Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Если   , то система (5)2при a  0 и b  0 приобретает вид C1  5C2  0, 1  5 C1  C2  0.Отсюда С1  5С2 , С2 — любое число.u  x   C  5 x 2  3x  Следовательно, характеристическому числу 1 1отвечает собствен2ная функцияС1 21x  5С2  3  xС2  2  5 x 2  3x  ,222где С2 — любое число, не равное нулю, илиu1  x  u1  x   5 x2  3x .Заметим, что кратность k  1  характеристического числа 1 1равна21отвечает одна соб21ственная функция u1  x   5 x2  3x ; в то же время кратность 1  как22корня характеристического многочлена       2  1 (см. (6)) равнаk  1   1 , так как характеристическому числу 1 двум.Пример 7. Решить интегральное уравнениеu  x    x, y  u  y  dy  f  x  , x  1 .y 1149(1)f  x   C  x  1 , где x   x1 , x2 , x3   R3 , y   y1 , y2 , y3   R3 .Найти собственные функции и характеристические числа соответствующего интегрального оператора. Из уравнения (1) следует, чтоu  x    x1y1u  y  dy   x2y 1y2 u  y  dy   x3y 1y3u  y  dy  f  x  y 1  x1С1   x2С2   x3С3  f  x  , x  1 ,гдеCj y j u  y  dy ,j  1, 2, 3.(2)y 1Поэтому решение уравнения (1), если оно существует, имеет видu  x    x1C1   x2C2   x3С3  f  x  , x  1 ,(3)где C j , j  1, 2, 3, определены равенствами (2).

Используя формулу (3), запишем равенства (2) в видеС1  y  y С111  y2 С2   y3С3  f  y   dy y 1  С1С2 415y1 f  y  dy ,y 1y2   y1С1   y2 С2   y3С3  f  y   dy y 1  С2С3  y  y С311415y2 f  y  dy ,y 1  y2 С2   y3С3  f  y   dy y 1  С3415y3 f  y  dy .y 1Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно C1 , C2и С3 с параметром  :150  4  С1 1    15   4  С2 1   15  С3 1  4     15 y1 f  y  dy,y2 f  y  dy ,y3 f  y  dy.y 1(4)y 1y 1Если определитель системы (4) не равен нулю, то есть если  15, то4система (4) имеет единственное решение при любой правой части:1(5)Cj y f  y  dy , j  1, 2, 3,4 y1 j115и, следовательно, уравнение (1) при любой функции f  x  ,f  x   C  x  1 , имеет единственное решение:u  x    x1C1   x2C2   x3С3  f  x  , x  1 ,где C j , j  1, 2, 3, определены равенствами (5).Пусть  15.

Тогда система (4) приобретает вид4 С1  0 С2  0  С3  0 y1 f  y  dy ,y2 f  y  dy,y3 f  y  dy.y 1(6)y 1y 1Отсюда следует, что если функция f  x  , f  x   C  x  1 , такова, чтосправедливы равенстваy j f  y  dy  0 ,j  1, 2, 3,(7)y 1то система (6) и, следовательно, уравнение (1) имеет бесконечно много решений:15115 x1C1  x2C2  x3С3   f  x  ,4C1 , С2 , С3  любые числа .u  x x 1,Если же функция f  x  такова, что хотя бы одно из равенств (7) не выполняется, то уравнение (1) решений не имеет.15По первой теореме Фредгольма  — единственное характери4стическое число интегрального оператора, кратность его равна 3.В силу самосопряженности ядра K  x, y    x, y   K *  x, y  из второйи третьей теорем Фредгольма вытекает, что собственные функции, отвеча15ющие характеристическому числу  , суть функции x1 , x2 и x3 .

4Пример 8. Найти характеристические числа и собственные функцииядра y , 0  y  x  1,K  x, y    x, 0  x  y  1. Требуется найти значения  , при которых уравнение1u  x     K  x, y  u  y  dy , x   0,1 ,0имеет нетривиальные решения и найти эти решения.Пусть u  x  — одно из таких решений, u  x   C  0,1 . Тогда из равенстваx1u  x     yu  y  dy   x  u  y  dy , x   0,1 ,(1)x0следует, что u  x   C1  0,1 и11u   x    xu  x     u  y  dy   xu  x     u  y  dy , x   0,1 .x(2)xИз (2) в свою очередь следует, что u  x   C 2  0,1 иu   x   u  x  , x   0,1 ,(3)т.е.

искомая функция есть решение дифференциального уравнения (3) иудовлетворяет в силу (1) и (2) граничным условиям152u  0   0 , u  1  0 .(4)Таким образом, интересующая нас задача свелась к задаче нахожденияd2спектра дифференциального оператора  2 на множестве функций изdxC 2 0,1 , удовлетворяющих граничным условиям (4). А решение этой за2дачи хорошо известно:   k     k  , k  0,1, 2,... — совокупность2собственных значений этого оператора, являющихся характеристическимичислами заданного ядра, а соответствующая система собственных функцийu k  x   sin    k  x , k  0,1, 2,...

2Пример 9. Найти резольвенту интегрального уравнения (1)Примера 3.11 Из решения Примера 3 следует, что если  ,    , то урав2нение (1) Примера 3 имеет единственное решение, задаваемое формулой 4  Примера 3, где постоянные С1 и С2 определяются формулами (61) и(62) Примера 3 соответственно (напомним, что нумерация формул в каждом примере своя, т.е. в каждом примере формулы нумеруются от ( 1 ) до( n ), n  N ). Из (61) и (62) Примера 3 имеемС1 1f  y  sin ydy ,1  2 С2 1f  y  cos 2 ydy .1   Отсюда, воспользовавшись соотношением  4  Примера 3, получаемu  x    xС1  С2  f  x  x f  y  sin ydy 1  2  x sin y cos 2 y  f  y  cos 2 ydy  f  x     f  y  dy 1   1     1  2 f  x     R  x, y ,   f  y  dy  f  x  , x    ,   ,где153R  x, y ,   есть искомая резольвента.x sin y cos 2 y1  2 1  Пример 10.

Проиллюстрируем теоремы Фредгольма на примере результатов Примера 3. В Примере 3 рассматривалось ядроK  x, y   x sin y  cos 2 y , x    ,   , y    ,   .ТогдаK   x, y   y sin x  cos 2 x , x    ,   , y    ,   .Так как все рассматриваемые функции являются действительными и  R , то в силу Теоремы 2 характеристические числа ядра K  x, y  и ядраK   x, y  совпадают, т.е.1 12и1(воспользовались результатами и обозначениями Примера 3).Найдем собственные функции ядра K   x, y  , а также заодно найдем2  непосредственно и характеристические числа ядра K   x, y  , то естьнайдем нетривиальные решения однородного уравнения:  x      y sin x  cos 2 x   y dy , x    ,   .(1)Из уравнения (1) следует, что  x    sin x   y  y dy   cos 2 x     y dy   sin x  D1   cos2 x  D2 , x    ,   ,гдеD1  y  y dy ,154(2)   y dy .D2 (3)Поэтому решение уравнения (1) имеет вид  x    D1 sin x   D2 cos 2 x , x    ,   ,(4)где D1 и D2 определены равенствами (2) и (3).Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в видеD1 y   D1 sin y   D2 cos 2 y dy   D1  y sin ydy  D2y cos 2 ydy   D1  y sin ydy   D1  yd  cos y    D1   y cos y     cos ydy   2 D1(здесь воспользовались тем, что функция y cos2 y , y    ,   , является нечетной, поэтому y cos2ydy  0 ),   D sin y   DD2 1cos 2 y dy   D1  sin ydy 2 D2 cos2ydy   D2 cos21ydy    D2  1  cos 2 y dy 211   D2  y  sin 2 y    D2 .22 Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно D1 и D2с параметром  :1  2  D1 0,(5)1    D2  0.Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:1   2  11  20 1  2 1     0  01     1  2155Еcли   1 1, то система (5) примет вид2 0,0  D1 D  любое число, 11 1   D2  0; D2  0.2 Подставляя найденные D1 и D2 в (4), получаем, что уравнение (1) при  1 1имеет нетривиальное решение:2  x 1D1 sin x , x    ,   , D1  R , D1  0 .2Таким образом, функция 1  x   sin x есть собственная функция ядраK   x, y  , отвечающая характеристическому числу 1 Если   2  1.21, то система (5) примет вид: 1  0,D1  0,1  2     D1   D2  любое число0  D2  0;Подставив найденные D1 и D2 в (4), получаем, что уравнение (1) при1имеет нетривиальное решение1  x   D2 cos 2 x , x    ,   , D2  R , D2  0 .Таким образом, функция  2  x   cos 2 x есть собственная функция  2  ядра K   x, y  , отвечающая характеристическому числу 2  1.Следовательно, подпространстваKer  E  1 K    a sin x  a1  x  , a  R ,(6)Ker  E  2 K    b cos 2 x  b 2  x  , b  R ,(7)Ker  E   K(8)  0 ,если   1 ,   2 .(так как, если   1 ,   2 , то уравнение (1) имеет только нулевое (тривиальное) решение).156Напомним, что в Примере 3 у ядраK  x, y   x sin y  cos 2 y , x    ,   , y    ,  были найдены собственные функции u1  x   x и u2  x   1 , отвечающие характеристическим числам 1 11и 2   соответственно.

Следова2тельно,Ker  E  1 K   kx  ku1  x  , k  R ,(9)Ker  E  2 K   l  lu 2  x  , l  R ,(10)Ker  E   K   0 , если   1 ,   2 .(11)таким образом, мы непосредственно нашли, что в действительном случаемножества характеристических чисел ядер K  x, y  и K   x, y  совпадают(как это и следует из Теоремы 2).Кратко напомним другие результаты Примера 3 (см. решение Примера 3). В Примере 3 было получено, что уравнениеu  x     K  x, y  u  y dy  f  x  , x    ,   , f  x   C   ,   в случае, если   1 и   2 (то есть, если  не равно любому из характеристических чисел ядра) имеет единственное решение при любой правойчасти f  x   C   ,   , задаваемое формулой  4  Примера 3 – этот факти должен иметь место согласно Теореме 1.Также, если   1 и   2 , тоKer  E   K    0 (см.

Характеристики

Список файлов книги