ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

— áâ® §­ 祭¨¥ Ln z ¨§¢¥áâ­® ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥z0 | ®­® § ¢¨á¨â ®â ⮣®, ¯® ª ª®© ªà¨¢®© γ0 ý¯à¨è«¨þ ¢ íâãâ®çªã ¨§ â®çª¨ z = 1. ’ ª ª ª ln |z| ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï ¢¯«®áª®áâ¨, â® §­ 祭¨¥ Ln z ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«¨âáï §­ 祭¨¥¬ à£ã¬¥­â z ¢ â®çª¥ z0 .Š ª ⮣¤ ­ ©â¨ §­ 祭¨¥ Ln z ?ˆ¬¥¥¬ZzLn z =1dξ=ξZz01dξ+ξZzz0dξ=ξ= ln |z0 | + i(ϕγ0 (z0 ) − ϕ(1)) + ln |z| − ln |z0 | + i(ϕγ (z) − ϕ(z0 )) == ln |z| + i(ϕ(z0 ) + ∆γ ϕ) = ln |z| + i(arg z0 + ∆γ ϕ).’¥¯¥àì ∆γ ϕ | ¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â z ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ 㦥®â â®çª¨ z0 ¤® z ¯® ªà¨¢®© γ , ϕγ0 (z0 ) − ϕ(1) | à£ã¬¥­â z0 ,ª®â®àë© § ¢¨áïâ ®â ⮣®, ª ª ý¯à¨è«¨þ ¨§ 1 ¢ z0 .

Ž­ ¨¬¥¥â ¢¨¤α + 2πk , k ∈ Z £¤¥ α | ®¤­® ¨§ ¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© à£ã¬¥­â z0 . ¯à¨¬¥à, arg(−1) = π + 2πk = −π + 2πm, k, m ∈ Z ¨ â. ¤.ˆâ ª, ¯®«ã稫¨ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln z :Ln z = ln |z| + i(arg z0 + ∆γ ϕ),(2.5)£¤¥ ∆γ ϕ | íâ® ¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â z ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® ªà¨¢®© γ ®â â®çª¨ z0 ¤® â®çª¨ z .

Ž­® áãé¥á⢥­­® § ¢¨á¨â ®âªà¨¢®© ¨ ï¥âáï ­¥®¤­®§­ ç­®© ä㭪樥© ¢ ¯«®áª®áâ¨.®í⮬㠥éñ à § ¯®¤ç¥àª­ñ¬, çâ®Ln z| ¬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï.à¨ à ¡®â¥ á ä®à¬ã«®© (2.5)¢ ª ç¥á⢥ â®çª¨ z0 ¬®¦¥â¡ëâì ¢§ïâ ¨ â®çª z = 1. à¨ í⮬ §­ 祭¨¥ arg 1 ¬®¦¥â ¡ëâì®â«¨ç­® ®â 0 | ®­® ¨¬¥¥â ¢¨¤ 2πki. ‚¥¤ì ­¥ ¨§¢¥áâ­®, ᪮«ìª®66à § 㦥 ®¡®è«¨ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¤® ⮣®, ª ª § ¨­â¥à¥á®¢ «¨áì ⥬, ª ª ¬¥­ï¥âáï Ln z ¯à¨ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¨§¬¥­¥­¨¨ z . à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.Œ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® Ln z | íâ®äã­ªæ¨ï, ®¡à â­ ï ª íªá¯®­¥­â¥:I eLn z = eln |z|+i arg z = |z|ei arg z = z .J2.1.2.

’®çª¨ z = 0 ¨ z = ∞ | â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï Ln z .¥£ã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ Ln z ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬®â z = 0 ¤® z = ∞. à®¨§¢®¤­ ï ¢¥â¢¨ Ln∗ z ,Ln∗ f (z)Ž¡®§­ 祭¨¥. ‡­ 窮¬ * ¢­¨§ã ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ¢¥â¢ì¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ’®çª z = a ∈ C ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 F (z), ¥á«¨ F (z) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = a ∈ C ¨ ¯®á«¥®¡å®¤ â®çª¨ z = a ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã, ¯à¨­ ¤«¥¦ 饬ã¥ñ ®ªà¥áâ­®áâ¨, §­ 祭¨¥ ä㭪樨 ¬¥­ï¥âáï.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

¥£ã«ïà­ ï ¢ ®¡« á⨠D äã­ªæ¨ï f (z) ­ §ë¢ ¥âáï ॣã«ïà­®© ¢¥â¢ìî ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 F (z), ¥á«¨¥ñ §­ 祭¨ï ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ D ᮢ¯ ¤ îâ á ®¤­¨¬ ¨§ §­ 祭¨©F (z) ¢ í⮩ â®çª¥.‚ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ã­ªâ¥ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® §­ 祭¨¥ Ln z =R z dξ= 1 ξ ¢ «î¡®© â®çª¥ ®¤­®á¢ï§­®© ®¡« á⨠¯«®áª®áâ¨, ­¥ ᮤ¥à¦ 饩 ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â â®çª¨ z ¨ ­¥§ ¢¨á¨â ®â ªà¨¢®© γ , ᮥ¤¨­ïî饩 1 ¨ z , â. ¥. äã­ªæ¨ï ¢ í⮩®¡« á⨠ï¥âáï ®¤­®§­ ç­®© ä㭪樥© â®çª¨, â.

¥. ¢ â ª®©®¡« á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì Ln z .…᫨ ¦¥ γ ý®å¢ âë¢ ¥âþ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, â® §­ 祭¨¥ ¬®¦¥â ¬¥­ïâìáï.®ª ¦¥¬, çâ® Ln z ¨¬¥¥â ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: z = 0 ¨ z == ∞.’®çª z = 0 ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ä㭪樨 Ln z .I ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, Ln z = ln |z|+i(arg z0 +∆γ ϕ). ‡ 䨪á¨à㥬ª ª®¥-­¨¡ã¤ì §­ 祭¨¥ à£ã¬¥­â z0 : Ln z0 = ln |z| + i arg z0 ¨®¡®©¤ñ¬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¯® «î¡®© ¯à®á⮩ § ¬ª­ã⮩ ªà¨¢®© γ , ­ ¯à¨¬¥à, ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨. à¨ í⮬ §­ 祭¨¥67 à£ã¬¥­â 㢥«¨ç¨«®áì ­ 2π, , §­ ç¨â, ¨ ¨§¬¥­¨«®áì §­ 祭¨¥Ln z ¢ â®çª¥ z0 .

Ž­® áâ «® à ¢­ë¬ Ln z = ln |z|+i(arg z0 +2π). J’®çª z = ∞ ⮦¥ ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï äã­ªæ¨ïLn z .I ‚ ­ 襬 ¯®á®¡¨¨ z = ∞ ¢á¥£¤ ®á®¡ ï â®çª . ‡ ¬¥â¨¬, çâ®®¡å®¤ z = 0 | íâ® ®¡å®¤ ¨ z = ∞ (⮫쪮 ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®¬­ ¯à ¢«¥­¨¨), â. ª. ¢ ¯«®áª®á⨠­¥â ¤àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª, ¯®â®¬ã ¨ z = ∞ | â®çª ¢¥â¢«¥­¨ï äã­ªæ¨ï Ln z .Jà¨ ®¡å®¤¥ ­¥áª®«ìª® à § ¢ ®¤­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ z = 0 ¨«¨z = ∞ ¬ë ­¨ª®£¤ ­¥ ¢¥à­ñ¬áï ª ­ ç «ì­®¬ã §­ 祭¨î. ’ ª ï â®çª ¢¥â¢«¥­¨ï ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ¡¥áª®­¥ç­®£® ¯®à浪 , ¨«¨ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï.ˆáª«î稬 ¢®§¬®¦­®áâì ®¡å®¤ â®ç¥ª ¢¥â¢«¥­¨ï | ¯à®¢¥¤ñ¬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© à §à¥§, ¨å ᮥ¤¨­ïî騩.’®£¤ R ¢ ¯®«ã稢Rb− y dx襩áï ®¤­®á¢ï§­®© ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ a dϕ = ab x xdy2 +y2§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â â®ç¥ª a, b ¨ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ªà¨¢®©, ¨å ᮥ¤¨­ïîé¨å.â® §­ ç¨â, çâ® ¢ í⮩ ®¡« á⨠∆γ ϕ ­¥ § ¢¨á¨â ®â γ ¨ Ln zà ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨Lnk z = fk (z) = ln |z| + i(ϕ0k + ∆ϕ), k ∈ Z,(2.6)£¤¥ ϕ0k = ϕ0 + 2πk, ϕ0 | ®¤­® ¨§ ¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© à£ã¬¥­â z ¢ â®çª¥ z0 .Š ª ¢¨¤­®, fk (z) ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §­ 祭¨¥¬ à£ã¬¥­â fk (z) ¢ ®¤­®© â®çª¥ | â®çª¥ z0 , ¢¥à­¥¥ §­ 祭¨¥¬ à£ã¬¥­â z0 .

”®à¬ã«ã (1.6) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¨ ¯®-¤à㣮¬ã:fk (z) = ln |z| + i(ϕ0k + ∆ϕ) ⇒fk (z0 ) = ln |z0 | + iϕ0k ⇐⇒ iϕ0k = fk (z0 ) − ln |z0 | ⇒ zfk (z) = ln |z| + fk (z0 ) − ln |z0 | + i∆ϕ = fk (z0 ) + ln + i∆ϕ.z0 zLnk z = fk (z) = fk (z0 ) + ln + i∆ϕ.(2.7)z0…éñ à § ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ®â 0 ¤® ∞¯à¨à 饭¨¥ ∆ϕ ­¥ § ¢¨á¨â ®â γ !68‘ ¬­®£®§­ ç­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ ¯à¨å®¤¨âáï ®¡à é âìáï®ç¥­ì ¢­¨¬ ⥫쭮. ¯à¨¬¥à, ª ª á¢ï§ âì Ln z 2 á Ln z ?‡¤¥áì ­ ¬ ¯®âॡãîâáï ä®à¬ã«ë (1.3).‚ ®â«¨ç¨¥ ®â â ª®© ­¥®¤­®§­ ç­®© á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã à£ã¬¥­â®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¨ à£ã¬¥­â ¬¨ ᮬ­®¦¨â¥«¥©, ¢ ⥮ਨ ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¯à¨à 饭¨ï¬¨ à£ã¬¥­â®¢ ¢¤®«ìªà¨¢®© ®¤­®§­ ç­ :∆ arg(z1 z2 ) = ∆ϕ1 + ∆ϕ2(2.8)¨, ¢ ç áâ­®áâ¨,∆ arg(z 2 ) = 2∆ϕ.(2.9)‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (1.3): arg z02 = 2 arg z0 + 2πk 6=6= 2 arg z0 ¨ ᢮©á⢮¬ ¯à¨à 饭¨© ∆γ arg z 2 = 2∆γ arg z .’®£¤ Ln z 2 = 2 ln |z| + i(arg z02 + 2∆γ ϕ) = 2 ln |z| + i(2 arg z0 ++ 2πk + 2∆γ ϕ), Ln z = ln |z|+i(arg z0 +∆γ ϕ) ⇒ 2 Ln z = 2 ln |z|+i(2 arg z0 +2∆γ ϕ).®í⮬㠢 ®¡é¥¬ á«ãç ¥(2.10)Ln z 2 6= 2 Ln z.“¤®¡­¥© ¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®©Ln z 2 = 2 ln |z| + i(arg z02 + 2∆γ ϕ).(2.11)’¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ¥éñ ®¤­ã ä®à¬ã«ã:(2.12)= 2 arg f (z0 ) + 2πn,Ln f 2 (z) = 2 ln |f (z)| + i(arg f 2 (z0 ) + 2∆γ arg f (z)).Ž¯ïâì § ¬¥ç ¥¬, çâ®, â ª ª ªâ®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,arg f 2 (z0 )2 Ln f (z) 6= Ln f 2 (z).’¥¯¥àì § ¬¥â¨¬, çâ® ¢á¥ ¢¥â¢¨ Ln∗ z ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ®â«¨ç îâáï ­ 2πk, ¯®í⮬ãLn z(Ln∗ z)0 = ⮣¤ ¨(Ln∗ f (z))0 =1,z(2.13)f 0 (z).f (z)(2.14)692.1.3.

”ã­ªæ¨ï z αŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,(2.15)z α = eα Ln z = eα(ln |z|+i(ϕ0 +∆γ ϕ)) = |z|α eαi(ϕ0 +∆γ ϕ) .„ ­® ­®¢®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ á⥯¥­¨. € ­¥ ¨§¬¥­ïâáï «¨ ¯à¨í⮬ ᢮©á⢠¯à¨¢ëç­ëå 楫ëå á⥯¥­¥© z ?2.1.3. ) ”ã­ªæ¨ï z n , n ∈ Z ï¥âáï ®¤­®§­ ç­®©ä㭪樥© ¢ C® ­®¢®¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î, z n = en Ln z = en(ln |z|+i(ϕ0 +∆γ ϕ)) |íâ® ª®¬¯®§¨æ¨ï íªá¯®­¥­âë ¨ ¬­®£®§­ ç­®£® «®£ à¨ä¬ . ®í⮬㠯஢¥à¨¬, ­¥ ïîâáï «¨ â®çª¨ z = 0 ¨ z = ∞ â®çª ¬¨¢¥â¢«¥­¨ï.ãáâì ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, z0n = en(ln |z|+iϕ0 ) .Ž¡®©¤ñ¬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (§­ ç¨â, ¨ z = ∞). ®«ã稬 §­ 祭¨¥ ¯®á«¥ ¢®§¢à 饭¨ï: z0n |∗ = en(ln |z|+i(ϕ0 +2π)) = en(ln |z|+iϕ0 ) == z0n . ”ã­ªæ¨ï ®¤­®§­ ç­ .JI√n2.1.3.

¡) ”ã­ªæ¨ï z ¨¬¥¥â ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï:z = 0 ¨ z = ∞. à®¨§¢®¤­ ï ¢¥â¢¨.√€à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨©ª®à¥­ì n-© á⥯¥­¨, x,√2n2n+1x”ã­ªæ¨ï à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á¯à®¨§¢®«ì­ë¬ à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 â®çª¨ z = 0 ¨ z = ∞.ln |z|+i(ϕ0 +∆γ ϕ)√1Ln znI ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, n z = z n = e n = e=1 iϕ0 i(∆γ ϕ)1 iϕ0√= |z| n e n e n , n z0 = |z0 | n e n .Ž¡®©¤ñ¬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (§­ ç¨â, ¨ z = ∞). ®«ãln |z|+i(ϕ0 +2π)√n稬 §­ 祭¨¥ ¯®á«¥ ¢®§¢à 饭¨ï: n z0 |∗ = e=1 iϕ0 2πi= |z0 | n e n e n ⇒ ¥á«¨ n > 1, â® §­ 祭¨¥ ¨§¬¥­¨«®áì.‘«¥¤®¢ ⥫쭮 z = 0 ¨ z = ∞ | â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï.Ž¡®©¤ñ¬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (§­ ç¨â, ¨ z = ∞) ¥éñà § ¢√⮬ ¦¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¨.

®«ã稬 ¯®á«¥ ¢®§¢à 饭¨ï: n z0 |∗∗ =1 iϕ01 iϕ0 4πi= |z0 | n e n e n 6= |z0 | n e n , ¥á«¨ n > 2. ®á«¥ k -£®, k < n, ®¡√ 2πki√室 ¯®«ã稬 n z0 e n 6= n z0 , ¯®á«¥ n-£® ®¡å®¤ , ª ª ¢¨¤­®,¢¥à­ñ¬áï ª ­ ç «ì­®¬ã §­ 祭¨î.70’ ª ï â®çª ¢¥â¢«¥­¨ï ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ª®­¥ç­®£® ¯®à浪 , ¨«¨ «£¥¡à ¨ç¥áª®© â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï.—â®¡ë ¨áª«îç¨âì ¬­®£®§­ ç­®áâì, ᮥ¤¨­¨¬¯à®¨§¢®«ì√­ë¬ à §à¥§®¬ z = 0 ¨ z = ∞. ’®£¤ äã­ªæ¨ï n z à ᯠ¤ñâáï­ n ®¤­®§­ ç­ëå ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ®â z = 0 ¤® z = ∞ä㭪権 fk (z)pniϕ0kni∆ϕe n , k = 0, 1, . . . , (n − 1)(2.16)√| ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© n z , £¤¥ ϕ0k = ϕ0 + 2πk, ϕ0 | ®¤­® ¨§¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© à£ã¬¥­â z0 .J¥£ã«ïà­ãî ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ®â z = 0 ¤® z = ∞ ¢¥â¢ìfk (z) =|z|e¬®¦­® § ¯¨á âì ¨ ¯®-¤à㣮¬ã:fk (z) =⇐⇒ epniϕ0knpiϕ0kn|z0 |e n ⇐⇒r z i∆ϕfk (z0 )= √⇒ fk (z) = fk (z0 ) n e n ,nz0|z0 |r z i∆ϕfk (z) = fk (z0 ) n e n .(2.17)z0à §à¥§®¬ ®â 0 ¤® ∞ ¯à¨à 饭¨¥ ∆ϕ ­¥ § ¢¨-|z|eiϕ0knei∆ϕn⇒ fk (z0 ) =‚ ¯«®áª®á⨠áá¨â ®â γ ! à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

”®à¬ã« ¬¨ (2.7) ¨ (2.17) ¬ë ¢ ­ 襬 ¯®á®¡¨¨ ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥ ¡ã¤¥¬, ¯à¥¤¯®ç¨â ï ä®à¬ã«ë (2.6) ¨ (2.16).â® ¯®â®¬ã, çâ® ¢¥â¢ì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï,¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ §­ 祭¨¥¬ f (z), §­ 祭¨¥¬ arg z0 . Šà®¬¥â®£®, ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã« (2.6) ¨ (2.16), ­ ­ è ¢§£«ï¤, ¤ ñ⢮§¬®¦­®áâì çñâç¥ ¯®çã¢á⢮¢ âì á ¬ ä ªâ ¢ë¤¥«¥­¨ï¢¥â¢¨.√n¥£ã«ïà­ãî ¢¥â¢ì f0 (z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 z , ®¯à¥¤¥«ñ­­ãî ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ®âà¨æ ⥫쭮© ¯®«ã®á¨,¤«ï√ª®â®à®© f0 (1) = 1, ¨­®£¤ ­ §ë¢ îâ £« ¢­®© ¢¥â¢ìî n z . ‚¥à®ïâ­®, íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ­ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨ f0 (z) ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª®£® ª®à­ï n-®© á⥯¥­¨ ¨§ x:√1f0 (x) = n x = x n , x > 0 ¨ §­ 祭¨ï ª®à­ï çñâ­®© á⥯¥­¨ ¨§ x:√1f0 (x) = 2n x = x 2n , x > 0.à¨ í⮬ ¬®¦­® § ¬¥â¨âì, çâ® f0 (z) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ x << 0 | â ¬ à §à¥§. € ­ ¢¥àå­¥¬ ¨ ­¨¦­¥¬ ¡¥à¥£ å à §à¥§ 71¯à¨­¨¬ ¥â ª®¬¯«¥ªá­ë¥ §­ 祭¨ï. € çâ® á ª®à­¥¬ ­¥çñâ­®© á⥯¥­¨ ¨§ x?1√Š ª ¨§¢¥áâ­®, 2n+1 x ®¯à¥¤¥«ñ­¯à¨ x ∈ R, x 2n+1 ¯à¨ x > 0.√® ­¥â ­¨ ®¤­®©√ ¢¥â¢¨ 2n+1 z , §­ 祭¨ï ª®â®à®© ᮢ¯ «¨ ¡ë ᮧ­ 祭¨ï¬¨ 2n+1 x ­ ¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨.√1ãáâì f∗ (z) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¢¥â¢ì n z = z n .

’®£¤ f0 (z)f∗n (z) = z ⇒ nf∗n−1 (z)f∗0 (z) = 1 ⇐⇒⇐⇒ f∗0 (z) =1nf∗n−1 (z)=1.√nn( z)n−1∗(2.18)‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ í⮬ f∗0 (z) 6= n1 z n −1 .p…᫨ f∗ (z) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¢¥â¢ì n g(z), â®1f∗n (z) = g(z) ⇒ nf∗n−1 (z)f∗0 (z) = g 0 (z) ⇐⇒g 0 (z)g 0 (z)=⇐⇒ f∗0 (z) =pn−1 .nf∗n−1 (z)n n g(z)(2.19)∗√n nz√n nz2.1.3. ¢) ”ã­ªæ¨ï­¥ ¨¬¥¥â â®ç¥ª ¢¥â¢«¥­¨ï.”®à¬ã« ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© nà §«¨ç­ëå ®¤­®§­ ç­ëå ¢ C ä㭪権:, k = 0, 1, ..., (n − 1).fk (z) = ze2πkin√Ln z nln |z|n +i(arg(z n )+n∆γ ϕ)0n® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, n z n = e n = e.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã z0 ∈ C ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ϕ0 | ®¤­® ¨§¢®§¬®¦­ëå §­ 祭¨© à£ã¬¥­â ç¨á« z0n (arg z0n 6= n arg z0 !).ln |z0 |n +i(arg z n )p0n’®£¤ n z0n = e. Ž¡®©¤ñ¬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ âp (§­ ç¨â, ¨ z = ∞). ®«ã稬 §­ 祭¨¥ ¯®á«¥ ¢®§¢à 饭¨ï: n z0n |∗ =ln |z0 |n +i(arg(z n )+2πn)0n=e| ¨á室­®¥ §­ 祭¨¥. à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

…᫨ ¦¥ áç¨â âì, çâ® arg z0n = n arg z0 ,Ln z nln |z |n +i(n arg(z0 ))p= |z0 |ei arg z0 = z0 , â. ¥. íâ®â® n z0n = e n 0 = e 0 n√2πki®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï.  á ¬®¬ ¤¥«¥, ­ ¯à¨¬¥à,p 3 8 = 2e 3 ,k = 0, 1, 2, ᮣ« á­® ⮫쪮 çâ® ¯®«ã祭­®¬ã, n z0n = z0 , â. ¥.√3√38 = 23 = 2.I72ˆâ ª, z = 0 ¨ z = ∞ ­¥ ïîâáï â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥­¨ï. —⮦¥ ¬ë ¯®«ã稫¨?√ln |z|n +i(n arg(z0 )+2πm+n∆ϕ)Ln z nn‡ ¬¥â¨¬, çâ® n2πmizn = e n = e=2πmi= eln |z| ei(arg z0 +∆ϕ) e n = ze n , m = 0, 1, . . . , (n − 1), â. ¥.¯®«ã稫¨ n à §«¨ç­ëå ®¤­®§­ ç­ëå ä㭪権√2πmin nz = ze n , m = 0, 1, .

Характеристики

Список файлов книги