ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.7), £¤¥ äã­ªæ¨ï ⮦¥ ॣã«ïà­ . â® | ¯à®ª®«®â ﮪà¥áâ­®áâì z = ∞, §­ ç¨â, f (z) à §« £ ¥âáï ¢ ­¥© ¢ àï¤ ‹®à ­ ¯® æ¥«ë¬ á⥯¥­ï¬ z . ’¥¯¥àì ¢ë­¥á¥¬ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥az | ⮣¤ ®áâ ¢èãîáï ¤à®¡ì 1 1 ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©1 + az®¡« á⨠¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª á㬬㠡¥áª®­¥ç­® ã¡ë¢ 1:î饩 £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ á® §­ ¬¥­ ⥫¥¬ q = − azX (−1)k111==,1 + azaz 1 + 1ak+1 (z)k+10az∞y|z| >y1.|a|(1.17)4i3iKO(0)0−6 −5 −4 −3 −2 −11|a|K32ixiK110 −iO(0)−2i234xK2−3i−4i−5i−6i¨á. 1.7¨á. 1.823ˆâ ª, äã­ªæ¨ï f (z) = 1 +1 az ¢ à §­ëå ®¡« áâïå C (á¬.1à¨á. 1.7) à §« £ ¥âáï ¢ à §­ë¥ àï¤ë: ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z| < |a|1 < |z| < ∞ ¢ àï¤ ‹®à ­ .¢ àï¤ ’¥©«®à , ¢ ª®«ìæ¥ |a|‡ ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ï f (z) ¨ á㬬 S(z) ¥ñ àï¤ ‹®à ­ ¨«¨’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ z | íâ® à §­ë¥ ä㭪樨: ã ­¨å à §­ë¥®¡« á⨠áãé¥á⢮¢ ­¨ï. â¨ à áá㦤¥­¨ï ­ ¬ ¢áñ ¢à¥¬ï ¡ã¤ã⯮«¥§­ë.ˆâ ª, ¥á«¨ ¤à®¡ì a +1 bz à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢®ªà¥áâ­®á⨠0, â® ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¢ë­®á¨âáï ᢮¡®¤­ë© ç«¥­:1≡ 1 , çâ®¡ë §­ ¬¥­ â¥«ì ¯à®£à¥áᨨ ¡ë« ¯® ¬®a + bzbza 1+ a¤ã«î ¬¥­ìè¥ 1; ¥á«¨ ¦¥ ¤à®¡ì a +1 bz à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ àï¤ ‹®à ­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠∞, â® ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¢ë­®á¨âáï bz : a +1 bz ≡.≡ 1abz 1 +bz‚ ­ è¨å ¯à¨¬¥à å ¯à¨¤ñâáï à ᪫ ¤ë¢ âì ¢ àï¤ ¤à®¡­®à 樮­ «ì­ë¥ ä㭪樨.

“ ¤à®¡¨ ­ ¤® á­ ç « ¢ë¤¥«¨âì 楫ãî ç áâì, § ⥬ ¯à ¢¨«ì­ãî ¤à®¡ì à §«®¦¨âì ­ á㬬ã í«¥¬¥­â à­ëå ¤à®¡¥©, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ (z −c a)n .  §«®¦¥­¨¥¤à®¡¨ (1 +1 z)n ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠0 ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì,¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ¢ n − 1 à § 1 +1 z | ¯®«ãç¨âáï ¨§¢¥áâ­ ïä®à¬ã« ∞∞XX(−n)(−n − 2) . . .(−n − k + 1) k1k k=z , |z| < 1.Cz≡−nk!(1 + z)n00 áᬮâਬ ⥯¥àì ¤®¢®«ì­® ý¯à®â¨¢­ë©þ á â®çª¨ §à¥­¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¢ëç¨á«¥­¨© ¯à¨¬¥à.à¨¬¥à 1.12. ˆáá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ à §«®¦¥­¨ïä㭪樨f (z) =2z 2 (1 − i) + z(13i + 16) + 57i(z − i)(z + 5)(z + 4i)¯® á⥯¥­ï¬ (z + 1 + i).24‚ ¦­® â®, çâ®, §­ ï ­ã«¨ §­ ¬¥­ ⥫ï, ¬ë áà §ã ¬®¦¥¬áª § âì, ¢ ª ª¨å ª®«ìæ å ¨ ¢ ª ª¨¥ àï¤ë ¬®¦¥â ¡ëâì à §«®¦¥­ íâ äã­ªæ¨ï.„«ï í⮣® ­ ­¥áñ¬ ­ ¯«®áª®áâì ­ã«¨ §­ ¬¥­ â¥«ï ¨ ¯à®¢¥¤ñ¬ ®ªà㦭®á⨠á 業â஬ ¢ â®çª¥ z = (−1 − i) (業âॠ¢®§¬®¦­ëå ª®«¥æ ¨«¨ ®ªà¥áâ­®á⥩ à §«®¦¥­¨ï) ¨ ¯à®å®¤ïé¨åç¥à¥§ â®çª¨ | ­ã«¨ §­ ¬¥­ ⥫ï: i, −5, −4i (á¬.

à¨á. 1.8). √®«ã稫®áì | ®¤­ ®ªà¥áâ­®áâì O(−1−i): |z −(−1−i)| < 5¨ âਠª®«ìæ :I√5 < |z − (−1 − i)| < 10,√√K2 : 10 < |z − (−1 − i)| < 17,√K3 : 17 < |z − (−1 − i)| < ∞,K1 :”ã­ªæ¨ï¤à®¡¥©:f (z)√(á¬. à¨á. 1.8)¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë í«¥¬¥­â à­ëåf (z) =acb++.z − i z + 4i z + 5’¥¯¥àì ¬®¦­® ¯®­ïâì, ¢ ª ª¨¥ àï¤ë ­ ¬ ¯à¨¤ñâáï à §« £ âì á« £ ¥¬ë¥.

Ž¡®§­ 稬 ¡ãª¢®© Ti àï¤ ’¥©«®à ¤«ï i-©¤à®¡¨, ¡ãª¢®© Li àï¤ ‹®à ­ ¤«ï i-© ¤à®¡¨.√1) ‚ᥠâਠ¤à®¡¨ ॣã«ïà­ë ¢ O(−1 − i): |z − (−1 − i)| < 5, ¯®â®¬ã ®­¨ à §« £ îâáï ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠¢ àï¤ë ’¥©«®à | ¯®«ã稬 T1 ,√T2 , T3 .√2) ‚ ª®«ìæ¥ K1 : 5 < |z − (−1 − i)| < 10 á¨âã æ¨ï¤à㣠ï.√¥à¢ ï ¤à®¡ì z a− i ॣã«ïୠ㦥 ¢ ª®«ìæ¥ 5 < |z − (−1 −− i)| < ∞, ¯®â®¬ã à §« £ ¥âáï ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ ¢ àï¤ ‹®à ­ ,√®áâ «ì­ë¥ ¤à®¡¨ ॣã«ïà­ë ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨|z−(−1−i)| < √10,√ ¯®â®¬ã à §« £ îâáï ¢ ª®«ìæ¥ K1 : 5 < |z − (−1 − i)| < 10¯®-¯à¥¦­¥¬ã ¢√àï¤ë ’¥©«®à | ¯®«ãç¨âáïL1 , T2 , T3 .√3) ‚ ª®«ìæ¥ K2 : 10 < |z − (−1 − i)| < 17 ¢â®à ï ¤à®¡ì z +c 4i√ॣã«ïୠ㦥 ¢ ª®«ìæ¥ 10 < |z − (−1 − i)| < ∞ ¨ â ¬ à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ‹®à ­ ; âà¥âìï ¤à®¡ì¯®-¯à¥¦­¥¬ã ॣã«ïà­ √¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − (−1 − i)| < 17 ¨ à §« £ ¥âáï â ¬ ¢ à裸¥©«®à | ¯®«ãç¨âáï L1 , L2 , T3 .25√4) ‚ ª®«ìæ¥ K3 : 17 < |z − (−1 − i)| < ∞ ¢á¥ âਠ¤à®¡¨ ॣã«ïà­ë ¨ à §« £ îâáï ¢ àï¤ë ‹®à ­ | ¯®«ãç¨âáï L1 , L2 ,L3 .ï¤ë ¤®«¦­ë ¡ëâì ¯® á⥯¥­ï¬ z − (−1 − i).

‘¤¥« ¥¬, ¤«ï㤮¡á⢠, ¢® ¢á¥å ¤à®¡ïå § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå: t = z − (−1 −− i) ⇐⇒ z = t − 1 − i, çâ®¡ë ¬®¦­® ¡ë«® ¯à¨¬¥­¨âì ä®à¬ã«ë£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ.’®£¤ acbacb++=++,z − i z + 4i z + 5t − 1 − 2i t − 1 + 3i t + 4 − i¨ ¡ã¤¥¬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®¤¨âì à §«®¦¥­¨¥ ä㭪樨 g(t) == t − 1a− 2i + t − 1c+ 3i + t + b4 − i ¯® á⥯¥­ï¬ t ¢ àï¤ë ’¥©«®à f (z) =¨«¨ ‹®à ­ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡« áâïå.®í⮬㯮«ã稬 á«¥¤ãî騥 à §«®¦¥­¨ï.√1) |t| < 5 ⇒ T1 , T2 , T3 ⇒2)3)tk(−1)k bac−k+1 −k+1 +(1 + 2i)(1 − 3i)(4 − i)k+1∞ a(1 + 2i)k + c(1 − 3i)k √P√, 10 < |t| < 17.tk+1√K3 : 17 < |t| < ∞ ⇒ L1 , L2 , L3 ⇒∞ a(1 + 2i)k + c(1 − 3i)k + b(−1)k (4 − i)kP⇒ g(t) =,tk+10√17 < |t| < ∞.+4)!√⇒ g(t) =, |t|< 5.0√√K1 : 5 < |t| < 10 ⇒ L1 , T2 , T3 ⇒!∞∞ (1 + 2i)kPP(−1)k bc⇒ g(t) = tk −+,k+1k+1 + a(1 − 3i)(4 − i)tk+100√√5 < |t| < 10.k k∞√√b P (−1) t +K2 : 10 < |t| < 17 ⇒ L1 , L2 , T3 ⇒ g(t) = 4 −ki∞P0(4 − i)0JŽ¤­ ª® ®¡ëç­® § ¤ ç ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¯®-¤à㣮¬ã, ¡®«¥¥ª®­ªà¥â­®.

„«ï ã¯à®é¥­¨ï ¢ëª« ¤®ª ¬ë à áᬮâਬ âã ¦¥á ¬ãî äã­ªæ¨î.à¨¬¥à 1.13.  §«®¦¨âì äã­ªæ¨îf (z) =262z 2 (1 − i) + z(13i + 16) + 57i(z − i)(z + 5)(z + 4i)¯® á⥯¥­ï¬ z − (−1 − i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = 2 + i. “ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.I ƒà ­¨æë ª®«ìæ á室¨¬®á⨠S(z) ª f (z) ¬®¦­® 㪠§ âìáà §ã, ª ª ⮫쪮 ¢ëïá­¨âáï, ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ª ª¨å í«¥¬¥­â à­ëå ¤à®¡¥© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï § ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ï. ¨áãîâáï ¢á¥¢®§¬®¦­ë¥ ª®«ìæ . ‡ ⥬ ¢ëç¨á«ï¥âáï à ááâ®ï­¨¥ ®â z0 ¤®æ¥­âà ª®«¥æ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ¢ ª ª®¬ ª®«ìæ¥ ­ 室¨âáï z0 (á¬.à¨á.

1.8).√√’®çª z0 = 2 + i ­ 室¨âáï ¢√K2 : 10 < |z − (−1 − i) < 17,â. ª. |2 + i − (−1 − i)| = |3 + 2i| = 13.Žáâ «®áì ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­âë a, b, c. 稭 ¥¬ à ¡®â âì.  ᪫ ¤ë¢ âì ¯à®áïâ ¯® á⥯¥­ï¬ z −− (−1 − i), ­®, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì «¨è­¨å à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®è¨¡®ª, ­¥ ­ ¤® ¤¥« âì § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå ¤® ⮣®, ª ª à §«®¦¨¬§ ¤ ­­ãî äã­ªæ¨î ­ á㬬ã í«¥¬¥­â à­ëå ¤à®¡¥©,®í⮬ã2z 2 (1 − i) + z(13i + 16) + 57iabc=++=z − i z + 5 z + 4i(z − i)(z + 5)(z + 4i)a(z + 5)(z + 4i) + b(z − i)(z + 4i) + c(z − i)(z + 5)=.(z − i)(z + 5)(z + 4i)€ ¢®â ⥯¥àì ¢­¨¬ ­¨¥ | ¬ë ­¥ ¡ã¤¥¬ à áªàë¢ âì ᪮¡ª¨, ¡ã¤¥¬ ¯à¨à ¢­¨¢ âì ç¨á«¨â¥«¨, ¯®¤áâ ¢¨¢ z = zi , ïî騬¨áï ª®à­ï¬¨ §­ ¬¥­ ⥫ï. à¨ í⮬ ¢á¥£¤ , ¡¥§ ¢á类©á¨á⥬ë, áà §ã ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ª®íää¨æ¨¥­â ⮩ ¤à®¡¨, 㪮â®à®© ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ á⮨â z − zi , ç¨á«¨â¥«¨ ã ®áâ «ì­ëå¤à®¡¥© ®¡à âïâáï ¢ 0.1) z = i: −2(1 − i) + i(13i + 16) + 57i = a(5 + i)5i ⇐⇒ a = 3;2) z = −4i: −32(1 − i) − 4i(13i + 16) + 57i = c(−5i)(−4i + 5) ⇐⇒⇐⇒ c = −1;3) z = −5: b(−5 − i)(−5 + 4i) = 50(1 − i) − 5(13i + 16) + 57i ⇐⇒⇐⇒ b = −2i.ˆâ ª, § ¯¨è¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë í«¥¬¥­â à­ëå¤à®¡¥© ¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ­ ©¤¥­­®¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥27à §«®¦¥­¨¥¬ ¢ àï¤ ‹®à ­ ¢ ª®«ìæ¥ K2 :312i−−=z − i z + 4i z + 5∞∞X(−1)k (z + 1 + i)k X 3(1 + 2i)k − (1 − 3i)k= −2i+,(4 − i)k+1(z + 1 + i)k+100√√10 < |(z + 1 + i)| < 17.f (z) =Žâ¢¥â.f (z) = −2i∞X(−1)k (z + 1 + i)k0(4 − i)k+1+∞X3(1 + 2i)k − (1 − 3i)k0√(z + 1 + i)k+1,√10 < |(z + 1 + i)| < 17.Jà¨¬¥à 1.14.

 §«®¦¨â¥ äã­ªæ¨îz(4 + i) + 12i + 33z(i − 1) + 6+ 2z 2 + 2iz + 15z + z(1 − 3i) − 3i¢ àï¤ ‹®à ­ ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨ââ®çª z = 1 + 2i. “ª ¦¨â¥ £à ­¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.I  §«®¦¨¬ ª ¦¤®¥ á« £ ¥¬®¥ f (z) ¢ á㬬ã í«¥¬¥­â à­ëåf (z) =¤à®¡¥©. „«ï í⮣®, ­¥ à áªàë¢ ï ᪮¡®ª, ¯à¨à ¢­¨¢ ¥¬ ç¨á«¨â¥«¨ ¯à¨ §­ 祭¨ïå zk , à ¢­ëå ª®à­ï¬ §­ ¬¥­ ⥫ï | ¯à¨í⮬ áà §ã, ¡¥§ ¢á类© á¨á⥬ë, ®¯à¥¤¥«¨âáï ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨¤à®¡¨, §­ ¬¥­ â¥«ì ª®â®à®© à ¢¥­ z − zk :+ 12i + 3a(z + 5i) + b(z − 3i)= z −a 3i + z +b 5i =1) z(4z 2++i)2iz⇒(z − 3i)(z + 5i)+ 15z = −5i: −5i(4 + i) + 12i + 3 = −8ib ⇐⇒ b = 1 + i;z = 3i: 3i(4 + i) + 12i + 3 = 8ai ⇐⇒ a = 3;z(4 + i) + 12i + 3i;= z −3 3i + z1++5iz 2 + 2iz + 152)3z(i − 1) + 6a + b = a(z − 3i) + b(z + 1) ⇒= z+1z − 3iz 2 + z(1 − 3i) − 3iz 2 + z(1 − 3i) − 3iz − 3i = 0: 9i(i − 1) + 6 = b(3i + 1) ⇐⇒ b = −3;z = −1: −3(i − 1) + 6 = −a(1 + 3i) ⇐⇒ a = 3i ⇒3z(i − 1) + 63= z 3i+ 1 − z − 3i .z 2 + z(1 − 3i) − 3i®í⮬ãf (z) =281+i3i+,z + 5i z + 1z 6= 3i.ˆâ ª, ã ­ á ®¤­ ®ªà¥áâ­®áâì ¨¤¢ ª®«ìæ (á¬.√ à¨á.

1.9). ’ ª ª ª1 < |1 + 2i| = 5 < 5, â® § ¤ ­­ ïâ®çª ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª®«ìæã 1 << |z| < 5, ¢ ª®â®à®¬ ¨ à ᪫ ¤ë¢ ¥¬ äã­ªæ¨î:f (z) =yK−5−11+i3i+ =z5i 1 + 5iz 1 + z1= (1+i)∞X(−1)k z k0Žâ¢¥â.015x¨á. 1.9∞X(−1)k+3i,(5i)k+1z k+101 < |z| < 5, z =6 3i.∞ (−1)k z k∞ (−1)kPPf (z) = (1 + i)k+1 + 3ik+1 , 1 < |z| < 5,0z 6= 3i.(5i)0zJ1.4.2.

ï¤ ‹®à ­ ¤«ï ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¢®ªà¥áâ­®á⨠∞•®à®è® ¨§¢¥áâ­®, çâ® àï¤ ’¥©«®à ¢ 0 ¤«ï ez ¨¬¥¥â ¢¨¤∞Xznze =0n!,(1.18)|z| < ∞.ï¤ á室¨âáï ¢ ªà㣥 «î¡®£® à ¤¨ãá á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â.€ ⥯¥àì ¯à®áâ® ¯®á¬®âਬ ­ à ¢¥­á⢮ (1.18).‚¨¤­®, çâ® äã­ªæ¨ï ez ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë á⥯¥­­®£® àï¤ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞. ‚ᯮ¬­¨¢ ⥮६㮠¥¤¨­á⢥­­®áâ¨ à §«®¦¥­¨ï ä㭪樨 ¢ àï¤ ‹®à ­ , ¯®­¨¬ ¥¬, çâ® àï¤∞Xzn0n!,|z| < ∞ª ª à § ¨ ï¥âáï à冷¬ ‹®à ­ ä㭪樨®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞.€­ «®£¨ç­®, àï¤ë ’¥©«®à ¢ 0 ¤«ïsin z,cos z,ch z,ez¢ ¯à®ª®«®â®©sh z29ïîâáï àï¤ ¬¨ ‹®à ­ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨z = ∞.ˆâ ª, àï¤ë ‹®à ­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞.ez =cos z =∞Xzn,n!n=0∞X(−1)k z 2k, |z| < ∞,(2k)!k=0ch z =∞Xz 2k, |z| < ∞,(2k)!k=0§ 1.5.|z| < ∞,sin z =sh z =∞X(−1)k z 2k+1, |z| < ∞,(2k + 1)!k=0∞Xz 2k+1, |z| < ∞(2k + 1)!k=0Žá®¡ë¥ â®çª¨ ॣã«ïà­ëå ä㭪権Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

’®çª z = a ∈ C ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®©®á®¡®© â®çª®© ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à ä㭪樨 f (z), ¥á«¨ f (z)ॣã«ïà­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = a ∈∈ C, ­® ­¥ ॣã«ïà­ ¢ á ¬®© â®çª¥.1.5.1. Š« áá¨ä¨ª æ¨ï ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ªãáâì äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ­®á⨠0 < |z − z0 | < ρ, ¥á«¨ z0 ∈ C, ¨«¨ f (z) ॣã«ïà­ ¢­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠z0 = ∞: R < |z| < ∞.‚ ᨫã ⥮६ë, f (z) à §« £ ¥âáï ¢ íâ¨å ¯à®ª®«®âë宪à¥áâ­®áâïå ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 àï¤ë ‹®à ­ .’®£¤ â ª ª« áá¨ä¨æ¨àãîâáï ®á®¡ë¥ â®çª¨.1.

…᫨ z→zlim f (z) = A ∈ C, â® z0 ­ §ë¢ ¥âáï ãáâà ­¨¬®© ®á®0¡®© â®çª®© (“Ž’).â® à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® àï¤ ‹®à ­ ­¥ ᮤ¥à¦¨â£« ¢­®© ç áâ¨:∞P ) ¥á«¨ z0 ∈ C, â® f (z) = ak (z − z0 )k , 0 < |z − z0 | < ρ;0∞P¡) ¥á«¨ z = ∞, â® f (z) = a0 + az kk , R < |z| < ∞.1 ¯à¨¬¥à, ) f (z) = sinz z ⇒ lim sinz z = 1 ⇒ z = 0 | “Ž’,z→030¡) f (z) = cos z1 ⇒ z→∞lim cos z1 = 1 ⇒ z = ∞ | “Ž’.2. …᫨ z→zlim f (z) = ∞, â® z0 ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«îᮬ ().0â® à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® £« ¢­ ï ç áâì àï¤ ‹®à ­ ᮤ¥à¦¨â ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® á« £ ¥¬ëå.à¨ í⮬ ®á®¡ ï â®çª ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«îᮬ ¯®à浪 k (Š), ¥á«¨1) £« ¢­ ï ç áâì ᮤ¥à¦¨â ­¥ ¡®«¥¥ k á« £ ¥¬ëå ¨2) ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ (z −1z )k ®â«¨ç¥­ ®â 0, ¥á«¨ z0 ∈ C,03) ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z k ®â«¨ç¥­ ®â 0, ¥á«¨ z0 = ∞.à¨ í⮬, ) ¥á«¨z 0 ∈ C,â®f (z) =ak 6= 0, 0 < |z − z0 | < ρ;¡) ¥á«¨z = ∞,â®f (z) =R < |z| < ∞.∞P0an (z − z0 )n +kP1am,(z − z0 )m∞kPPanam z m , ak 6= 0,n +0(z)1®à冷ª ¯®«îá ¨­®£¤ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨ ­¥ à §« £ ï äã­ªæ¨î ¢ àï¤ ‹®à ­ .â® ¬®¦­® ᤥ« âì, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ϕ(z)f (z) =, £¤¥ ϕ(z) ¨¬¥¥â 0 ¯®à浪 m, ψ(z) ¨¬¥¥â 0 ¯®ψ(z0 )à浪 m + k, â® f (z) ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ¯®«îá ¯®à浪 k.¥£ã«ïà­ ï äã­ªæ¨ï g(z) ¢ â®çª¥ z = a ¨¬¥¥â 0 ¯®à浪 n, ¥á«¨g(a) = 0,g 0 (a) = 0,...,g (n−1) (a) = 0,g (n) (a) 6= 0. ¯à¨¬¥à, )¡)¢)∞ k∞−1 Pz−1z = e−1 + e−1 + e−1 P z k−2 , 0 <f (z) = e 2 = e 22zzz 0 k!z2 k!< |z| < ∞ ⇒ z = 0 | ¯®«îá 2-£® ¯®à浪 (2),z = 0 | 1,f (z) = 3z 3 − 4z + 16⇒zz = ∞ | 3,f (z) = 1 +1ch z ⇒ z = 0 | 2, â.

Характеристики

Список файлов книги