Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Получаемf   t  cos  2 x  y  2 z   f  t    cos  2 x  y  2 z    e 9t cos  2 x  y  2 z  ;f   t  cos  2 x  y  2 z   9 f  t  cos  2 x  y  2 z   e 9t cos  2 x  y  2 z  ;f   t   9 f  t   e 9t .(3)Решаем уравнение (3).Общее решение однородного уравнения в данном случае этоC1e9t ,а частное решение неоднородного уравнения ищем методом неопределенных коэффициентов, учитывая, что это случай резонанса, в видеate 9t .(4)Подставляем функцию, определяемую соотношением (4), в уравнение(3).

Получаемae 9 t  9 ate  9 t  ate 9 t  e 9 t , ae 9 t  e 9 t или a  1 .Следовательно,f  t   C1e9t  te9tесть решение уравнения (3) при любой постоянной C1 , а функцияu 0   C1e9t  te 9 t  cos  2 x  y  2 z есть решение уравнения (1) при любой постоянной C1 .Случай 2. Пусть рассматривается либо уравнение167ut  a 2 u  F  t  G  x1 , x2 ,..., xn  ,либо уравнениеutt  a 2 u  F  t  G  x1 , x2 ,..., xn  ,где функция G  x1 , x2 ,..., xn  обладает следующим свойством: существуеттакое N   , что  N  G  x1 , x2 ,..., xn    0 .Пример 4. Найти какое-нибудь частное решение уравненияut  u  x2 y 2 z 2 ,  x, y, z , t   R4 .(1) Заметим, что 0  G  x, y , z     0  x 2 y 2 z 2   x 2 y 2 z 2  G ; G     x y z12 2  2z 2(2)  2 y z  x z  x y   Q ; G    Q    2  y z  x z  x y   2 y  2z  2x  2 y  2 x   8  x  y  z   P ;12222122222 222222 22222(3)222(4)3  G    2  Q   1  P    8  x 2  y 2  z 2   8  2  2  2   48  R ;(5)4  G   3  Q    2  P   1  R   0 .(6)Ищем частное решение уравнения (1) в видеu0  f  t  G  q  t  Q  p  t  P  r  t  R ,(7)где функции G , Q , P и R определены в (2), (3), (4) и (5) соответственно.Подставим функцию, определяемую соотношением (7), в уравнение(1).

Учитывая соотношение (2), получаемf   t  G  q  t  Q  p  t  P  r   t  R  f  t    G  q  t    Q   p  t    P   r  t    R   G .Воспользовавшись соотношениями (3), (4), (5) и (6), получаемf   t  G  q  t  Q  p  t  P  r   t  R  f t   Q  q t   P  p t   R  r t   0  Gоткуда следуетf  t   1 ,(8)q  t    f  t  ,(9)168p t   q t  ,(10)rt    p t  .(11)f t   t(12)Очевидно, что функцияесть решение (одно из решений) уравнения (8). Подставляя ее в (9), получаемq   t   t ,одним из решений которого является функцияt2.2Подставляем ее в (10), получаем уравнениеq t   t2,2одним из решений которого как легко видеть является функцияt3p t   .6Подставляем ее в (11), получаем уравнениеt3r t    ,6одним из решений которого очевидно является функция(13)p  t  (14)t4.(15)24Из (7), воспользовавшись (12), (13), (14) и (15), а также соотношениями(2), (3), (4) и (5) имеем, что функция4u0  t  x 2 y 2 z 2   t 2  y 2 z 2  x 2 z 2  x 2 y 2   t 3  x 2  y 2  z 2   2t 43есть решение (частное) уравнения (1).

r t   Случай 3. Прежде всего сделаем одно замечание общего характера.Пусть правая часть уравнений (I) и (IV) из § 5 имеет видf  x1 ,..., xn , t   f1  x1 ,..., xk   f 2  xk 1 ,..., xn , t  ,(I)где k  N , 0  k  n . Допустим кроме того, что функция f1 — гармоническая, т.е. выполняется равенство f1  x1 ,..., xk   0 .Тогда частное решение u0 уравнения (I) можно представить в виде169u0  x1 ,..., xn , t   f1  x1 ,..., xk  0  xk 1 ,..., xn , t  ,(II)где функция 0  xk 1 ,..., xn , t  является частным решением уравненияtt  xk 1 ,..., xn , t   a 2   xk 1 ,..., xn , t   f 2  xk 1 ,..., xn , t  .(III)Действительно, подставляя (II) в уравнение (I), имеемf1   0 tt  a 2  f1   0  2  f1 , 0    0  f1   f1  f 2 .Учитывая, что  f1  x1 ,..., xk  ,  0  xk 1 ,..., xn    0 и функция f1 — гармоническая, получаем f1  0 tt  a 2 f1  0  f1  f 2 , откуда следует (III).

Врезультате задача поиска частного решения рассматриваемых уравненийрешается в пространстве меньшей размерности.Пример 5. Найти какое-нибудь частное решение уравненияut  3u  2ln  x 2  z 2 1 y2 x, y, z, t   R 4 \  x 2  z 2  0 .,(1) Заметим, что функция ln  x 2  z 2  как функция переменных есть гар-моническая функция в x, z  : x2 z 2  0 . Этот факт можно проверитьнепосредственно (проверьте!) или вспомнить материалы курса лекций поУМФ. Поэтому частное решение уравнения (1) ищем в видеu 0  x, y, z, t   ln  x 2  z 2   0  y, t  ,(2)где функция 0  y, t  является частным решением уравненияt  3  21,1 y2 y, t   R 2 ,илиt  3 yy 2,1 y2 y, t   R 2 .(3)Так как правая часть уравнения (3) зависит только от y , то ищемчастное решение уравнения (3) в виде0  V  y  .(4)Подставляя функцию, определяемую соотношением (4) в (3), получаем23V   y  ,(5)1 y2Отсюда легко видеть, что частным решением уравнения (5) является,например, функция17021y arctg y  ln 1  y 2  .33Таким образом, из (2), (4) и (6) получаем, что функция12u 0  ln  x 2  z 2    y arctg y  ln 1  y 2  33есть частное решение уравнения (1).

Случай 4. Как и в случае 2, рассматриваются уравненияut  x   a 2 u  x   F  t  G0  x V  y (6)либоutt  x   a 2 u  x   F  t  G0  x  , x   x1 ,..., xk   R n ,где функция G0  x  обладает следующим свойством: существует числоm  N и множество функций G1 ,..., Gm  таких, что выполняются равенстваmGk   hks Gs , k  0,1,..., m ,(IV)s kгде hks  R \ 0 - фиксированные числа.В матричной форме равенства (IV) можно записать в видеG  x   H  G  x  , где матрицы G  x  , H , G  x  имеют вид h000H  ...0 G0  x   G0  x  h01 ... h0 m GxG  x h11 ...

h1m  , G  x    1, G  x   1. ...  ... ... ... ... 0 ... hmm  Gm  x   Gm  x  Частное решение u0  x  в этом случае ищем в виде линейной комбинации функций Gk  x  , k  0,1,..., m , с неизвестными коэффициентамиgk  t  : g0  t  g1  t  T.u 0  x    g k  t  Gk  x  = G  x   g  t  , g  t   ... k 0 g m t  В силу свойства (IV) имеемm171(V)mmmmu0  x    g k  t  hks Gs  x    Gs  x   hks g k  t  k 0 s  ks k(VI)k 0 GT  x   H  g  t  .Подставляя (V), например, в волновое уравнение и учитывая (VI),имеемmmm2 g  t G  x    a hkkksk 0Gs  x  g k  t   F  t  G0  x  ,s  k k 0илиG T  x    g   t   a 2 H T  g  t    F t  G0  x   G T  x   g 0  t  , F t  0 где g 0  t   . ...

 0 Полагаяg   t   a 2 H T g  t   g 0  t  ,получим систему уравнений g0  t   00 g0  t  G0  t  ,01 g0  t  , g1 t   11 g1  t  ...... ....  g m  t   mm gm  t   0m g0 t   ...  mm g m  t Здесь числа km определяются равенствами ks  a 2 hks , k  0,1,..., m;s  0,1,..., m .Решая последовательно уравнения системы, находим искомые функции gk  t  , k  0,1,..., m .Пример 6. Найти какое-нибудь частное решение уравненияutt  2u  x2 sin  x  y  cos t ,  x, y, t   R 3 .(1) Обозначим G0  x, y   x 2 sin  x  y  и отметим, чтоG0  x, y     x 2 sin  x  y     2 x sin  x  y   x2 cos  x  y   x  x cos  x  y    2sin  x  y   4 x cos  x  y   2 x sin  x  y  22y172 2G0  x, y   4G1  x, y   2G2  x, y  ,(2)гдеG1  x, y   x cos  x  y  ,G2  x, y   sin  x  y  .Кроме того,G1  x, y     x cos  x  y     cos  x  y   x sin  x  y   x  x cos  x  y   2sin  x  y   2 x cos  x  y   2G1  x, y   2G2  x, y  ,(3)G2  x, y     sin  x  y     sin  x  y   G2  x, y  .(4)Ищем частное решение исходного уравнения в виде функцииu0  x, y   g 0 (t )G0  x, y   g1  t  G1  x, y   g 2 t  G2  x, y  .Преобразуем выражение (5) с учетом (2), (3) и (4):u0  g0  t  2G0  4G1  2G2   g1  t  2G1  2G2   g 2  t  G2   2 g 0  t  G0   4 g 0  t   2 g1  t   G1   2 g 0  t   2 g1  t   g 2  t   G2 .(5)(6)Подставляя (5) в исходное уравнение (1) и пользуясь выражением (6),запишем уравнение в видеg 0  t  G0  g1 t  G1  g 2  t  G2  2  2 g 0  t  G0   4 g 0  t   2 g1  t   G1   2 g 0  t   2 g1  t   g 2  t   G2   G0 cos t .Приравнивая коэффициенты при функциях Gk , k  0,1, 2, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентовgk  t  , k  0,1, 2 : g 0  t   4 g 0  t  cos t8 g0  t  g1 t   4 g1  t   g   t   2 g  t   4 g  t   4 g  t 201 2Частное решение первого уравнения будем искать в видеg0  t   A cos t .

Неизвестную константу найдем из равенства  A  4 A  9 .Отсюда следует: g0  t   3cos t . Подставляя найденное выражение дляg 0  t  в правую часть второго уравнения системы и предполагая, что егорешение имеет вид g1  t   B cos t , находим значение B из равенства B  4 B  24 . Отсюда находим B  8 , и, следовательно, g1  t   8cos t .173Наконец из третьего уравнения с учетом найденных выражений для функций g 0  t  и g1  t  аналогичным образом находим, что в частности функцияg2  t   20cos t является его решением. Таким образом, частным решением уравнения (1) является, в частности, функцияu 0  x, y    3 x 2 sin  x  y   8 x cos  x  y   20 sin  x  y   cos t .Случай 5.

Рассматривается волновое уравнение, правая часть которого является функцией от специального вида линейной формы переменной t и только одной пространственной переменной. Если для определенности выбрать в качестве такой переменной переменную x , то рассматриваемое уравнение имеет видutt  a 2 u  F  x  at  , или utt  a 2 u  F  x  at  .В этом случае уравнение может быть сведено к волновому уравнениюот одной пространственной переменной, для нахождения частного решения которого можно использовать рассмотренные ранее приемы.Продемонстрируем описанный случай на следующем примере.Пример 7.

Характеристики

Список файлов книги