Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Решить задачу Коши:119utt  u   x 2  y 2  sin t , t  0 , x, y, z   R3 ;2u t  0   x  y  2 z  cos  x  y  2 z  ,  x, y, z   R3 ;utt 0  x2  y2  z2 9 2 z3 , x, y, z   R3 .(1)(2)(3) Уравнение (1) является неоднородным, поэтому ищем какое-нибудьчастное его решение. Можем искать его, например, в видеg  x, y , z , t    Ax 2  By 2  C  sin t .Подставляя функцию g  x, y, z, t  в уравнение (1), получаем  Ax 2  By 2  C  sin t   2 A  2 B  sin t   x 2  y 2  sin t .Отсюда имеем A  1, B  1, C  2 A  B .Следовательно, A  1, B  1, C  4 и функцияg  x, y, z , t     x 2  y 2  4  sin tесть частное решение уравнения (1).Введем новую функцию  такую, что ug.Тогда ug,  u   x 2  y 2  4  sin t ,(4)и запишем задачу (1), (2), (3) для новой функции  :tt   , t  0 ,  x, y, z   R3 ;2 t  0   x  y  2 z  cos  x  y  2 z  ,tt 0  x2  y2  z2 92 x, y, z   R3 ; z3  x2  y 2  4 , x, y, z   R3 .(5)(6)(7)Пусть функция 1 есть решение задачи x, y, z   R3 ;2 t  0   x  y  2 z  cos  x  y  2 z  ,  x, y, z   R3 ;t t  0  0 ,  x, y, z   R3 ;tt   , t  0 ,(8)(9)(10)функция 2 — решение задачи x, y, z   R3 ; t  0  0 ,  x, y, z   R3 ,tt   , t  0 ,120(11)(12)92  x2  y 2  z 2  , x, y, z   R3 ;(13) x, y, z   R3 ; t  0  0 ,  x, y, z   R3 ,t t  0  z 3  x 2  y 2  4 ,  x, y, z   R3 .(14)tt 0а функция 3 — решение задачиtt   , t  0 ,(15)(16)Тогда решением задачи (5), (6), (7) является функция   1  2  3 .Будем искать функцию11  x, y, z , t   V  , t  , гдев виде   x  y  2 z  .

Тогда получим задачу для функции V  , t  :Vtt  6V , t  0 ,   R1 ,Vt 0Vt(17)12  cos  ,   R ,(18)1t 0 0,  R .(19)Решение задачи (17), (18), (19) найдем с помощью формулы Д’Аламбера. Получим221V  , t      6t cos   6t    6t cos   6t  .2Следовательно, функция211  x, y, z , t    x  y  2 z  6t cos x  y  2 z  6t 2     2 x  y  2 z  6t cos x  y  2 z  6t есть решение задачи (8), (9), (10).Решение задачи (11), (12), (13) будем искать в виде (20) 2  x, y, z , t   W  r , t  , r  x 2  y 2  z 2 .Тогда для функции W  r , t  уравнение (11) примет вид'''' rW tt   rW rr ,t  0, r  0 .Введем новую искомую функциюw  r , t   rW  r , t  ,(21)для которой получим смешанную задачу для «полубесконечной струны»2)________________________________________________________________2)Смешанная краевая задача для «полубесконечной струны» изложена в § 2данного пособия.121wtt  wrr , t  0 , r  0 ,w t  0  0 , wtt 0 r10 , r  0 ,w r 0  0 , t  0 ,Решением этой задачи, как нетрудно показать (см.

§ 2 данного пособия) является функция  r  t 1111 r  t   22 , r  t  0,w  r, t  1122 r  t , r  t  0. 22Следовательно, в силу (21) функция2  x, y, z , t  w  r, t r11 w  r, t  r  t 22r  r  t 11, r  t  0,22r11 r  t, r  t  0. 22r(22)есть решение задачи (11), (12), (13).Решение задачи (14), (15), (16) находим с помощью формулы (VI).

Получим функциюt3 3  x, y, z , t   t  z 3  x 2  y 2  4     z 3  x 2  y 2  4  3!t36z  4 ,6которая есть решение задачи (14), (15), (16).Следовательно, в силу (4) функция t  z3  x2  y2  4 (23)u    x 2  y 2  4  sin t  1   2   3 ,где функции 1 ,2 ,3 определены формулами (20), (21), (23) соответственно, есть решение задачи (1), (2), (3).Пример 8.

Решить задачу Коши:ut  2u  xe8 t  2 z , t  0 ,  x, y, z   R3 ;5u t  0   x  z  y cos y  sh  x  2 y  3 z  ,  x, y, z   R3 .(1)(2) Уравнение (1) является неоднородным, поэтому ищем какое-нибудь2 zчастное его решение. Так как функция xe есть собственная функция122оператора Лапласа, ищем частное решение уравнения (1) в виде  u  te8t xe 2 z3  2 t  0  y cos yw  x, y, z   g  t  xe 2 z .(3)  1  2  3Подставляем функцию, определяемую формулой (3), в уравнение (1) иполучаемg   t  xe2 z  2 g  t  4 xe2 z  e8t xe 2 z ,g   t   8 g  t   e8 t ;в качестве решения этого уравнения можно взять, например, функциюg  t   te8tСледовательно, функцияw  te8t xe 2 zесть частное решение уравнения (1).Введем новую искомую функцию  такую, что   u  w .

Тогда  u  te8t xe 2 z(4)Запишем задачу (1), (2) для новой функции  :t  2 , t  0 ,  x, y, z   R3 ;(5)5 t  0   x  z  y cos y  sh  x  2 y  3 z  ,  x, y, z   R3 .(6)Пусть функция 1 — eсть решение задачиt  2 , t  0 , t  0 ,  x, y, z   R3 ;(7)5 t  0   x  z  ,  x, y, z   R3 .(8)функция 2 — решение задачиt  2 , t  0 ,  x, y, z   R3 ; t  0  y cos y ,  x, y, z   R(9)3(10)функция 3 — решение задачиt  2 , t  0 ,  x, y, z   R3 ;(11)3 t  0  sh  x  2 y  3z  ,  x, y, z   R .(12)Тогда функция   1  2  3 есть решение задачи (5), (6).Из формулы (VII) следует, что функция22 t 2 25551   x  z   2t   x  z   x  z 2!12353  x  z   80t  x  z   960t 2  x  z  .Из формулы (VII) получаем, что2k t k k2k t k2    y cos y    y cos y  2k  k 0 k !k 0 k !2k t k  1kky cos y   1 2k sin yk!k 0kk! sin y  k 0k! y cos y  k 0k2k t k  1 2kk2k t k  1 y cos yk!k 02k t k  1 2k sin yk 0(13)2k t k  1k!kk 2t   2k 1  k  1 ! y cos y  e2t  sin y   e 2t y cos y  4t sin y  l 0 2t l!le2t y cos y  4te2t sin y .(14)Так как   sh  x  2 y  3 z    14sh  x  2 y  3 z  (то есть это собственнаяфункция оператора  ), то решение задачи (11), (12) ищем в виде3  h  t   sh  x  2 y  3z  .Подставляя (15) в уравнение (11), получаемh  t   sh  x  2 y  3z   2 14h  t  sh  x  2 y  3z  ,откудаh  t   28h  t  ,(15)h  t   Ce28t , C  R .Следовательно, функцияCe28t  sh  x  2 y  3z  ,есть решение уравнения (11), где C  R — произвольная постоянная.Подбираем постоянную C , удовлетворяя начальное условие (12): t 0  C sh  x  2 y  3z   sh  x  2 y  3z  .Отсюда получаем, что С  1 и3  e28t  sh  x  2 y  3z (16)есть решение задачи (11), (12).Таким образом, из (4) следует, что функцияu  te8t xe  2t  1 2  3 ,где функции 1 ,2 ,3 определены формулами (13), (14), (16) соответственно есть решение задачи (1), (2).

124§ 6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯУравнение  x     K  x, y   y  dy  f  x  ,xG ,(I)Gотносительно неизвестной функции   x  в области G  R n называется линейным интегральным уравнением Фредгольма, известные функции K  x, y  и f  x  называются ядром и свободным членом уравнения ( I); — комплексный параметр.Интегральное уравнение  x     K  x, y   y  dy , x  G ,(II)Gназывается однородным интегральным уравнением, соответствующимуравнению (I).Ядро K *  x, y   K  x, y  — эрмитово сопряженное к ядру K  x, y  ;уравнение  x     K *  x, y   y  dy  g  x  , x  G ,(I*)G— союзное или сопряженное уравнение к уравнению (I), а  x     K *  x, y   y  dy , x  G ,(II*)G— соответствующее однородное уравнение.Эти уравнения иногда удобно записывать в операторной форме: E   K    f ,  E   K    0, E   K *  g ,  E   K *  0,(III)где интегральные операторы E , K и K * определяются так:E   , K   K  x, y    y  dy , K *    K *  x, y   y  dy .GGРассмотрим два случая.1.

Область G ограничена, f  x   C  G  , g  x   C  G  ,K  x, y   C  G  G  ; при этом решение рассматриваемых уравненийразыскивается в C  G  .2. Область G произвольная (в том числе неограниченная),f  x   L2  G  , g  x   L2  G  , K  x, y   L2  G  G  ; в этом случае решениеразыскивается в L2  G  .125Если при некотором значении параметра     однородное уравнение(II) ((II*)) имеет нетривиальные решения ( не равные нулю тождественнов первом случае и не являющиеся нулевыми элементами L2  G  — во втором, то это число     называется характеристическим числом ядраK  x, y  ( K *  x, y  соответственно), а соответствующие решения уравнения (II), (II*) – собственными функциями ядра K  x, y  K *  x, y   , отве-чающими этому характеристическому значению.

Множество всех собственных функций, отвечающих характеристическому числу     , послеприсоединения к нему функции, тождественно равной нулю, является линейным подпространством Ker  E   K 1  2 111x C2 sin x  cos x  x 2 C2 sin x  cos x,2 3262x    ,   , C2  Ru  x  Ker  E   K *  пространства C  G  в первом случае и пространстваL2  G  — во втором.Размерность этого подпространства, то есть максимальное число линейно независимых собственных функций, отвечающих характеристическому числу     , есть кратность3) k    ( k    ) этого характеристического числаk     dim Ker  E   K  ,k     dim Ker  E   K * .Как в первом, так и во втором случаях имеет место следующие теоремы Фредгольма.Теорема 1.

Характеристики

Список файлов книги