Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Преобразовывая уравнение, получаемx2 u "  x   xu '  x   9u  x    x 2 u  x  , 0  x  1 ,x 2 u "  x   xu '  x     x 2  9  u  x   0, 0  x  1 .(5)Это есть уравнение (XIX) при  2  9 . Значит, общее решение уравнения (5) имеет видu  x   C1 J 3 x  C2 N 3Так как u  0    , то C2  0 и u  x   C1 J 3тывая условие u 1  0 , получаем, что J 3 2x . x , C1  R, C1  0 . Учи-    0 . Отсюда имеем, что  k3 , k  1, 2,  , где  k3 — k -й положительный нуль функцииJ 3   .87Следовательно, собственные функции и собственные значения задачи(4) этоuk  x   J 3 k  x , k  1, 2, , k   k323(6), k  1 , 2, Таким образом, решение задачи (1), (2), (3) ищем в видеu  x, t    Tk  t  u k  x  ,(7)k 1где функции uk  x  , k  1, 2,  , определены формулами (6), а функцииTk  t  , k  1, 2,  , найдем, подставляя в уравнение (1) и условие (2) функцию u  x, t  , определяемую рядом (7).Заметив, что правая часть уравнения (1) естьe  t  J 3 10  x  e  t  u10  x  ,3получаем T t  u  x    T  t  L  u  x    e"kkkk 1tk u10  x  .k 1Отсюда имеем в силу (4)''k T  t  u  x      T  t u  x   ekkk 1ktk u10  x  .(8)k 1Из начальных условий (2) получаемu t  0   Tk  0  uk  x   0 ,k 1utt 0 T  0 u  x   0 .kk(9)k 1Из равенств (8) и (9) получаем следующие задачи Коши для функцийTk  t  , k  1, 2,  :"Tk  t   k Tk  t   0,'Tk  0   Tk  0   0, если k  10, k  1, 2,...;(10)иT10"  t   10T10  t   e t ,'T10  0   T10  0   0.Решая задачу (10), получаем88(11)Tk  t   0, k  1, 2,  , k  10 .(12)2  ), что общее 3Решая задачу (11), получаем (учитывая, что 10  10решение уравнения (11) есть сумма общего решения однородного уравнения, которое имеет видC1 cos 10  t  C2 sin 10 t ,33и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем в виде ae  t .Подставляя функцию ae  t в уравнение, получаем21aet  10 3 ae t  et , a .231  10   Следовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид1T10  t   C1 cos 103t  C2 sin 10 3 t et .2 31  10 Находим постоянные C1 и C2 из начальных условий задачи (11):T10  0   C1 1 1  10 3T10  0   C2  103 2 0,1 1  10 320.ОтсюдаT10  t  1 1  122 t133  e  cos 10 t  3 sin 10 t  .10Таким образом, из (7), (6), (12) и (13) следует, что функция t11333u  x, t  e  cos 10  t  3 sin 10 t   J 3 10  x2 3101  10  есть решение задачи (1), (2) и (3).

89(13)§ 4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПАПусть G — ограниченная область в Rn , S  G — гладкая граничнаяповерхность, а nx — внешняя по отношению к G нормаль к S в точке x  S. Принадлежащая C1  G  функция u имеет правильную нормальную производнуюuна S , если существуетnu  x  u  x  ulim x  xnxnxnx G    n xравномерно по всем x  S .Аналогично пусть G1  R n \ G — область с общей с областью G гладкой границей S  G , а nx — внешняя по отношению к G1 нормаль к S вточке x  S . Тогда принадлежащая C1  G1  функция u имеет правильнуюuна S , если существуетnu  x   u  x  ulim x  xnxnxnx G    n нормальную производную1xравномерно по всем x  S .I.

Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа: найти гармоническую в G функцию u  C  G  , принимающую на S заданные (непрерывные) значения u0 (т.е. u G  u0 ).II. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в областиG1  R n \ G функцию u  C  G1  , регулярную на бесконечности, т.е. в трехмерном случае  n  3 lim u  x   0, т.е. u     0 , принимающую на S заx данные (непрерывные) значения u0 ( т.е. u G  u0 ).III. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в областиG функцию u  C  G  , имеющую на S заданную (непрерывную) правильную нормальную производную u1 ( т.е.90un u1 ).GIV.

Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области G1функцию u  C  G1  , регулярную на бесконечности, т.е. в трехмерном случае  n  3 lim u  x   0, т.е. u     0 , имеющую на S заданную (непреx рывную) правильную нормальную производную u1 ( т.е.un u1 ).GЗадачи I, II и IV в трехмерном случае  n  3 однозначно разрешимы.Решение задачи III определено с точностью до произвольной постоянной,причем1udS  0Sесть условие ее разрешимости.В двумерном случае  n  2  условие регулярности на бесконечности взадачах внешнего типа есть условие ограниченности при x   . В этомслучае задачи I и II однозначно разрешимы. Решения задач III и IV определены с точностью до произвольных постоянных, причем1udS  0Sесть условие их разрешимости.Метод разделения переменных для уравнений Лапласаи ПуассонаРассмотрим сначала двумерный случай.

Решение краевых задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник, и др.)можно получить методом разделения переменных.Изложим этот метод для уравнения Лапласа:u  0, x   x1 , x2   Q,(I)в круговых областях: в круге Q   x : x  R при некотором R  0, внеэтого круга, т.е. в областиQ   x : x  R ,R  0,и в кольцеQ   x : R1  x  R2  , 0  R1  R2   . При этом естественно перейдем отдекартовых к полярным координатам, сохранив для удобства обозначениефункции :u  x   u  x1 , x2   u  r cos  , r sin    u  r ,   .Уравнение (I) в полярных координатах имеет вид911   u  1  2 u 0, r ,   Q .r  r r  r  r 2  2Найдем частные решения этого уравнения, имеющие видu  r ,    Z  r  Ф   .(III)В результате подстановки (III) в(II) получим два равенства:Ф    Ф    0 , 0    2 ,(IV)(II)d(V) rZ   r     Z  r   0,drв которых  - некоторая постоянная.Поскольку нас интересуют 2  периодические по переменной  реrшения u  r ,   , то функция Ф   обязана при всех    0, 2  удовлетворять условиям (см.

§ 3.VIII)Ф  0   Ф  2  , Ф  0   Ф  2  .Следовательно, в (IV) (и в (V))   k 2 при произвольном целом k  0 .А это означает, что функция Ф   имеет видФ    Фk    Ak cos k  Bk sin kпри k  0,1, 2, ... и при произвольных Ak Bk , k  0,1, 2, …, а соответствующая функция Z  r  имеет вид r k   k r  k , если k = 1,2,...,Z  r   Zk r    k  0   0 ln r , если k = 0при произвольных постоянных  k и  k , где k  0,1, 2, …Таким образом, найдено множество простейших гармонических вR2 \ 0 функций:1, ln r , r cos  ,r sin  ,1cos  ,r1sin  , …,r11 kcos k  ,sin  , …,rrс помощью которых можно строить решения краевых задач для уравненияЛапласа в круговых областях.Решение краевой задачи в круге  x  R , R  0, ввиду требования егоr k cos  ,r k sin  ,ограниченности, будем искать в виде92u  r ,    a0    ak cos k  bk sin k r k ,r  R ,    0, 2  ,k 1причем коэффициенты a0 , a1 , b1 ,..., ak , bk ,...

находятся из граничного условия. Если, в частности, граничное условие есть условие первой краевой задачи (задачи Дирихле)ux R u  r ,   r  R  f   , 0    2 ,тоa0 122f  d , ak 01bk  Rk1 Rk2 f   cos d ,02 f   sin d ,k  1, 2,...,0и тогда решение этой задачи имеет видk21ru  r,   f12cos  k     d 2 0k 1  R 2221R rf   2d .2 0R  2 Rr cos     r 2Регулярное на бесконечности (т.е. в двумерном случае — ограниченное решение) в области  x  R , R  0, будем искать в виде1, r  R ,    0, 2 rkk 1с соответствующими, найденными с помощью граничного условия, коэффициентами a0 , a1 , b1 ,..., ak , bk ,...u  r ,    a0    ak cos k  bk sin k Решение краевой задачи в кольце  R1  x  R2  , где R1  R2   , будем искать в видеu  r ,    a0  b0 ln r     ak r k  a k r  k  cos k   bk r k  bk r  k sin k   ,k 1R1  r  R2 ,    0, 2  , с коэффициентами a0 , a1 , b1 ,..., ak , bk ,...

, которыеопределяются с помощью граничных условий.Рассмотрим теперь трехмерный случай.Используя сферические координаты, в этом случае получаемx   x1 , x2 , x3    r cos  sin  , r sin  sin  , r cos   , r  0 , 0    2 ,0   .93С помощью метода разделения переменных проведем построение системы простейших гармонических в R3 \ 0 функций, разложением в рядыпо которой в областях шарового типа можно получать решения краевыхдля уравнения Лапласа.Как и в двумерном случае, эта система обладает следующим свойством: при любом R  0 функции системы, рассмотренные на сфере x  R , составляют полную ортогональную в L2  x  R  систему функций.Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид1   2 u 1 u 1 2ursin0,r 2 r  r  r 2 sin     r 2 sin 2   2(VI)x   r, ,   Q ,(здесь, как и в двумерном случае, сохранено старое обозначение функциипри переходе к новым переменным, т.е.u  x   u  x1 , x2 , x3   u  r cos  sin  , r sin  sin  , r cos    u  r ,  ,  .)Решения уравнения (IV), имеющие вид u  r ,  ,    Z  r  Y  ,   , удовлетворяют условиямr 2 Z   r   2rZ   r    Z  r   0 , r  0 ,(VII)2Y  ,   1  1  Y  ,    Y  ,    0 , sin  2sin    2 sin (VIII)   0, 2  ,    0,   ,в которых  — некоторая постоянная.

Нас интересуют только ограниченные и 2  периодические по  на единичной сфере Ф  0  Ф  2  ,Ф  0   Ф  2  r  1, 0    2 , 0      решения уравнения (VIII).Поэтому для тех решений этого уравнения, которые имеют видY  ,    Ф   W   , получаем следующие две задачи:функция Ф   должна быть 2  периодическим решением уравненияФ    Ф    0 ,   0, 2  ,(IX)а функция W   должна быть ограниченным решением уравнения1 dsin   W        sin  dsin 2 94 W    0 ,   0,   .(X)Уравнение (IX) имеет 2  периодические решения только при  m  m2 , m  0,1, 2,...

Характеристики

Список файлов книги