Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Поэтому из ортогональности системы собственных функций задачи (XVII) заключаем, чтов ряде (XXIII) коэффициенты Amk  t   0 для всех k  1, 2,  , m  0, а коэффициенты Bmk  t   0 для k  1, 2,  , m  5, т.е. решение задачи (6), (7), (8)следует искать в виде суммы двух однократных рядов:   0    5  r ,  , t    A0 k  t   J 0  k r    B5k  t  sin 5  J 5  k 2  k 1 2k 1ПереобозначимH k  t   A0k  t  , Tk  t   B5 k  t  , k  1, 2,... ,r .и будем искать решение задачи (6), (7), (8) в виде   5  r ,  , t    Tk  t  sin 5  J 5  k 2k 1    0r    Hk t  J 0  k k 1 2r .(9)2Разложим начальную функцию  r  2  в ряд Фурье (ХXIV) по системе  0 собственных функций J 0  k r  , k  1, 2, : 2  r  22   0   ak J 0  k r  , 2 k 1где78(10) k0  r r d r2 0(11)ak , k  1, 2, 22 k 0  0  J 0  2 r   r d r Неоднородность в правой части уравнения (6) представим в виде4 r 2 sin 5  84 t 1 sin 5  .22  r  2   J 0 Разложим функции r 2 и 1 в ряды Фурье (ХXIV) по системе функций  5 J 5  k r  , k  1, 2,  2   5r 2   bk  J 5  k 2k 1r ,(12)где  5 r 2  J 5  k r  r d r0 2 bk , k  1, 2,  ;2 k5  20  J5  2 r   r d r 2  51   dk J5  k 2k 1r ,(13(14)где k 5 1J0 5  2 r  r d rdk , k  1, 2, 25 k  20  J 5  2 r   r d r Тогда из (12) и (14) имеем, что4r 2 sin 5   84 t sin 5  2(15)(16)   5   5  4 bk J 5  k r  sin 5  84t   d k J 5  k r  sin 5 .k 1k 1 2  2 Подставим ряд (9) в уравнение (6) и условие (7).

Воспользовавшисьразложениями (16) и (10), получим79 k5'Ttsin5Jk5 2k 1    0r    H k'  t   J 0  k k 1 2    5  Tk  t     k  2k 12 5 sin 5   J 5  k 2   0 H k  t     k  2k 1   54 bk  sin 5  J 5  k 2k 12    0J 0  k  2r rr(17)  5r   84t  d k  sin 5 J 5  k 2k 1   5     0  Tk  0  sin 5  J 5  k r    H k  0   J 0  k 2  k 1 2k 1 k 0   ak  J 0 r 2 k 1(здесь использованы равенства (см.

(XXV)).t 0   5  sin 5  J 5  k 2   5r    k 22  5 sin 5  J 5  k 22    0     0    0  J0  k r      k   J0  k 2  2  2  Из соотношений (17) и (18) получаем  5Tk'  t     k 2r ,r ;r (18)k  1, 2, r  , k  1, 2, 2 Tk  t   4bk  84d k t , k  1, 2,  ,(19)2   0 H  t     k  H k  t  , k  1, 2,  , 2 Tk  0   0, k  1, 2,  ,'kH k  0   ak , k  1, 2, (20)(21)(22)Решаем задачу (19), (21).Общее решение уравнения (19) есть сумма общего решения однородного уравнения, которое имеет вид80  5 k 22 tСeи частного решения неоднородного уравнения, которое ищем в видеAt  B .Подставляя функцию At  B в уравнение (19), получаем  5 A   k  2 2 At  B   4bk  84dk t .Отсюда  5  A    k  B  4bk , 2   k5 0 A  84 d k . 2 Следовательно, A  Ak , B  Bk , k  1, 2,...

, и 84 d k84 d k1Ak  , Bk (23) 4bk  , k  1, 2,  ,22 2555 k  k      k     2  2   2 где bk и d k , k  1, 2,... , определены формулами (13) и (15) соответственно,и общее решение уравнения (19) имеет видTk  t   Ce   5  k 22 t Ak t  Bk ,k  1, 2,  ,где Ak и Bk , k  1, 2,... , определены формулами (23).Находим С , удовлетворяя условие (21):Tk  0   С  Bk  0 .Отсюда C   Bk и решение задачи (19), (21) имеет видTk  t    Bk e  5  k 22 t Ak t  Bk ,k  1, 2, ,(24)где постоянные Ak и Bk , k  1, 2,... , определены формулами (23).Решаем задачу (20), (22).

Нетрудно увидеть, что решение этой задачиимеет вид81H k  t   ak  e   0 k 22 t, k  1, 2, Из соотношений (9), (24), (25) получаем, что функция2   5  k  t   5 2   r ,  , t      Bk e Ak t  Bk   sin 5   J 5  k 2k 1    0 k 2(25)r2 t  0  J0  k r  , 2 k 1где Ak , Bk и ak , k  1, 2,  , определены формулами (23) и (11) соответственно, есть решение задачи (6), (7), (8).  ak  eСледовательно, функцияu  r ,  , t     r ,  , t   4r 2 t sin 5  ,где функция   r ,  , t  определена выше, есть решение задачи (1), (2), (3).3.3. Смешанные задачи для дифференциальных операторовболее общего вида на плоскостиПример 1. Найдем решение следующей задачиutt  7ut  u xx  2u x  2t  7 x  e  x sin 3 x, 0  x   , t  0 ;ut 0 0, utuux 0x t 0 x, 0  x   ;(1)(2) 0, t  0 ;(3)  t, t  0 .(4) 1 .

Найдем какую-нибудь функцию g  x, t  , удовлетворяющую усло-виям (3) и (4).В данном случае можно взять, например, g  x, t   xt .2. Рассмотрим новую искомую функцию   x, t  такую, что  x, t   u  x, t   g  x, t   x, t   u  x, t   x t ,82,(5)и запишем задачу (1), (2), (3), (4) для функции   x, t  . Получимtt  7t   xx  2 x  e  x sin 3 x, 0  x   , t  0 ;t 0 0, tt 0 0, 0  x   ;(6)(7) x  0  0, t  0 ;(8)(9)x  0, t  0 .Решение задачи (6), (7), (8), (9) будем искать в виде  x, t    Tk (t ) k  x  , где функции  k  x  есть собственные функции слеkдующей задачи: " x   2 '  x     x  , 0  x   ;(10)  0   0,    0.3. Решим задачу (10).Пусть   0 . Тогда уравнение в (10) примет вид  "  x   2 '  x   0 , и,следовательно,  x   C1  C2 e2 x .Из граничных условий в (10) имеем0    0   C1  C2 , 0      C1  C2 e 2 .Отсюда C1  0, C2  0 и   x   0 .

Следовательно,   0 не являетсясобственным числом задачи (10).Пусть   0 . Тогда уравнение в (10) примет вид "  x   2 '  x     x   0 .Следовательно, возможны три случая:а) если   1 , то  x   C1e x cos  x  C2 e x sin  x ,(11’)где     1 ;б) если   1 , то  x   C1e x ch x  C2 e x sh x ,(11’’)  x   C1 e x  C2 x e x .(11’’’)где   1   ;в) если   1 , то83Рассмотрим сначала последний случай.

Из соотношения (11”’) и граничных условий задачи (10) имеем  0   C1  0,C1  0,     C1e  C2 e  0. C2  0.Следовательно,   x   0 и   1 не является собственным числом задачи (10).Пусть теперь   1 . Тогда из соотношения (11’’) и граничных условийзадачи (10) имеем  0   C1  0,     C1  C2 e sh      0,что возможно лишь в случае C1  C 2  0 (так как sh      0 , если  1    0 при   1 ).Следовательно,   x   0 и   1 не являются собственными числамизадачи (10).

Наконец, рассмотрим случай   1 . Из соотношения (11’) играничных условий задачи (10) имеем   0   C1  0 . Следовательно,  x   C2 e x sin  x, C2  R, C2  0 . Возьмем, например, C 2  1 , то есть  x   e x sin  x .Из условия      0 получаем, что     e sin      0 . Отсюда k   k  , k  , k  k , k  ,k  x   e x sin k x, k   .Оставляя среди найденной системы функций только линейно независимые, получаем, что рассматриваемый в нашем случае оператор (задача(10)) имеет следующие системы собственных значений и собственныхфункций:k  k 2  1, k  1, 2, ,(12)k  x   e x sin k x, k  1, 2, ,(так как k  k  1 , то есть k  k  1 , k  k  1, k  1, 2, , ).Заметим, что согласно (10) справедливо соотношениеk"  x   2k"  x   kk  x  , 0  x   , k  1, 2,  ,2(13)2или84(14)L  k  x    k k  x  , 0  x   , k  1, 2,  ,гдеL   x     "  x   2 '  x  .4.

Таким образом, решение задачи (6), (7), (8), (9) будем искать в виде  x, t    Tk  t  k  x    Tk  t  e  x sin k x ,k 1(15)k 1где функции Tk  t  , k  1, 2,  , найдем, подставляя в уравнение (6) и условия (7), функцию   x, t  , определяемую рядом (15). Для этого представимправые части уравнения (6) и условий (7), рядами Фурье по системе (13).Заметим, что условия (7) нашей задачи являются однородными, а праваячасть уравнения (6) имеет ряд Фурье:e  x sin 3 x   3  x    ak k  x  ,(16)1, k  3;ak  0, k  1, 2, 4, 5, (16’)k 1где5.

Заменяя в уравнении (6) и условиях (7) функцию   x, t  рядом T  t   x kkсогласно (15), функции t  x, t  ,tt  x, t  , x  x, t  , xx  x, t  со-k 1ответствующими рядами, полученными дифференцированием рядя (15), атакже используя разложение в ряды Фурье (16) и соотношение (14), получаем"k'k T  t   x   7  T  t    x  kk 1kk 1  Tk  t  k"  x   2 Tk  t  k'  x    akk  x  ,k 1k 1k 1или T  t   x   7 T  t   x    T t   L   x     a   x  ,"k'kkk 1kkk 1kk 1kkk 1или"k'k T  t    x   7 T  t    x  kk 1kk 1  Tk  t   2k kk 1 x    ak k  x  ,k 185(17)t 0  Tk  0  vk  x   0,(18)k 0tt 0  Tk'  0  k  x   0.(19)k 0Из соотношений (17), (18) и (19), воспользовавшись (16’), получаемследующие задачи Коши для функций Tk  t  , k  1, 2,  :T3"  t   7T3'  t    32T3  t   1,'T3  0   0, T3  0   0;(20)Tk"  t   7Tk'  t   k2Tk  t  ,'Tk  0   0, Tk  0   0, k  1, 2,  , k  3.(21)6.

Решим задачу (20). Так как 32  1  9  10 , то уравнение задачи (20)примет видT3"  t   7T3'  t   10T3  t   1 .Его решение очевидно имеет вид1, C1  R, C2  R .10Используя начальные условия задачи (20), получаем11C1  ,T0CC0, 312610'T  0   C  2  C  5  0C   1 .12 3 215Следовательно,111T3  t   e 2t  e5t  .61510Задача (21) очевидно имеет тривиальное решение:Tk  t   0, k  1, 2,  , k  3 .T3  t   C1e 2t  C2 e 5t Таким образом, из (15), (13), (22) и (23) следует, что функция11 1  x, t   T3  t  v3  x    e 2 t  e 5t    e  x sin 3 x1510 6есть решение задачи (6), (7), (8), (9), а согласно (5) функцияu  x, t   x t    x, t  ,86(22)(23)где функция   x, t  определена выше, есть решение задачи (1), (2), (3), (4).Пример 2. Решить смешанную задачу:193utt  u xx  ux  2 u  e t J 3 10  x , t  0, 0  x  1 ;xxu t  0  0, ut t  0  0, 0  x  1 ;u  0, t   , ux 1(1)(2)(3) 0, t  0, 3где 10 — положительный нуль функции Бесселя J 3    . Ищем решение задачи (1), (2), (3) в виде u  x, t    Tk  t  uk  x  , гдеkuk  x  — собственные функции следующей задачи: L  u  x    u  x  , 0  x  1, u  0   ,u 1  0,(4)где19L u  x   u " x   u  x   2 u  x  .xxРешим задачу (4).

Характеристики

Список файлов книги