Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Можно взять, например,w  x, y, z   z 3  r 3 cos3  ,Введем новую искомую функцию  x, y, z   u  x , y , z   w  x , y , z  ,  x, y, z   u  x, y , z   z 3 ,или  u  r 3 cos 3 и запишем задачу (1), (2) для новой искомой функции  . Получим  0 , r  1 , 0    2 ,0   ;22 r 1  2sin  sin  ,0    2 ,0   .(3)(4)(5)Представляя правую часть условия (5) рядом Фурье по системе сферических функций, находим r 1  sin 2  1  cos 2   sin 2   sin 2  cos 2 (5*)2 1   3cos 2   1  sin 2  cos 2 .3 3Следовательно, ищем решение задачи (4), (5) (или (5*)) в видеa bc   3  3cos 2   1  3 sin 2  cos 2(6)r rr(с учетом условия регулярности решения на бесконечности:    приr   ).

Находим коэффициенты a , b , c , подставляя (6) в (5*). Получаем103 r 1  a  b  3cos 2   1  c sin 2  cos 2 2 1  3cos 2   1  sin 2  cos 2 ,3 321откуда находим, что a  , b   , c  1 .33Следовательно, функция21 1 11 3  3cos 2   1  3 sin 2  cos 23r 3rrесть решение задачи (4), (5), а из (3) следует, что функция21 1 11u 3  3cos 2   1  3 sin 2  cos 2  r 3 cos3 3r 3rrесть решение задачи (1), (2).Пример 4. Решить задачу в R3 x  r cos  sin  , y  r sin  sin  , z  r cos  :3 1, r  1 , 0    2 , 0     ;r5 2  cos 2  1 sin 2   sin 2  , ur r 1  sin 2 sin  ,u u r 12(1)(2)0    2 , 0     . Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем какое-нибудь частное решение уравнения (1).

Можно искать его, например, в видеw  r,  ,   f  r  ,Тогда из уравнения (1) следует, что23f   r   f   r   5(3)rrИщем решение уравнения (3) в видеAf r  3 ,(4)rгде постоянную A найдем, используя уравнение (3) и равенство (4):12 A 2  3 A  3   4   5 , 12 A  6 A  3 .r r  rr5104Следовательно, A 11и w  r ,  ,    f  r   3 есть частное решение22rуравнения (3) (или (1)).Введем новую искомую функцию   r ,   такую, что  r ,  ,    u  r ,  ,   w  r ,  ,   ,1,2r 3и запишем задачу (1), (2) для функции   r ,  ,   :  r, ,   u  r , ,    0 ,1 r  1 , 0    2 ,2 r  1   cos 2  1 sin 2   sin 2   4 , r2r 1(5)0   ; sin 2 sin  (6)3,2(7)0    2 , 0    (здесь пользуемся тем, что 1  r 1  u r 1   3   cos 2  1 sin 2   sin 2   4 ,12r22 r2rr 1 urr 13 3    4   sin 2 sin   .)22r r 1Разложим правые части условий (7) в ряды Фурье по системе сферических функций.

Получим r  1  2 sin 2  sin 2   sin 2   4   sin 2  1  cos 2   sin 2   4 2 cos 2 sin 2   4 , 0    2 , 0     ,(7*)3, 0    2 , 0     .(7**)2Ищем решение задачи (6), (7*), (7**) в видеb d l (8)  a    cr 2  3  cos 2 sin 2    kr 2  3  sin 2 sin  ,r r r Найдем постоянные a , b , c , d , k , l , подставляя функцию, заданнуюсоотношениями (8), в условия (7*) и (7**).Получаемсk r  1  a  2b    8d  cos 2 sin 2     8l  sin 2 sin   cos 2 sin 2   4 ,244rr 1 sin 2 sin  105rr 1 b   2c  3d  cos 2 sin 2    2k  3l  sin 2 sin   sin 2 sin  (здесь пользуемся тем, чтоb 3d 3l r   2   2cr  4  cos 2 sin 2    2 kr  4rrrСледовательно, для нахождения a , b , c , d , k , lсистему линейных уравнений:a  2b  4,c  8d  1,4k  8l  0,43 , b2 2c  3d  0, 2k  3l  1, sin 2 sin  .)получим следующую3128321, c, d, k, l .267676767Поэтому из равенства (8) следует, что функция31 81 1   1    12 r 2  3  cos 2 sin 2    32 r 2  3  sin 2 sin 2 r 67 67 r r есть решение задачи (6), (7), а в силу (5) функция1u  3  ,2rгде функция  определена выше, есть решение задачи (1), (2).

откуда находим a  1 , b  10632§ 5. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИРешением (классическим решением) задачи Коши для волнового уравненияutt  a 2 u  f  x, t  , x  R n , t  0 ,(I)u t 0    x  , x  R n ,(II)  x , x  R ,(III)utnt 0называется функция u  x, t   C 2  x  R n , t  0  , удовлетворяющая уравнению (I) и условиям (II), (III). Здесь a — вещественная постоянная. Решениезадачи (I), (II), (III) единственно.Если n  3 иf  x, t   C 2  x  R n , t  0  ,   x   C 3  R 3  ,  x   C 2  R 3  ,то решение задается формулой Кирхгофа:u  x, t  14 a 2 1t  4 a 2 tx  y  atx yf  y, t ax y dy 14 a 2 t  y  ds y x  y  at  y  ds y  .x  y  atЕсли n  2 иf  x, t   C 2  x  R n , t  0  ,   x   C 3  R 3  ,  x   C 2  R 3  ,то решение задается формулой Пуассона:tf   ,   d  d1u  x, t  2 a 0 x  y  at   a 2  t    2  x  y 212 ax  y  at  y  dya2t 2  x  y2  y  dy1 22 a t  x  y  at a t 2  x  y 2.Если n  1 иf  x, t   C 1  x  R n , t  0  ,   x   C 2  R 3  ,  x   C 1  R3  ,то решение задается формулой Д’Аламбера:107x  atu  x, t  x  a  t  t11  x  at     x  at     y  dy 22 a x at1df  y, dy.2 a 0 x  at  Решением (классическим решением) задачи Коши для уравнения теплопроводностиut  a 2 u  f  x, t  , x  R n , t  0 ,(IV)u t 0    x  , x  R n ,гдеau  x, t   C2,1x ,t—вещественнаяx Rn(V)постоянная,называетсяфункция, t  0   C  x  R , t  0  , удовлетворяющая уравнениюn(IV) и условию (V).Обозначим через B , где  — некоторое вещественное число, множество функций  g  x, t  , x  R n , t  0 , для каждой из которых и для каждогоT  0 существует постоянная C  C  g , T   0 такая, что в характеристиче-ской полосе  x  R n , 0  t  T  имеет место неравенствоxg  x, t   CeОбъединениеB2x  Rn ,,0t T . B назовем классом Тихонова. R1Решение задачи (IV), (V), принадлежащее классу B , единственно.Если f и g — такие функции, что f  x, t   C 1  x  R n , t  0  ,  x   C  R 3  , и эти функции принадлежат классу B , то функцияu  x, t  t  d0Rn1 2atn   y ex y24 a2 tdy Rnf  y,  dy 2a t   nex y224 a  t  dyпринадлежит классу B и является решением задачи Коши (IV), (V) (формула Пуассона).При решении задачи Коши для волнового уравнения полезно иметь ввиду следующее.

Пусть   x   C   R n  ,   x   C   R n  и ряды108a 2nt 2n  2n  !    x  ,a 2n t 2n 1  2n  1!    x nn 0nn0и все ряды, полученные из них почленным дифференцированием до второго порядка включительно по переменным x1 , x2 ,..., xn , t , сходятся равномерно на множестве  x  R, 0  t  T при любых R  0 и , T  0 тогдафункцияa2nt 2n na 2 n t 2 n 1 n   x     xn  0  2n !n  0  2n  1 !u  x, t   (VI)является решение задачи (I), (II), (III) при f  0 .Аналогичное утверждение справедливо и в случае задачи Коши дляуравнения теплопроводности, Пусть   x   C   R n  , а рядa2nt n n   xn 0  n !и все ряды, полученные из него почленным дифференцированием до второго порядка включительно по переменным x1 , x2 ,..., xn , t , равномерно сходятся в множестве x  R, 0  t  T при любых R  0 и T  0 , тогда функ-цияa2nt n n   xn  0  n !u  x, t   (VII)является решением задачи Коши (IV), (V) для уравнения теплопроводностипри f  0 .Полезно также иметь ввиду, что в случае уравнения теплопроводностирешением задачиut  a 2 u  f  x, t  , x  R n , t  0 ,nu t  0   i  xi  ,x1  R1 ,..., xn  R1 ,i 1является функцияnu  x, t   u  x1 , x2 ,..., xn , t    ui  xi , t  ,i 1где функция ui  , t  — решение задачи Коши:uit  a 2 ui  0 ,   R1 , t  0 ,uit 0  i   ,  R1 , i  1, 2,..., n .109Рассмотрим несколько достаточно часто встречающихся классовначальных функций.А Пусть начальная функция (начальные функции) есть собственнаяфункция (собственные функции) оператора Лапласа  .Пример 1.

Найдем решение следующей задачи:utt  3u , t  0 ,  x, y, z   R3 ;u t  0  2sin  x  y  z  ,(1)3 x, y, z   R ;ut t  0  5sin  x  y  z  ,  x, y, z   R3 ;(2)(3) Заметим, что sin  x  y  z   3sin  x  y  z  ,то есть sin  x  y  z  - собственная функция оператора  .Ищем решение задачи (1), (2), (3) в видеu  x, y, z , t   f  t  sin  x  y  z  .(4)Подставим соотношение (4) в уравнение (1), получимf   t  sin  x  y  z   3 f t   3sin  x  y  z  Отсюдаf   t   9 f  t   0 ,и, следовательно,f  t   C1 cos 3t  C2 sin 3t ,где C1 и C2 – произвольные постоянные.Значит, функцияu  x, y, z , t    C1 cos 3t  C2 sin 3t  sin  x  y  z  ,(5)при любых постоянных C1 и C2 удовлетворяет уравнению (1). ПодберемC1 и C2 так, чтобы выполнялись бы и условия (2) и (3).Получаемu t  0  C1 sin  x  y  z   2sin  x  y  z  ,utt 0 C2 3sin  x  y  z   5sin  x  y  z  .Отсюда имеемC1  2 ,5C2   .3110Подставляя найденные значения C1 и C2 в (5), получаем, что функция5u  x, y, z , t    2 cos 3t  sin 3t  sin  x  y  z 3есть решение задачи (1), (2), (3).Этот же результат можно получить, воспользовавшись в данном случаеформулой (VI).Нетрудно заметить, чтоk k  sin  x  y  z     3 sin  x  y  z  , k  0,1, 2,...Поэтому, учитывая, что для задачи (1), (2), (3) a 2  3 и используя формулу (VI), получаемuk3k t 2 k 2  3 sin  x  y  z  2k  !k2k 1  3t  2 sin  x  y  z   2k !k 0k 0k3k t 2 k 1  5  3  sin  x  y  z  2k  1!k2 k 1 1  3t  31 5sin  x  y  z   2k  1!k 0k 01 2cos3t sin  x  y  z   5sin 3t sin  x  y  z  35  2 cos 3t  sin 3t  sin  x  y  z  .

Характеристики

Список файлов книги