0k11 3 k 1 3 Здесь использовано равенство (5), а также равенство (см.

(XXV))u2  1    1   1  sin  J1  k r      k  sin  J1  k 3  3  3Из соотношений (7) и (8) получаем  1T  t   4  k 3'k(8)r  , k  1, 2, 2t Tk  t   3Tk  t    k e , k  1, 2,  ;8, k  1,Tk  0    0, k  2, 3, Отсюда, введя обозначение  1 k  4 k 32  3, k  1, 2,  ,(9)получим следующие задачи для нахождения функций Tk  t  , k  1, 2,  :T   t    T  t    e  t ,kk kkk  2, 3,...;Tk  0   0,10 11T   t    T  t    e t ,11 11T08. 112 13иРешим задачу (10), (11).

Общее решение уравнения (10) есть сумма общего решения однородного уравнения, которое имеет видСe  k t ,и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем в видеae  t(14)(здесь заметим, что  k  3 при всех k  1, 2,  , т.е. резонанса нет).72Подставив функцию (14) в равенство (10), получимaet   k ae t   k e t ,a   k  1 et   k e t ,k. k 1Следовательно, общее решение уравнения (10) имеет видTk  t   Сe  k t  k e t , k  2, 3,  k 1Найдем постоянную C , удовлетворив условие (11). ПолучимTk  0   C  k , k  2,3,... k 1Отсюда имеем, что решение задачи (10), (11) имеетke  t  e  k t  , k  2, 3, Tk  t   k 1 Аналогичным образом, решив задачу (12), (13), получаем, чтоa(15) T1  t     8  1  e 1t  1 e 2t  .(16)1  1  1  1 Из соотношений (4), (15) и (16) получаем, что функция  1  u  r ,  , t     8  1  e  1t  1 e  t  sin  J1  1 r   3 1  1  1  1 1 k  e  t  e  k t  sin   J1  k r  ,k 2  k  1 3 где  k и  k , k  1, 2,  , определены формулами (6) и (9) соответственно,есть решение задачи (1), (2), (3).Пример 2.

Решить смешанную задачу:utt  4u  2 xy, t  0, r  1, 0    2  ;u2t 02(1) x  y , ut t  0  0, r  1, 0    2  ;(2) 1, t  0, 0    2  .(3)ur 173 Так как условие (3) является неоднородным, то подберем какую-нибудь функцию g  x, y, t  , удовлетворяющую условию (3). В данном случаеможно взять, например, g  x, y, t   1 .Введем новую искомую функцию   x, y, t  такую, что  x, y, t   u  x, y, t   g  x, y, t  ,  x, y, t   u  x, y, t   1 ,(4)Тогда для функции  получим следующую задачу:tt  4  r 2 sin 2  , t  0, r  1, 0    2  ;2t 0 r  1, tr 1t 0(5) 0, r  1 ,(6) 0, t  0, 0    2 (7)(здесь воспользовались тем, что  1  0, x  r cos  , y  r sin  ).Так как условие (7) является однородным, то ищем решение задачи (5),(6), (7) в виде ряда (XXIII) с зависящими от t коэффициентами Amk  t  ,m  0,1, 2,  , k  1, 2,  , и Bmk  t  , m  1, 2,  , k  1, 2, Заметим, что правая часть уравнения (5) и начальные функции условий(6) есть r 2 sin 2 , r 2  1, 0 соответственно.

Поэтому из ортогональности системы собственных функций задачи (XVII) заключаем, что в ряде (XXIII)коэффициенты Amk  t   0 для всех m  0, k  1, 2,  , а коэффициентыBmk  t   0 для m  2, k  1, 2,  , т.е. решение задачи (5), (6), (7) следует искать в виде суммы двух однократных рядов:02  r ,  , t    A0 k  t  J 0  k  r   B2 k  t  sin 2  J 2  k  r .k 1k 1ПереобозначимH k  t   A0 k  t  , Tk  t   B2 k  t  , k  1, 2,...

,и будем искать решение задачи (5), (6), (7) в виде20  r ,  , t    Tk  t  sin 2  J 2  k  r   H k  t  J 0  k  r .k 1k 1(8)Разложим функцию r 2 в ряд Фурье (XXIV) по системе функцийJ 2  k  r , k  1, 2,  , а функцию r 2  1 в ряд Фурье (XXIV) по системе2функций J 0 k0  r , k  1, 2,  Получим742r 2   bk J 2  k  r ,k 1(9)где12rbk J 2  k  r r d r201 J 2  k  r2, k  1, 2,  ;(10)(11)2r dr00r 2  1   ak J 0  k  r ,k 1где1 rak  1 J 0 k  r r d r20, k  1, 2, 01  J   r 02r drk0(12)0Подставим ряд (8) в уравнение (5) и условие (6). Воспользовавшисьразложениями (9) и (11), получим T  t  sin 2 J     r    H  t  J     r  2"k0"kk2k 1k0k 1    sin 2 J   r  4 H  t        J   r    b sin 2 J   4 Tk  t   k 22 2(13)k2k 10k2 0kk0kk 122kk 1r ;  Tk  0  sin 2 J 2 k  r t 0k 1(14)02 0  H k  0  J 0  k r   ak J 0  k r ;k 1tt0k 1  Tk'  0  sin 2 J 2  k  r   H k'  0  J 0  k  r  0.k 12k 10(Здесь использованы равенства (см.

(XXV).)2         sin 2 J     r  , k  1, 2,  ,  J     r          J     r  , k  1, 2,  sin 2 J 2 k2  r200k2k202k00kИз соотношений (13), (14), (15) получаем75k(15)2  t   4     Tk"  t   4 k 2 Tk t   bk , k  1, 2,  ;H k"02kH k  t  , k  1, 2,  ;(16)(17)Tk  0   0, k  1, 2,  ;(18)H k  0   аk , k  1, 2,  ;(19)T  0   0, k  1, 2,  ;(20)H  0   0, k  1, 2, (21)'k'kРешаем задачу (16), (18), (20).Общее решение уравнения (16) есть сумма общего решения однородного уравнения, которое имеет видС cos 2 k  t  D sin 2 k t ,22и частного решения неоднородного уравнения, которое, как легко видеть,есть функция, тождественно равная постояннойbk.224 k  Следовательно, общее решение уравнения (16) имеет видbkС cos 2 k 2t  D sin 2  k 2 t .224  k  Найдем постоянные С и D , удовлетворяя условиям (18), (20):bkTk  0   C 0,224 k  Tk  0   2k  D  0 .2Отсюда получаем, что С  bk 4 k22, D  0 .

Поэтому решение за-дачи (16), (18), (20) имеет видbkTk  t  1  cos 2 k 2 t , k  1, 2, 22 2kРешаем задачу (17), (19), (21).Общее решение однородного уравнения (17) имеет видH k  t   M cos 2k  t  K sin 2k  t , k  1, 2, 0760(22)Найдем постоянные M и K , удовлетворяя условиям (19), (21):0H k  0   M  ak ,H k  0  2k  K  0 . Отсюда M  ak , K  0 . Поэтомурешение задачи (17), (19), (21) имеет видH k  t   ak cos 2 k  t , k  1, 2, 0(23)Из соотношений (8), (22), (23) получаем, что функцияbk22  r,  , t   1  cos 2 k t sin 2 J 2  k  r 22k 1 2 k  а cos  2    t  J     r  ,0kk0k0k 1где bk и аk , k  1, 2,  , определены формулами (10) и (12) соответственно,есть решение задачи (5), (6), и (7).Следовательно, функция u  r ,  , t     r ,  , t   1 , где функция  r ,  , t  определена выше, есть решение задачи (1), (2), (3).

Пример 3. Решить смешанную задачуut   u , r  2, 0    2  , t  0;uu2t0r 2(1)  r  2  , r  2, 0    2  ;(2) 16t sin 5  , 0    2 , t  0.(3) Так как условие (3) является неоднородным, то подберем какую-нибудь функцию g  r ,  , t  , удовлетворяющую условию (3). В данном случаеможно, например, взять функциюg  r ,  , t   4 t r 2 sin 5 ,для которой11 " g  g "rr  gr'  2 g 8t sin 5  8t sin 5  4t  25sin 5 rr 84t sin 5есть функция, определенная в r  2, 0    2  , t  0 .Введем новую искомую функцию   r ,  , t  такую, что  r,  , t   u  r, , t   g  r , , t  ;77(4)  r ,  , t   u  r ,  , t   4 t r 2 sin 5 .(5)Тогда, используя соотношение (4), для функции  получим следующую задачу:t  4r 2 sin 5    84 t sin 5  , t  0, r  2, 0    2  ;илиt    4r 2 sin 5  84 t sin 5  , t  0, r  2, 0    2  ;(6)2t 0  r  2  , r  2, 0    2  ;(7) 0, 0    2  , t  0 .(8)r 2Так как условие (8) является однородным, то ищем решение задачи (6),(7), (8) в виде ряда (XXIII) с зависящими от t коэффициентами Amk  t  ,k  1, 2,  , m  0 и Bmk  t  , k  1, 2,  , m  1 .Заметим, что правая часть уравнения (6) и начальная функция условия2(7) есть 4r 2 sin 5  84t sin 5 и  r  2  соответственно.

Характеристики

Список файлов книги