Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Пример 4. Решить интегральное уравнение1 3x 21 u  x      2  8  u  y dy  7  6 x 2 , x   ,1 .y2 1(1)2Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. Из уравнения (1) следует, что111u  x     3x 2  u  y  2 dy  8  u  y dy  6 x 2  7 y11221    3 x 2 C1  8 C2  6 x 2  7 , x   ,1 ,2 где1C1   u  y 121dy ,y2(2)1C2   u  y  dy .(3)12Потому решение уравнения (1), если оно существует, имеет вид1u  x   3  C1  x 2  8  C2  6 x 2  7 , x   ,1 ,2 где C1 и C2 определены равенствами (2) и (3).Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в виде11C1    3 C1 y 2  8C2  6 y 2  7  2 dy y12138(4)11    3 C1  6   2  7  8 C2   dy y121  3C1  6  y 1   7  8 C2 21y11213 3C1  6    7  8C2    1   C1  8C2  422,1C2    3C1 y 2  8 C2  6 y 2  7  dy 12  3 C1  6 y3311  8 C2  7  y 1 1221 71 77  3 C1  6     8 C2  7     C1  4 C2  .3 82 84Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C1 иC2 с параметром  : 3 8C2  4,1  2   C1 (5)77 C1  1  4  C2  .84Определитель системы (5) равен 3 81   2 7   1  4 8351(6) 1    4  6 2  7  2   2    1         2  .2221) Если определитель системы (5) не равен нулю, то есть если1   и   2 , то система (5) имеет единственное решение, которое2можно найти, например, с помощью правила Крамера:C1  1C2  2 , ,139где481  7 4 1  4   14  4  2  2  2   1  44,31  47 77 3  7 7422  1         2   77  2 484 88 84.Отсюда, используя (6), получаем22   24C1 11  2  1   2       22,C2 2   77711  4  2  18   2    8   22.Подставляя в (4) найденные C1 и C2 , получаем решение уравнения(1):u  x   3 47x 2  8  6x2  7 2  14  2  112 2 141 x  6 x 2  7 , x   ,1 .2  12  12 1 1 .

Тогда система (5) приобретает вид2 3  1  171        C1  8     C2  4C  4C2  4 2 2  2   4 1 7    1  C   1  4   1   C  7 7 C  C  7.12 2 8  2  14164 2 2) Пусть   (7)Очевидно, что система (7) решений не имеет. Следовательно, и уравнение (1) решений не имеет.3) Пусть   2  2 . Тогда система (5) приобретает вид140 34 16C2  4 4C 1  2   2    C1  8   2  C2 177 (8)C1  C2  .77   2  C1  1  4  2   C2 4484Очевидно, что система (8) имеет бесконечно много решений:C1  1  4C2 , C2  любое число.Поэтому и уравнение (1) имеет бесконечно много решений, которыеполучаем, подставляя найденные выше C1 и C2 в (4):u  x   3   2   1  4C2  x 2  8   2   C2  6 x 2  7 1  6 x 2  24C2 x 2  16C2  6 x 2  7  8C2  2  3x 2   12 x 2  7, x   ,1 , C2  R .2 4) Найдем теперь собственные функции и характеристические числаядра, то есть найдем нетривиальные решения однородного уравнения:1 3x21 u  x      2  8  u  y dy , x   ,1 .y2 12Из сказанного выше (из (4)) следует, что решение данного уравненияимеет вид1u  x   3 C1 x 2  8C2 , x   ,1 .(9)2 где постоянные C1 и C2 определены формулами (2) и (3) и удовлетворяют однородной системе уравнений: 3 8C2 0,1  2   C1 (10)7   C1 1  4  C2  0.8Однородная сиcтема линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Имеем (см.(6))11         2   0    1   и   2  2 .221Если   1   , то система (10) примет вид214116 0, C1  C2 ,7 0;C2  любое число.Подставляя найденные C1 и C2 в (9), получаем, что7C17C1 16C2 16C24 1  16 1u1  x   3      C2 x 2  8    C2  C2  6 x 2  7  ,7 2 7 21 x   ,1 , C2  R, C2  0.2 Таким образом,u1  x   6 x2  7 есть собственная функция, отвечающая характеристи-1ческому числу 1   .2Если   2  2 , то система (10) примет видC1C1 4C2 0, 4C2 0;C1  4C2 ,C 2 любое число.Подставляя найденные C1 и C2 в (9), получаем, что1 u 2  x   6  4C2 x 2  16C2  8C2  3 x 2  2  , x   ,1 , C2  R , C2  0 .2 Таким образом,u2  x   3x2  2есть собственная функция, отвечающая характеристическому числу2  2 .

Пример 5. Решить интегральное уравнение1 3x2 u  x     2  8  u  y dy  f  x  , x   1 ,1 , f  x   C  1 ,1 .2 2 1 y2 Из уравнения (1) следует, что1u  x    3x2 1211u  y dy  8   u  y dy  f  x  y212   3 x 2 C1  8 C 2  fгде1421  x  , x   ,1 ,2 (1)1C1 1 y u  y  dy ,(2)2121C 2   u  y  dy .(3)12Потому решение уравнения (1), если оно существует, имеет вид1 u  x   3   C 1  x 2  8   C 2  f  x  , x   ,1 ,2 где C 1 и C 2 определены равенствами (2) и (3).Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в виде1C1 1 y  3 C y122(4) 8 C 2  f  y   dy 121111 3C1 y  8C2  f  y  2 dy y1 1y11223  C1  8  C 2 2211 f y y2dy ,121C2   3 C1y 2  8  C 2  f  y   dy 12y3 3 C1311112 8 C2 y 1 1   f  y  dy 21217 C1  4  C 2   f  y  dy .812Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C 1 иC 2 с параметром:1 3 11    C1  8 C2   f  y  2 dy ,2y121  7  C  1  4 C  f y dy.21   8 12Введем обозначения:143(5)1A1 f  y y21dy , B 12 f  y  dy .(6)12Тогда система (5) примет вид 3  8 С2  A, 1  2   С1  7 С 1  4  С2  B.18Определитель системы равен31   8512  2    1         2 .722  1  481) Если определитель системы не равен нулю, то есть если   (7)(8)1,2  2 , то система имеет единственное решение при любой правой части,и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение при любой1 функции f  x  , f  x   C  ,1 .2 Найдем это решение с помощью правила Крамера:C1 1,C2 2,где1 A8 1  4   A  8 B ,B 1  431  A71 3 22  1    B   A   7 A  8  12  B  .788 2   B8Отсюда, используя (8), получаем7 A   8  12  B1  4  A  8 BC1 , C2 ,11282где постоянные22A и B определены соотношениями (6).144Подставляя в (4) найденные C 1 и C 2 , находим решение уравнения(1):3 1  4  A  8 B 27  A   8  12  B1 x  f  x  , x   ,1 ,  4  112 8       2      2221 f  x  — любая функция, f  x   C  ,12 u  x 1( напомним, что A f y121dy , B y21 f  y  dy .)12122) Пусть     1 .

Тогда система (7) приобретает вид 3  1   11        C1  8     C2  A, 2 2  2   7    1  C  1  4   1   C  B;  2 8  2  1 2 7C  4C2  A,7C 16C2  4 A, 4 1 17C1  16C2  16B. 7 C  C  B;216 1Система (9) совместна тогда и только тогда, когда 4A  16B илиA  4B , то есть1(9)1f  y121dy  4  f  y  dy ,y212или1 1  y122 4  f  y  dy  0 .(10)Если условие (10) выполнено, то система (9) имеет бесконечно многорешений:11641С1  С2  A, С2  любое число  A   f  y  2 dy  .77y12145Поэтому и уравнение (1) имеет бесконечно много решений, которыенаходим, подставляя найденные выше С 1 и С 2 в (4):4  1   16 1u  x   3       С2  A  x 2  8      С2  f  x  7  2  7 226  С2 12 x 2  14  x 2 A  f  x  7711 461 С 2   6 x 2  7   x 2  2 f  y  dy  f  x  , x   ,1 , С2  R ,77 1 y2 (11)21 f  x   C  ,1 удовлетворяет соотношению (10).2 Если же функция f  x  такова, что соотношение (10) не выполняется,то система (9) и, следовательно, уравнение (1) решений не имеет.3) Пусть    2   2 .

Тогда система (7) приобретает вид 3 1  2   2    C1  8   2  C 2  A,7    2  C  1  4  2  C  B; 21 81 4C1  16C2  A, C1  4C2  A,4 7(12) 4 C1  7C2  B;C  4C  4 B.127Очевидно, что система (12) совместна тогда и только тогда, когда14A B47или111 4yf  y  dy 2124 7 f  y  dy ,12то есть1 7  y122 16  f  y  dy  0 .(13)Если условие (13) выполнено, то система (12) имеет бесконечно многорешений:146111С1  4С2  A, С2  любое число  A   2 f  y  dy  .41 y2Поэтому и уравнение (1) имеет бесконечно много решений, которыенаходим, подставляя найденные выше C 1 и C 2 в (4).1 u  x   3   2    4C2  A  x 2  8   2   C2  f  x  4 11 31  8С 2  3 x 2  2   x 2  2 f  y  dy  f  x  , x   ,1 , C2  R ,2 1 y2 (14)21 f  x   C  ,1 удовлетворяет соотношению (13).2 Если же функция f  x  такова, что соотношение (13) не выполняется,то система (12) и, следовательно, уравнение (1) решений не имеет.Пример 6.

Решить интегральное уравнение1u  x      6 x 2  5 x 2 y  3 xy 2  u  y dy  a  bx 3 , x    1,1  ,(1)1при всех допустимых значениях a , b,  . Найти характеристические числаи собственные функции ядра. Если уравнение (1) имеет решение, то оно представляется в видеu  x    C 1 x 2  3  C 2 x  a  b x 3 , x    1,1  ,(2)где1C1   6  5 y  u  y  dy ,(3)11C2 2 y u  y  dy .(4)1Из (2), (3) и (4) следует, что1C1   6  5 y   C y12 3 C 2 y  a  by 3  dy 1 4 С1  10  С2  12 a  2b ,1C2  y  C y212 3 C 2 y  a  by 3  dy 114722 С1  a .53Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C 1 и C 2с параметром :1  4  C1  10 C22C2   C1 5 12a  2b,(5)2a.3Определитель     системы (5) равен      2 12(6)Если определитель     системы (5) отличен от нуля, то система имеетединственное решение при любой правой части, то есть если  любых чиселa1, то для2и b получаемC1 C2 2 18a  3b 10a ,(7)10 a  32 a   12 b  ,215  2   1 (8)3 2 12и уравнение (1) имеет единственное решение, задаваемое формулой (2), гдеС 1 и С 2 определяются формулами (7) и (8).Пусть  1, то есть2   0 .

Тогда система (5) приобретает вид - C1  5C2  12a - 2b,(9) 12a- 5 C1  C2  3 .Следовательно, если числа a и b таковы, что справедливо равенство10a 12a  2b ,(10)3называемое условием разрешимости, то система (9) имеет бесконечномного решений:10aС1  5С2 , С 2  любое число .3Уравнение (1) в этом случае также имеет бесконечно много решений:1 10a 113a 3u  x   x 2  5С2 x , C2  R .  3  xС2  a 2 3 33Отсюда имеем, что1485a 2 13a 3x x  a , x    1,1  ,33где C — произвольная постоянная.Если условие (10) не выполнено, то система (9) и, следовательно, уравнение (1) решений не имеют.Из сказанного согласно первой теореме Фредгольма имеем, что число1  1  и только оно является характеристическим числом ядра уравне2ния (1).1Теперь найдем собственные функции ядра.

Характеристики

Список файлов книги