Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

, причем эти решения имеют видФ    Фm    Am cos m  Bm sin m , 0    2 , m  0,1, 2,...(XI)А уравнение (X), в котором   m  m2 , имеет ограниченное решениетолько при   n  n  1 , где n  m — произвольное целое числоmнапример, [1], [4]), причем это решение имеет вид W     mn Pn, 0     , где  mn - произвольные постоянные, а Pnm  ,(см., cos  1    1 ,есть m —я присоединенная функция многочлена Лежандра Pn    ,   R1 ,гдеndn  2Pn    (XII)  1  ,   R1 .d  n Pnm    1   2 m 2dm Pn    ,d m 1    1 .(XIII)Общее решение уравнения (VII) при   n  n  1 имеет видZ  r   Z n  r   n r n  n r  n 1,r0,(XIV)при произвольных постоянных  n и  n .Из сказанного следует, что при любом целом n  0 существует гармоническая в R3 \ 0 функцияun  r ,  ,   Z n  r  Yn  ,  (XV) ,гдеnYn  ,     Pnm cos    mn cos m   mn sin m  m 0n  0 n Pn  cos     Pnm cos    mn cos m   mn sin m  ,(XVI)m 1где  mn , m  1, 2,..., n; n  0,1, 2,...

— произвольные постоянные.Функция Yn  ,   (и, в частности, любое слагаемое в сумме (XVI), т.е.Pn  cos   , Pn m   cos   cos m , Pn m   cos   sin m , где m  1, 2,..., n ) называется сферической функцией порядка n , а произведение сферической функции порядка n и функции r n или функции r   n 1 (см. (XIV), (XV)) являетсягармоническим продолжением сферической функции со сферыr  R,   0, 2  ,  0,   при любом R  0 в R3 \ 0 .95По аналогии с двумерным случаем решение внутренней задачи краевой задачи в шаре  x  R  R 3 , R  0 , следует искать в видеu n  r ,  ,     r n Y  ,   , r  R ,   0, 2  ,    0,   ,n0с соответствующим образом подобранными коэффициентами  mn в (XVI). x  R  RРешение внешней краевой задачи в3, R  0 , регулярноена бесконечности (то есть в трехмерном случае стремящееся к нулю на бесконечности), следует искать в видеun  r, ,    r  n 1Y  ,   ,r  R ,    0, 2  ,   0,   ,n0с соответствующим образом подобранными коэффициентами  mn в (XVI).Решение же краевой задачи в сферическом слоеR1 x  R2   R 3 ,0  R1  R2   , следует искать в видеun  r ,  ,     r nY  ,    rn0Y  ,   , R1  r  R2 ,    0, 2  ,    0,   ,  n 1гдеnmY  ,     0 n Pn  cos      mn cos k  mn sin k Pn   cos   (XVI)m 1с соответствующим образом подобранными коэффициентами в (XVI) и .(XVI)Поскольку в приведенных формулах для решения краевых задач функции Pn и Pnm умножаются на постоянные, которые в процессе решениязадач следует еще определить, то и для самих этих функций в наших целяхудобнее пользоваться следующими формулами:ndnPn  t    n n 1  t 2  , t  R1 , n  1, 2,...

,dtm2dmPnm  t    nm 1  t 2  Pn  t   , 1  t  1 , m  1, 2,..., n , n  1, 2,... ,dt mc такими постоянными  n и  nm , чтобы соответствующие выражения выглядели проще. Например, в формуле P1  t   196d1  t 2   21t полоdtжить11   и2P2  t    2d2dt 2считать,P1  t   t ,что1  t      4  12t   4 3t222222t  R1 ,вформуле 1 положить  2 1и4считать, что P2  t    3t 2  1 , t  R1 , и т.д.Таким образом, для наших целей можно считать, чтоP0  t   1 ,P1  t   t ,P2  t   3t 2  1 ,P3  t   5t 3  3t .Из аналогичных соображений в качестве присоединенных функцийможно пользоваться выражениями12P1   t   1  t 2  , t   1,1 ,112P2   t   1  t 2  t ,112P3   t   1  t 2 15t2P2 2  t   1  t 2  , 1 , P3 2   t   1  t 2  t , P33t   1,1 , t   1  t 2 32, t   1,1 ,Следовательно, можно считать, чтоY0  ,    a00 ,Y1  ,   a10 cos   a11 sin  cos   b11 sin  sin  ,Y2  ,    a20  3cos 2   1  a21 sin 2 cos  b21 sin 2 sin   a22 sin 2  cos 2  b22 sin 2  sin 2 ,Y3  ,    a30  5cos3   3cos    a31 sin   5cos 2   1 cos  b31 sin   5cos 2   1 sin   a32 sin 2  cos  cos 2 b32 sin 2  cos  sin 2  a33 sin 3  cos 3  b33 sin 3  sin 3 ,...Решение краевой задачи для уравнения Пуассона можно свести к решению краевой задачи для уравнения Лапласа следующим образом.

Беремкакое-нибудь (гладкое) решение u0  x  уравнения Пуассона. Тогда функция   x   u  x   u0  x  , где u  x  — искомое решение задачи для уравнения Пуассона, является решением соответствующей краевой задачи дляуравнения Лапласа и тем самым u  x     x   u0  x  .97Нижевобластях x  R ,  R1 x  R2  ,  x  R , 0  R   ,0  R1  R2   , рассматриваются простейшие краевые задачи для уравне- uния Лапласа (Пуассона), при этом в граничном условии    u  f n x Qвсегда считается, что n — единичный вектор внешней по отношению крассматриваемой области нормали к границе, а постоянная   0 .Напомним некоторые результаты.Случай области  x <R  .В этом случае решение уравнения Лапласа при граничном условииu r  R  f единственно и существует при любой f  C  x  R  .

В случае uграничного условия u n fпри   0 решение также един-x Rственно и существует для всех f  C  x  R  . Если же   0 , то решениесуществует для тех f  C  x  R  , для которыхfdS  0 , при этом ре-x Rшение определяется с точностью до постоянного слагаемого.Случай области  x >R  .В этом случае рассматриваются решения уравнения Лапласа, регулярные на бесконечности.В двумерном случае дело обстоит так же, как и в случае области x  R : задача с граничным условием f  C  x  R  однозначно разрешима при любой uu  nf C  x  R,задача с граничным условием f , где   0 , также однозначно разрешима при любойx Rf  C  x  R  , а эта задача с   0 при f  C  x  R  разрешима толькопри условииfds  0 , и решение ее определяется с точностью до произ-x Rвольного слагаемого.В трехмерном случае задача с граничным условием u r  R  f однозначно разрешима при любой f  C  x  R  , и задача с граничным усло-98 uвием u n f , где   0 , также однозначно разрешима при люx Rбой f  C  x  R  .Случай области R 1 < x <R 2  .В этом случае, если хотя бы на одной части границы (на  x  R1  илинаx R2  ) задано граничное условие первой краевой задачи, например,u r  R  f1 , а на другой части границы условие u r  R  f 2 либо условие1 u   2u  n2 f 2 , то задача однозначно разрешима для любыхx  R2f1  C  x  R1  и f 2  C  x  R2  .

Если на обеих частях границы заданы uусловия третьей (второй) краевой задачи, т.е.    1u  n u   2u n f1 ,x  R1 f 2 , то при  1   2  0 эта задача однозначно разрешимаx  R2при любых f1  C  x  R1  , f 2  C  x  R2  , если же  1   2  0 , то задачаимеет решение тогда и только тогда, когдаx  R1f1 dS f 2 dS  0 , и это ре-x  R2шение определяется с точностью до произвольного слагаемого.Пример 1. Решить задачу Коши в R2  x  r cos  , y  r sin   :1 r  1 , 0    2 ;211u r  1  sin 3   cos 2  , 0    2 ;4223u r 1  2sin   cos 2 ; 0    2 .u  12 y ,(1)(2)(3) Так как уравнение (1) является неоднородным, то прежде всего подберем какое-нибудь частное решение уравнения (1).Возьмем, например,w  x, y   2 y 3 .Введем новую искомую функцию   x, y  такую, что99  x, y   u  x, y   w  x, y  ,  x, y   u  x, y   2 y 3 ,(4)и запишем задачу (1), (2), (3) для функции   x, y  :1 r 1,0    2 ;21 r  1  cos 2  , 0    2 ,22 r 1  cos 2 , 0    2 .  0 ,(Здесь пользуемся тем, что113 r  1  u r  1  w r  1  sin 3   cos 2   2  r sin  42222(5)(6)(7)r121cos 2  ,2 r 1  u r 1  w r 1  2 sin 3   cos 2  2  r sin   r 1  cos 2.

)Разложив правые части условий (6) и (7) в ряды Фурье по системе1, cos  ,sin  ,..., cos n ,sin n ,... , получаемu r 1 2 r 11 1 cos 2 ,0    2 ,4 4 cos 2 ,0    2 .(6*)(7*)Всилуортогональностисистемыфункций1, cos  ,sin  ,..., cos n ,sin n ,... в пространстве L2  0, 2  ищем решениезадачи (5), (6*), (7*) в видеd (8)  r ,    a  b ln r   cr 2  2  sin 2 .rНайдем коэффициенты a , b , c , d , подставляя (8) в (6*) и (7*). Получимr12 a  b  ln1  11 1 c   4d  cos 2   cos 2 ,2  444 r 1  a   c  d  cos 2  cos 2 .Отсюда имеем следующую систему линейных уравнений:1001 a  b ln 2  0, 1 c  4d  1 ,44a0, c  d  1.1, c  1, d  0.4ln 2Из равенства (8) следует, что функция1ln r  r 2 cos 24ln 2есть решение задачи (5), (6), (7), а из (4) следует, что функция11uln r  r 2 cos 2  2 y 3  ln r  r 2 cos 2  2r 3 sin 3 4 ln 24ln 2есть решение задачи (1), (2), (3).Следовательно, a  0, b  Пример 2. Решить задачу в R2  x  r cos  , y  r sin   :8cos 3 , r  1 , 0    2 ;r30    2 . u  ur  r 1  sin 2  ,u  (1)(2) Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение уравнения (1).

Запишем оператор Лапласа в полярных координатах и подберем частное решение уравнения118urr  ur  2 u   3 cos 3 ,(3)rrrкоторое является ограниченным в области r  1, 0    2  . Такое решение уравнения (3) можно найти, например, в видеAw  r ,    cos 3 ,(4)rгде постоянную A найдем, подставив функцию w  r ,   , заданную соотношением (4), в уравнение (3). Получим2A1 A1  9A8cos 3 cos 3  2  cos 3  =  3 cos 3 , A  1 .r r2r3r  rr1011Следовательно, функция w  r ,    cos 3 есть частное решение уравrнения (3) (или, что то же самое, уравнения (1)). Введем новую искомуюфункцию   r ,   , такую что  r,   u  r ,   w  r,   ,1  r ,    u  r ,    cos 3 ,rи запишем задачу (1), (2) для функции   r ,   :  0 ,  r  r 1  sinr 1,20    2 ;  2 cos3 ,0    2 .(5)(6)(7)(здесь пользуемся тем, что u  ur  r 1    u 11 cos 3    u r  2 cos 3   rr   r 1 1 1  u  ur  r 1    cos3    2 cos 3    sin 2   2 cos 3 )rr  r 1Представим правую часть условия (7) рядом Фурье по системе1, cos  ,sin  ,..., cos n ,sin n ,... , получим1 1 cos 3  2 cos 3 , 0    2 .(7*)2 2Решение задачи (6), (7*) ищем в видеbc  r ,    a  2 cos 2  3 cos3 .(8)rrНаходим a, b, c , подставляя функцию, заданную соотношением (8), вусловие (7*).

Получаем  r  r 1   a  b cos 2  c cos 3    2b cos 2  3c cos 3    r  r 1 1 1 cos 2  2cos 3.2 211Отсюда находим a  , 3b   , 4с  2 .22111Следовательно, a  , b   , c   .262Поэтому функция1021 11cos 2  3 cos 32 6r 22rесть решение задачи (6), (7), а из (5) следует, что функция1 111u  r ,     2 cos 2  3 cos 3  cos 32 6r2rrесть решение задачи (1), (2).  r,  Пример 3. Решить задачу в R3 x  r cos  sin  , y  r sin  sin  , z  r cos  :u  6 z , r  1 , 0    2 , 0     ;223u r 1  2sin  sin   cos  .(1)(2) Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение уравнения (1).

Характеристики

Список файлов книги