Некоторые методы решения типовых задач по курсу УМФ - Михайлова (1188238), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Найти решение u  x, t  следующей задачи:utt  2u xt  3u xx  0 ,25x  0, t  0;(1)u t  0  x  ch x ,uxx 0ut sh t t 0 sh x  3 ,1,1  9t 2x0;t 0.(2)(3) Найдем решение уравнения (1) методом характеристик. Запишемуравнение в виде3u xx  2u xt  utt  0 .Найдем характеристики этого уравнения.Из (III) § 1 имеем223  dt   2 dxdt   dt   0 ,или23  t    2t   1  0 ,1.3Следовательно, t   x  C1 и 3t  x  C2 — два семейства характеристик уравнения (1).Введем характеристическую замену переменных  x  t,(4)  x  3tоткуда получаем, что t  1 и t и запишем уравнение (1) в новых переменных:u x  u  u , ut  u  3u ,−3u xx  u  2u  u ,1utt  u  6u  9u ,2u xt  u  u  3u  3u .Отсюда получаемu  3  1  2   u  3  9  6   u  6  6  2  6   0 ,или16u  0 .Следовательно,u  f    g   ,где f   и g   — любые функции класса C 2 .Отсюда в силу замены переменных (4) находим общее решение уравнения (1):26u  x, t   f  x  t   g  x  3t  .(5)Из условий (2) и соотношения (5) следует, чтоu t  0  f  x   g  x   x  ch x , x  0 ;utt 0(6*) f   x   3 g   x   sh x  3 , x  0 .(6**)Продифференцировав правую и левую части равенств (6*) по x , получаемf   x   g   x   1  sh x , x  0 .(6***)Вычтем из равенства (6**) равенство (6***).

Получим4 g   x   4 , x  0 .(7)Отсюда находим, чтоg x  1 , x  0 ;(7*)g  x  x  C , x  0 ,(8)где C — произвольная постоянная.Подставляя g  x  из соотношения (8) в соотношение (6*), получаемf  x   x  ch x  g  x  ,x0,f  x   ch x  C ,x0.Из (8) и (9) следует, что x, t  : x  t  0, x  3t  0 имеет видрешение(9)задачиu  x, t   ch  x  t    x  3t  .вобласти(10)Из условия (3) и соотношения (5) имеем1, t 0.1  9t 2Воспользовавшись соотношением (9), находимf   t   sh t , t  0 ,uxx 0 f   t   g   3t   sh t и, следовательно, из (11) получаемsh t  g   3t   sh t g   3t  1, t 0;1  9t 21,1  9t 2t 0.Положив z  3t , получимg z 1,1  z227z0.(11)Следовательно,g  z   arctg z  A , z  0 ,(12)где A — произвольная постоянная.Найдем связь между постоянной A из формулы (12) и постоянной C изформулы (8), осуществив «склейку» по непрерывности функции g   внуле:g  0  0  g  0  0 ,0C  0 A .Отсюда следует, чтоAC.Подставляя найденное значение A в формулу (12), получаемg  z   arctg z  C , z  0 .Из (9) и (13) следует, что x, t  : x  t  0, x  3t  0 имеет видрешениезадачиu  x, t   ch  x  t   arctg  x  3t  .в(13)области(14)Из (10) и (14) следует, что решением задачи (1), (2), (3) является функцияx  3t , x  3t  0;u  x, t   ch  x  t   arctg  x  3t  , x  3t  0.28§ 3.

МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯСМЕШАННЫХ ЗАДАЧОбозначим через QT   x   x1 ,  xn   , 0  t  T  цилиндр в  n1 ,где  — ограниченная область в  n , граница которой    C 2 , а T  0 .Функция u  x, t  ,  x, t   QT называется (классическим) решением первой смешанной задачи для волнового уравнения:1utt  u  f  x, t  ,  x, t   QT ;(I)a2u t 0    x  , x   ,(II)utt 0  x, x   ,u     x, t  , x   , 0  t  T , если u  x, t   C 2  QT   C1 QT(III)(IV)и удовлетворяет условиям (I), (II), (III),(IV).Часто вместо граничного условия (IV) рассматривается граничноеусловие вида u(V)    x  u     x, t  , x  , 0  t  T , n в котором n — единичный вектор внешней по отношению к области нормали к поверхности   в  n , а заданная на  функция  x  , x   ,непрерывнаинеотрицательна,(   x   C    ,  x   0, x   ); условие неотрицательности коэффициента   x  естьфизическое условие упругого закрепления границы.

В случае, когда  x   0, x   , задача (I), (II), (III), (V) называется второй, а в случае,когда   x   0, x    , — третьей смешанной задачей для уравнения (I).Если граница области  состоит из нескольких гладких кусков, то накаждом из этих кусков может задаваться одно из условий: либо типа (IV),либо типа (V).Аналогичные смешанные задачи рассматриваются и для уравнениятеплопроводности.Функция u  x, t   C 2,1  QT   C  QT  называется решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности:291ut  u  f  x, t  ,  x, t   QT ;a2u t 0    x  , x   ,(VII)u     x, t  , x   , 0  t  T ,(VIII)(VI)если она удовлетворяет условиям (VI), (VII), (VIII).Функция u  x, t   C x2,1,t  QT   C  QT  , удовлетворяющая условиям (VI),(VII), (V), называется решением второй (при   x   0, x    ) или третьей (если   x   0, x    ) смешанной задачи для уравнения (VI).Для каждой из сформулированных смешанных задач как в гиперболическом, так и в параболическом случаях имеет место теорема единственности, т.е.

каждая из этих задач не может иметь более одного решения.При достаточной гладкости заданных функций   x  ,   x  ,   x, t  ,f  x, t  ,   x   и выполнении условий их согласования, а также гладкостиграницы области  решения каждой из перечисленных смешанных задачсуществуют.Проиллюстрируем способ решения смешанных задач на примере волнового уравнения. В случае, когда граничное условие рассматриваемой задачи однородное (т.е. в формулах (IV) или (V) функция   x, t   0 ), длярешения задачи можно применить метод Фурье, суть которого заключаетсяв следующем.Прежде всего следует изучить соответствующую спектральную задачу, которая в случае одного пространственного переменного  n  1 часто называется задачей Штурма — Лиувилля.Для первой смешанной задачи (I), (II), (III), (IV) эта задача состоит внахождении чисел  (собственных значений), при которых краевая задача    , x  ,(IX)   0имеет нетривиальное (не равное тождественно нулевой функции) решение  x  , определяемое как собственная функция, соответствующая собственному значению  .

Для случая смешанной задачи (I), (II), (III), (V) спектральная задача состоит в нахождении собственных чисел  , то есть техчисел  , при которых краевая задача30x  ,   ,  n    x     0(X)имеет нетривиальное решение   x  — собственную функцию, соответствующую собственному значению  .Собственные функции   x  как в задаче (IX), так и в задаче (X), можносчитать вещественнозначными.Совокупность всех собственных значений задачи (IX) (или (X)) составляет спектр соответствующей задачи. Спектр каждой из задач (и (IX), и (X))состоит из счетного числа вещественных неотрицательных чисел0  1  2     p  ,  p   при p   , при этом собственное значение k в этой последовательности встречается столько (конечное число)раз, сколько линейно независимых собственных функций отвечает этомусобственному значению; это число есть размерность соответствующегособственного подпространства рассматриваемого оператора и называетсякратностью собственного значения k .Соответствующая последовательности  p  последовательность собственных функций  p  x  образует ортогональный базис пространстваL2    (со скалярным произведением  g , h  L     g  x  h  x  dx ; все функ2ции считаем вещественнозначными).Эта же система собственных функций является ортогональным базисом в пространстве Соболева H 1    в случае задачи (X), а в случае задачиo(IX) — в подпространстве H 1    этого пространства, состоящего из всехфункций пространства H 1    , след которых на границе   равен нулю.Напомним (см., например,17  , 18 ),что скалярное произведение в1H    определяется равенством g, h H      g, h   gh  d x,1g   gx1,, g xn .oЗаметим, что самим С.

Л. Соболевым пространства H 1    и H 1   oбыли обозначены через W21    и W21    соответственно.31Поскольку в рассматриваемых случаях все собственные значения вещественны и неотрицательны, то часто спектральный параметр задачи обозначают не через  , а через  2 ; в этом случае собственными значениямизадачи являются соответствующие значения  2 .Формальная схема метода Фурье следующая. Представим рядамиФурье по соответствующим (пронормированным в L2    ) собственнымфункциям функции   x  ,   x  и функцию f  x, t  при каждом t   0, T (считая их принадлежащими L2    и соответственно L2    при каждомt   0, T  ):  x     k k  x  ;k 1  x     k k  x  ;k 1f  x, t    f  t  k  k  x  ,k 1где  k   ,  k  L    ;  k   , k  L   ; f k  t    f  x, t k  x dx, k  1, 2,22Решения задачи (I), (II), (III), (IV) или задачи (I), (II), (III), (V) (напомним, что условия (IV) или (V) считаются однородными) также ищем в видеряда Фурье по этой системе:u  x, t    Tk  t k  x  ,k 1коэффициенты Фурье Tk  t  в котором являются решениями задач Кошидля обыкновенных дифференциальных уравнений1Tk ''  t   k Tk  t   f k  t  , t  0, T  ,a2Tk  0    k ; Tk '  0    k , k  1, 2,Решение u  x, t  задач (VI), (VII), (VIII) или (VI), (VII), (V) для уравнения теплопроводности при том же однородном   x, t   0граничномусловии ищется в том же виде, только коэффициенты Tk  t  , k  1, 2,  ,являются решениями задачи Коши:1Tk '  t   kTk  t   f k  t  , t   0, T  ;a2Tk  0   k , k  1, 2,32Случай, когда граничное условие (IV) или (V) для волнового уравненияили соответствующее граничное условие для уравнения теплопроводностине является однородным, сводится к рассматриваемому с помощью заменыискомой функции u  x, t  на функцию u  x, t   u  x, t   g  x, t  , гдеg  x, t  — достаточно гладкая в QT функция, удовлетворяющая соответствующему неоднородному граничному условию.В случае одного пространственного переменного ( n  1 ) приведенные выше утверждения выглядят следующим образом.

Характеристики

Список файлов книги