Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Таким образом, решение задачи (6), (7), (8), (9) представляется в виде  x, t    Tk  t  k  x  ,(13)k 0где функции k  x  , k  0, 1, 2,  , определены в (12), а функцииTk  t  , k  0, 1, 2,  , найдем, подставляя в уравнение (6) функцию   x, t , определяемую (формально написанным) рядом (13), и используя условия(7).Для этого представим правые части уравнения (6) и условий (7) рядамиФурье по системе (12). Получим2cos x  20  x   20  x   0 1  x   0 2  x   ,(14)0  0  v0  x   0  v1  x   0  v2  x   ,60(15) x   a k k  x  ,2k 0(16)где2  x,  k  x     2  x   k  x  dx2 0ak  , k  0, 1, 2, k  x  , k  x 22 k  x   dx(17)0Вычисляя интегралы, входящие в (17), получим21 2 xxdxxcosxdxkk  x  d  sin k x  0  2 0  2 k 0  21k    2  x  sin k x  202   1  sin k xdx  01 21sin k x dx   2 cos k xk 0k201.k2(так как k  1  2k ),2222k   x  dx    cos  x  dx 0k022 111  1  cos 2k x  dx   x sin  2k x    .2022 k40Следовательно, из (17) имеем4ak  2 , k  0, 1, 2, k5.

Заменяя в уравнении (6) функцию   x, t  рядом(18) T  t   x kkсо-k 0гласно (13), функцию tt  x, t  рядом T  t   x  , функцию xx  x, t  ,"kk 061kрядом T t   x     T  t     x  , так как k"  k2k  x  , функ"kk2kkk 0kk 0цию 2 cos x рядом 20  0 1  x   (см. (14)), получаем"k2k k T  t   x     T  t     x    T  t   x  kkk 0kk 0kk 0(19)20  x   0 1  x    .Из условий (7), используя (15) и (16), получаемt 0  Tk  0  k  x   0  0  0  x   0  1  x    ,(20)k 0tt 0  Tk'  0   k  x    ak k  x  .k 0(21)k 0Из равенств (19), (20) и (21) получаем следующие задачи Коши дляфункций Tk  t  , k  0, 1, 2, :Tk"  t    k2  1 Tk  t  ,Tk  0   0, 'Tk  0   ak , eсли k  1, 2, ;(22)T0"  t    02  1 T0  t   2,T0  0   0, 'T0  0   a0 .6.

Решим задачу (22).Перепишем уравнение (22) в виде(23)Tk"  t    k2  1 Tk  t   0, k  1, 2, (24)2Так как k  1  2k , то k2  1  1  2 k   1  4k 2  4 k .Заметим, что k2  1  4k 2  4k  0 при k  1, 2,  , и, следовательно, решение уравнения (24) имеет видTk  t   C1k cos4k 2  4k t  C2 k sin4k 2  4k t , C1k  R, C2 k  R .Используя начальные условия задачи (22), получаемTk  0   C1k  0 .T '  0   C2 k  4k 2  4k  ak .62akОтсюда C1k  0 , C2 k Tk  t  4 k 2  4kaksin2, и, следовательно,4k 2  4 k t , k  1, 2, (25)4k  4kРешим задачу (23).Так как 02  1  0 , то уравнение в (23) имеет вид T0"  t   2 .Отсюда T0  t   t 2  C10 t  C20 , C10  R, C20  R .Используя начальные условия задачи (23), получаемT0  0   C20  0 ,T0'  0   C10  a0 .Следовательно, T0  t   t 2  a0 t , или T0  t   t 2 44t , так как a0  (из(18)).Таким образом, из (12), (13), (25) и (26) следует, что функцияak4   x, t    t 2  t  cos x  sin 4k 2  4k t cos k x ,2 k 14k  4 kгде k и ak определены формулами (11), (18) соответственно, есть решениезадачи (6), (7), (8), (9).Отсюда, используя равенство (5), заключаем, что функцияu  x, t   xt    x, t  ak4  xt   t 2  t  cos x   sin k 14k 2  4 kесть решение задачи (1), (2), (3), (4).

4k 2  4k t cos k xПример 6. Решить смешанную задачу:1t 77ut  u xx  2u  2  x     21 e  t sin 4 x, t  0, 0  x  ;44 44u t 0  x  7 cos 2 x, 0  x  ;4u x x  0  1, t  0 ;ux41  t  , t  0 .463(1)(2)(3)(4) 1. Если условия (3) и (4) не являются однородными, то найдем какую-нибудь функцию g  x, t  , удовлетворяющую условиям (3) и (4).Ищем ее, например, в виде g  x, t   A  t  x  B  t  .Тогда из (3), (4) получаемg x x  0  A  t   1,gx4 A t 1 B  t     t  .44ttи g  x, t   x  .442.

Рассмотрим новую искомую функцию   x, t  , такую, чтоСледовательно, A  t   1, B  t    x, t   u  x, t   g  x, t  ,t  x, t   u  x , t   x  .4Запишем задачу (1), (2), (3), (4) для функции   x, t  :(5)t,41ut  t  ,4u xx   xx ,u   x1 1tt 77  t     xx  2    x    2  x     21 e  t sin 4 x ,4444 4или17t   xx  2  21 et sin 4 x ,4t t  0  u t  0   x    7 cos 2 x .4  t 0Таким образом, для функции   x, t  получим следующую задачу:17t   xx  2  21 e t sin 4 x, t  0, 0  x  ;44 t  0  7 cos 2 x, 0  x  ,4 x x  0  0, t  0 ;64(6)(7)(8)x4 0, t  0 .(9)Решение задачи (6), (7), (8), (9) будем искать в виде  x, t    Tk  t k  x  ,kгде  k  x  – собственные функции следующей задачи Штурма — Лиувилля:2 "  x      x  , 0  x  ;400;(10)       0.  4 3. Решим задачу (10).Пусть   0 .

Тогда уравнение в (10) примет вид  "  x   0 , и, следовательно,   x   C1 x  C2 .Из граничных условий в (10) имеем   0   C1  0;      C1   C2  0.4 4Отсюда C1  C 2  0 . То есть   x   0 , и, следовательно,  2  0 не является собственным значением задачи (10).Пусть   0 .

Тогда уравнение в (10) примет вид  "  x    2   x   0 ,и, следовательно,   x   C1 cos  x  C2 sin  x .Так как    x   C1 sin  x  C2  cos  x , то из условия    0  0 получаем, что    0   C2   0 , или C2  0 . Отсюда  x   C1 cos  x, C1  R, C1  0.Возьмем, например,C1  1 , то есть   x   cos  x . Из условия       0 получаем, что     cos     0 .444 Отсюда k     k , k  Z ,4 265k  2 1  2k  , k  Z , k  x   cos  2 1  2k  x  , k  Z .Оставляя среди найденной системы функций только линейно независимые, получаем, что рассматриваемый в нашей задаче оператор Штурма— Лиувилля (задача (10)) имеет следующие системы собственных значений и собственных функций:2k2   2 1  2k   , k  0,1,  ,(11) k  x   cos  2 1  2k  x   cos k x, k  0,1, (12)4.

Таким образом, решение задачи (6), (7), (8), (9) представляется в виде  x, t    Tk  t  k  x  ,(13)k 0где функцииk  x  , k  0, 1,  , определены в (12), а функцииTk  t  , k  0, 1,  , найдем, подставляя в уравнение (6) и начальное условие (7) функцию, определяемую рядом (13).Для этого представим правые части уравнения (6) и условия (7) рядамиФурье по системе (12). Получимsin 4 x   ak k  x  ,(14)k 1где2sin 4 x   x  dxsin 4 x,  x    ,  x  ,  x xdx   kakk02kk  0,1,  ,(15)2kk0(заметим, что 21 e  t sin 4 x   ak 21 e  t  k  x  )k 17 cos 2 x  70  x   70  x   0  1  x   0 2  x   .Вычислим интегралы, входящие в (15): так как k  2 1  2k  , то4 sin 4 x   x  dx k066(16)414  sin 4 x  cos k xdx   sin   4  k  x   sin   4  k  x  dx 20014   sin  4k  6  x  sin  4k  2  x  dx 20441 11 cos  4k  6  x  cos  4k  2  x  2  4k  64k  200111 41  ,2  4k  6 4k  2   4k  6  4k  2   2k  3 2k  14   x  2k0442dx    cos  k x   dx 011  cos  2k x   dx 2 04 11 xsin  2k x    .22k0 8Следовательно, из (15) имеем8ak , k  0, 1,   2k  3 2k  15.

Заменяя в уравнении (6) функцию   x, t  рядом(17) T  t   x kkсо-k 0гласно (13), функцию t  x, t  рядом T   t   x  , функцию xx  x, t kkk 0рядом T t   x     T  t     x  , так как k"  x   k2k  x  , функk"kkk 02kkk 0цию 21 e t sin 4 x рядом 21 etak k  x  согласно (14), получимk 07 Tk   t k  x   k 01  Tk t   k2k  x  4 k 02 Tk  t k  x    21 e  t akk  x  .k 0k 1Из условия (7), используя (16), получаем:67(18)t0  Tk  0  k  x   20  x   0 1  x    .(19)k 0Из равенства (18) получаем следующее уравнение для функцийTk  t  , k  0, 1,  : 27Tk   t     k  2  Tk  t   21 ak e  t , k  0, 1,  ,4илиTk   t  8  k2Tk  t   3 ak e  t , k  0, 1,  ,28или4k 2  4k  1(20)Tk  t   3 ak e  t , k  0, 1, 7Заметим, что при k  1 , будем иметь резонансный случай, так какTk   t    4k 2  4 k  1   1 .7 k 1Следовательно, из (20) и (19) получаем следующие задачи Коши дляфункций Tk  t  , k  0, 1,  : 4k 2  4k  1 Tk  t   3 ak e t ,Tk  t   7T  0   0, k  2, 3,  , k(21)1 tT0  t   T0  t   3 a0 e ,7T0  0   7;(22)T   t   T  t   3 a e  t ,111T1  0   0.(23)6.

Решим задачу (21).Для удобства введем обозначение4k 2  4 k  1(24)bk , k  0,1,...7Тогда уравнение (20) (и, следовательно, и уравнения задач (21), (22),(23)) может быть записано в видеTk   t   bk Tk  t   3 ak e t , k  0, 1, 68(25)Найдем решение уравнения (25) при k  0, 2, 3,... (т.е. при k  1 ).Общее решение этого уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения, которое имеет вид Cebk t , C  R , и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем в виде Ae  t .Подставляя функцию Ae  t в (25) при k  1 , получим3 ak Aet  bk Aet  3 ak e t , A . bk  1Следовательно, общее решение уравнения (25) при k  1 имеет вид3 ak  tTk  t   Ce bk t e , k  0, 2,...(26) bk  1Вернемся к решению задачи (21).Найдем C в (26), удовлетворяя начальное условие задачи (21):3 ak3 akTk  0   C  0, C  . bk  1 bk  1Таким образом, решение задачи (21) имеет вид3 akTk  t  e  t  e bk t , k  2, 3,... bk  1(27)Решим задачу (22).Решение уравнения задачи (22) согласно (26) имеет вид3 a0 tT0  t   Ce  b0t e , b0  1или1tT0  t   Ce 7  7e  t18из (24), а a0 из (17)).73Найдем постоянную C , удовлетворяя начальное условие задачи (22):(воспользуемся тем, что b0  T0  0   C  7  7, C  0 .Таким образом, решение задачи (22) имеет видT0  t   7et .(28)Теперь решим задачу (23).

В данном случае ( k  1 — случай резонанса)частное решение уравнения задачи (23) ищем в видеBte  t .Подставляя функцию Bte  t в уравнение задачи (23), получаем69Bet  Bte t   Btet  3 a1e t ,B  3 a1  2458из (17)).5Следовательно, общее решение уравнения из задачи (23) имеет вид24T1  t   Ce  t  te t .5Найдем постоянную C , удовлетворяя начальное условие задачи (23):(воспользовались тем, что a1  T1  0   C  0 .Следовательно, решение задачи (23) имеет вид24T1  t    te t .(29)5Таким образом, из (12), (13), (27), (28) и (29) следует, что функция24  x, t   7e t cos 2 x  te  t cos 6 x 53 ake t  e  bk t cos  2 1  2k  x  ,b1k2kгде ak и bk определены формулами (17) и (24) соответственно, есть решение задачи (6), (7), (8), (9).

Тогда из (5) заключаем, что функцияtu  x, t     x, t   x  ,4где функция   x, t  определена выше, есть решение задачи (1), (2), (3), (4).3.2. Первая смешанная задача для волнового уравненияи уравнения теплопроводности в кругеПример 1. Решить смешанную задачуut  4u  3u  et  f  r  sin  , t  0, r  3, 0    2 ;(1)1ut 0 8 J1  1 r  sin  , r  3, 0    2 ; 3 u r 3  0, 0    2 , t  0 ,где функция f  r   C  0, 3 ,11(2)(3)f  3  0, 1 – положительный нуль функ-ции Бесселя J1   .70 .

Так как условие (3) является однородным, то ищем решение задачи(1), (2), (3) в виде ряда (XXIII) с зависящими от t коэффициентамиAmk  t  , k  1, 2,, m  0, Bmk  t  , k  1, 2,, m  1 .Заметим, что правые части уравнения (1) и начальная функция условия  1 (2) есть et f  r  sin  и 8J1  1 r  sin  соответственно. Поэтому из орто 3 гональности системы собственных функций задачи (XVII) заключаем, чтов ряде (XXIII) следует положить коэффициенты Amk  t   0 для всехk  1, 2,  , m  0 , и коэффициенты Bmk  t   0 при всех k  1, 2,  , иm  1 , т.е. решение задачи следует искать в виде однократного ряда  1u  r ,  , t    B1k  t  sin  J1  k 3k 1r.ПереобозначимB1k  t   Tk  t  , k  1, 2, и будем искать решение задачи (1), (2), (3) в виде  1u  r ,  , t    Tk  t  sin  J1  k 3k 1r .(4)Разложим функцию f  r  в ряд Фурье (XXIV) по системе функций  1J1  k 3r  , k  1, 2,  :  1f  r     k J1  k 3k 1r,(5)где k1 frJr r d r103 (6)k , k  1, 2, 23  k1  0  J1  3 r   r d r Подставим ряд (4) в уравнение (1) и условие (2).

Характеристики

Список файлов книги