ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ª. (1 + ch z)0n=0 == sh 0 = 0, (1 + ch z)00z=0 = ch 0 6= 0.313. ᫨ z→zlim f (z) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® z0 | áãé¥á⢥® ®á®¡ ï0â®çª (). â® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® àï¤ ®à ᮤ¥à¦¨â ¢ £« ¢®© ç á⨠¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® á« £ ¥¬ëå. ¯à¨¬¥à, +∞, z → +∞;⇒ z = ∞ | , ¨«¨, ) f (z) = ez → 0,z → −∞∞Pâ. ª. f (z) = ez = a0 + ak z k , |z| < ∞ | £« ¢ ï ç áâì1ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®¥ç® ¬®£® á« £ ¥¬ëå ⇒ z = ∞ |.¡) f (z) = cos z1 ⇒ lim cos z1 ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ⇒ z = 0 |z→0.1.5.2. z = ∞ | ¢á¥£¤ ®á®¡ ï â®çª ¢ C ª ª ª R-®ªà¥áâ®áâìî â®çª¨ z = ∞ §ë¢ ¥âáï ¢¥è®áâì ®ªà㦮áâ¨ à ¤¨ãá R á æ¥â஬ ¢ «î¡®© â®çª¥ a: |z −−a| > R, R > 0, â® ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ z = ∞ ¢á¥£¤ ¯à®ª®«®â ï,¨«¨ ª®«ìæ®, ¨¡® ¨ª ª ï äãªæ¨ï f (z) ¥ ®¯à¥¤¥«¥ ¢ í⮩ýâ®çª¥þ, ¬®¦¥â «¨èì ¨¬¥âì ¨«¨ ¥ ¨¬¥âì ¯à¥¤¥« ¯à¨ z → ∞.®í⮬ã â®çªã z = ∞ ¡ã¤¥¬ ¢á¥£¤ áç¨â âì ®á®¡®©.
â® ®¯à ¢¤ë¢ ¥âáï ¨ ⥬, çâ®, ¥á«¨ ¢ ®¡« á⨠D ∈ C 室ïâáï ⮫쪮ãáâà ¨¬ë¥®á®¡ë¥ â®çª¨, â® à ¡®â ¥â ¨â¥£à «ì ï ⥮६ R⮫쪮®è¨: ∂D f (z) dz = 0. ᫨ ¦¥ D ∈ C ¨ ᮤ¥à¦¨âRãáâà ¨¬ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨, á।¨ ª®â®àëå z = ∞, â® ∂D f (z) dz¬®¦¥â ¡ëâì ª ª à ¢¥ 0, â ª ¨ ®â«¨ç¥ ®â 0 | à ¡®â ¥â â ª §ë¢ ¥¬ ï ⥮६ ® ¢ëç¥â å : ¢ëç¥â ¢ z = ∞, ¥á«¨ ¤ ¦¥íâ® , ¬®¦¥â ¡ëâì ®â«¨ç¥ ®â 0. «¨, ¯à¨¬¥à, ¯à®áâ® z = 10eiϕ , - dzR0¯®áç¨â ¥¬z = dz = 10eiϕ i dϕ = i 2π dϕ = −2πi 6= 0,|z|=10¥á¬®âàï â®, çâ® ã ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨ â®çª z = ∞ãáâà ¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª .â ª, ¢ 襬 ¯®á®¡¨¨ z = ∞ | ¢á¥£¤ ®á®¡ ï â®çª . à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥ 1. ª ª ª ®ªà¥áâ®áâì z = ∞ ¢á¥£¤ ¯à®ª®«®â ï, â® á«®¢® ý¯à®ª®«®â ïþ ®¡ëç® ®¯ã᪠îâ. à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥ 2.
¦¥ ¨§¢¥áâ®, çâ® ez , sin z , cos z ,32ch z , sh z ॣã«ïàë¥ ¢® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠äãªæ¨¨, à §« £ îâáï¢ àï¤ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠«î¡®© â®çª¨ a ∈ C, ¨¬¥îâ ¯à¨í⮬ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠R = ∞. ãªæ¨¨ ex , sin x, cos x, ch x,sh x | íâ® ýá«¥¤þ äãªæ¨© ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ᫨ a ∈ C, â® ªà㣠|z − a| < ∞, ¢ ª®â®à®¬ á室ïâáï àï¤ë¥©«®à ¤«ï ez , sin z , cos z , ch z , sh z , ᮤ¥à¦¨â ¯à®¬¥¦ã⮪|x − a| < ∞, ¢ ª®â®à®¬ ª ª à § ¨ á室ïâáï àï¤ë ¥©«®à ¤«ïex , sin x, cos x, ch x, sh x, ª ª á«¥¤ à冷¢ ¥©«®à ¤«ï ez , sin z ,cos z , ch z , sh z .¯à¥¤¥«¥¨¥.
᫨ ¢ «î¡®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ z0 ∈ C¨«¨ z0 = ∞ 室¨âáï, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®¤ ®á®¡ ï â®çª ,®â«¨ç ï ®â z0 , â® z0 ï¥âáï ¨ §ë¢ ¥âáï ¥¨§®«¨à®¢ ®©®á®¡®© â®çª®© ().à®á⥩訥 ¯à¨¬¥àë.1) f (z) = 1 + 1cos z . á®, çâ® â®çª¨, £¤¥ 1 + cos z = 0, ®á®¡ë¥. ©¤ñ¬ ¨å:1 + cos z = 0 ⇐⇒ zk = π + 2πk, k ∈ Z,1= ∞ ⇒ zk = π + 2πk | ¯®«îá.limz→zk 1 + cos z ª®£® ¯®à浪 ? ç¥ì ç áâë© ®â¢¥â | ¯¥à¢®£®. ® í⮥ â ª, ¯®â®¬ã çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå, 1 + cos zk = 0, (1 + cos z)0zk == − sin zk = 0, (1 + cos z)00zk 6= 0, | ¯®í⮬㠯®«îá 2-£® ¯®à浪 ., ¢®-¢â®àëå, ¨§ 誮«ì®© âਣ®®¬¥âਨ ¨§¢¥áâ®(¯à ¢¤ , ¤«ï 1+cos 2x, ® ¬ë § ¥¬, çâ® í⨠ä®à¬ã«ë ¢¥àë¨ ¤«ï z ), çâ® 1 + cos z = 2 cos2 z2 , â. ¥.
§¤¥áì 0 ¢â®à®£® ¯®à浪 ! ¬¥ç ¥¬ áà §ã, çâ® zk −→ ∞. â® § ç¨â, çâ® z = ∞k→∞| ¥¨§®«¨à®¢ ï ®á®¡ ï â®çª (), ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥¯à¥¤¥«ì ï â®çª ¯®«îᮢ.12) f (z) = e e1/z +1 . á®, çâ® â®çª¨, £¤¥ e1/z + 1 = 0 ⇐⇒ z1k =1= i(π + 2πk), k ∈ Z ⇒ zk =| ®á®¡ë¥. ª ª ªi(π + 2πk)331−→ ∞,e1/z + 1 z→zk eξ ¯à¨ ξ → ∞ ¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« , â® zk |áãé¥á⢥® ®á®¡ ï â®çª ().¨¤®, çâ® zk = i(π +12πk) −→ 0. ç¨â, z = 0 | ¥k→∞¨§®«¨à®¢ ï ®á®¡ ï â®çª (), ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¯à¥¤¥«ì ï â®çª áãé¥á⢥® ®á®¡ëå â®ç¥ª.ਬ¥à 1.15. ©¤¨â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨f (z) =etg πz sin 2πz3(2z + 1)(ez + 1)¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥ ¨å ⨯.I ०¤¥ ¢á¥£® ¤® ¯¥à¥¯¨á âì äãªæ¨î ¢ ¤à㣮¬ ¢¨¤¥e cos πz sin 2πz3,f (z) =z(2z + 1)(e + 1)sin πzâ.
ª. tg z ¥ ï¥âáï á ¬®áâ®ï⥫쮩 äãªæ¨¥©, íâ® ç á⮥¤¢ãå ª« áá¨ç¥áª¨å (¨ ç¥ ¥ª®â®àë¥ â¥àïîâ â®çª¨, £¤¥ § ¬¥ ⥫ì à ¢¥ 0). â ª¨å ¯à¨¬¥à å ¢ ¦® § âì, ¢ ª ª®¬ ¯®à浪¥ ¢¥á⨠¨áá«¥¤®¢ ¨¥. ¨ª®£¤ ¥ ¤® ç¨ âì á ®á®¡ëå â®ç¥ª ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ ⥫ï.1. ç « ¢ë¯¨áë¢ ¥¬ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ç¨á«¨â¥«ï: cos πz == 0 , z = ∞.2. 믨áë¢ ¥¬ ®á®¡ë¥ â®çª¨ § ¬¥ ⥫ï | í⮠⮫쪮 ç⮢믨á ï â®çª z = ∞.¥¯¥àì ¢ ¦® ¯®ïâì, çâ® ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® f (z),¯® ⥮६¥ ® ॣã«ïà®á⨠¤à®¡¨, ॣã«ïà ¢áî¤ã ¢ C,ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, â®ç¥ª, £¤¥ § ¬¥ â¥«ì ®¡à é ¥âáï¢ 0.3. â® â®çª¨: z = − 12 , ez +1 = 0.
¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®,çâ® íâ® â®çª¨ ॣã«ïà®á⨠§ ¬¥ ⥫ï, ª®â®àë¥ ¬®£ã⮪ § âìáï ®á®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ¤à®¡¨.믨襬 ᯨ᮪ ýª ¤¨¤ ⮢þ ¢ ®á®¡ë¥ â®çª¨, ®¤®¢à¥¬¥® à¥è ï ¢®§¨ª î騥 ãà ¢¥¨ï:1) z = ∞,2) cos πz = 0 ⇐⇒ z = 12 + k, k ∈ Z.34®ç¥ª ¡¥áª®¥ç® ¬®£® | ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì zk = 12 ++k −→ ∞ ⇒ ¢ «î¡®© ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞ 室¨âáï ¡¥áª®¥ç®k→∞¬®£® ®á®¡ëå â®ç¥ª, â. ¥. ¬ë ý¡¥á¯« â®þ ¯®«ãç ¥¬ ®â¢¥â ¤«ï¯ãªâ 1).1) z = ∞ | ¥¨§®«¨à®¢ ï ®á®¡ ï â®çª | (¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¬®¦® ãâ®ç¨âì, ª ª¨¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ª ¯«¨¢ îâáï¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞).3) z = − 12 .4) ez + 1 = 0 ⇐⇒ ez = −1 ⇐⇒ zk = i(π + 2πk) −→ ∞, k ∈ Zk→∞| ®¯ïâì ¯®«ã稫¨, çâ® z = ∞ | . 祣® ç âì ¨áá«¥¤®¢ ¨¥?®á«¥ 宦¤¥¨ï ýª ¤¨¤ ⮢þ ¢ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¢ë¯¨áë¢ ¥¬ ¥¨§®«¨à®¢ ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¨ ç¨ ¥¬ à áᬠâਢ âì ¨§®«¨à®¢ ë¥.
¤®¡¥¥ ¢á¥£® ç áâ® ¡ë¢ ¥â ç âì á â®ç¥ª ॣã«ïà®á⨠§ ¬¥ ⥫ï, ¢ ª®â®àëå ® ®¡à é ¥âáï ¢ 0.4) z = i(π + 2πk), k ∈ Z. çñ¬ á 4) (¬®¦® ¡ë«® ¨ 3)). ¤® ¯à®¢¥à¨âì, ¥ ïîâáï «¨ í⨠â®çª¨ ®á®¡ë¬¨ ¤«ïª ª¨å-¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¥© ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ â¥«ï ¨«¨ ¥®¡à é îâáï «¨ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¨ ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ â¥«ï ¢ 0 ¢ íâ¨å â®çª å. 襬 á«ãç ¥ ïá®, çâ® ¥â.®í⮬ã â®çª¨ zk = i(π + 2πk) | íâ® ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 ,â. ª. (ez + 1)0 = ez 6= 0.3) ®çª z = − 12 . ஢¥à塞, ¥ ï¥âáï «¨ íâ â®çª ®á®¡®© ¤«ï ª ª¨å-¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¥© ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ ⥫飼¨ ¥ ®¡à é îâáï «¨ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¨ ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨§ ¬¥ â¥«ï ¢ 0 ¢ í⮩ â®çª¥. 襬 á«ãç ¥ ¯à¨ k = −1 íâ â®çª ᮢ¯ ¤ ¥â á ®á®¡®© â®çª®© ç¨á«¨â¥«ï, â. ª.
cos − 12 π == 0. ¨á«¨â¥«ì ¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« , § ¬¥ â¥«ì ®¡à é ¥âáï¢ 0. ëïá¨âì, çâ® ¯à®¨á室¨â á ¤à®¡ìî ¬®¦®, ¯à¨¬¥à,®¤¨¬ ¨§ ¤¢ãå á«¥¤ãîé¨å ᯮᮡ®¢. ) ®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥬, çâ®, ¥á«¨ a ∈ C ¨ ï¥âáï ¤«ï f (z) ¨ ¯®«îᮬ ¤«ï g(z), â® a ∈ C | ¤«ï f (z)g(z).35¡) ®¦® ¯®ª § âì ý¢ «®¡þ, çâ® ¤à®¡ì ¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« .¤®¡® ᤥ« âì § ¬¥ã z + 12 = t ⇐⇒ z = t − 12 . ®£¤ (()2π t − 121) sin1ee sin πt sin π3e− πt3f (z) =∼−.∼A11t2t e− 2 + 12t e(t− 2 ) + 1k∞− 1P1 ª ª ª A e tπt = At k!1 − πt¨ £« ¢ ï ç áâì ᮤ¥à¦¨âsin π t− 12cos π t− 120¡¥áª®¥ç® ¬®£® á« £ ¥¬ëå, t = 0 | .®í⮬ã z = − 12 | áãé¥á⢥® ®á®¡ ï â®çª ().2) ®çª¨ z = 12 + k, k ∈ Z ⇐⇒ zk = 12 + k −→ ∞.k→∞®-¯¥à¢ëå, ¨ í⨠â®çª¨ ᪠¯«¨¢ îâáï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞.஢¥à塞, ¥ ïîâáï «¨ í⨠â®çª¨ ®á®¡ë¬¨ ¤«ï ª ª¨å¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¥© ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ â¥«ï ¨«¨ ¥ ®¡à é îâáï «¨ ª ª¨¥-¨¡ã¤ì ¬®¦¨â¥«¨ ç¨á«¨â¥«ï ¨«¨ § ¬¥ â¥«ï ¢ 0 ¢ íâ¨å â®çª å.2πzý®¤®§à¥¨¥þ ¢ë§ë¢ ¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ sin 2πz3 : sin 3 = 0 ⇐⇒3⇐⇒ 2πz3 = πn ⇐⇒ z = 2 n, n ∈ Z.à ¢¨¬ ¨å á â®çª ¬¨ zk = 21 + k:31n = + k ⇐⇒ 3n − 1 = 2k ⇒ n = 2m + 1 ⇒22⇒ 3(2m + 1) − 1 = 2k ⇐⇒ k = 3m + 1.ã ¢®â! ¡é¨¥ â®çª¨!®í⮬ã ) zk = 12 + k, k 6= −1, k 6= 3m + 1 | , â.
ª. ç¨á«¨â¥«ì ¯à¥¤¥« ¥ ¨¬¥¥â, ®áâ «ìë¥ ¬®¦¨â¥«¨ ®£à ¨ç¥ë ¨ ®â«¨çë ®â 0.¡) ãáâì ⥯¥àì zm = 12 +3m+1. ¤®¡® ᤥ« âì § ¬¥ã¯¥à¥¬¥ëå z −1 + 3m + 1 = t.2®£¤ e cos πz sin 2πz13f (z) =∼ Ae− πt t ⇒z(2z + 1)(e + 1)sin πz36⇒ zm = 12 + 3m + 1 | ⮦¥ .⢥â. 1) z = ∞ | , ¯à¥¤¥«ì ïâ®çª ¯®«îᮢ ¨áãé¥á⢥® ®á®¡ëå â®ç¥ª,2) zn = 12 + k, k ∈ Z | .3) zn = i(π + 2πk), k ∈ Z | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 .Jਬ¥à 1.16. ©¤¨â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨ f (z) =e (πz + π + 1)=¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥ ¨å ⨯.11ch z1 + cos z + 1믨襬 ýª ¤¨¤ ⮢þ ¢ ®á®¡ë¥ â®çª¨.
¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬®ä®à¬«ïâì ¯® á奬¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , ® ¡®«¥¥ ªà ⪮.1) z = ∞;2) ch z = 0 ⇐⇒ cos iz = 0 ⇐⇒ iz = π2 + πk ⇐⇒ zk =I3)= πi − 12 + k −→ ∞ ⇒ z = ∞ | , k ∈ Z;k→∞1 = 0 ⇐⇒11 + cos z +1z + 1 = π + 2πk ⇐⇒ zk =1−π(2k + 1)| .¨¤¨â¥? ® 室ã à¥è¥¨ï í«¥¬¥â àëå ãà ¢¥¨© ¬ë®¯à¥¤¥«¨«¨ â¨¯ë ¤¢ãå ®á®¡ëå â®ç¥ª: z = ∞ ¨ z = −1.
¤ |®á®¡ ï â®çª ç¨á«¨â¥«ï, ¤à㣠ï | ®á®¡ ï â®çª § ¬¥ ⥫ï. ᫨ ¡ë ç «¨ á ¨å, â® ¢¥àïª ¡ë § ¯ãâ «¨áì!áá«¥¤ã¥¬®áâ «ìë¥.12) zk = πi − 2 + k | (§ ç¥¨ï ¢á¥å ®áâ «ìëå äãªæ¨©¤à®¡¨ ∈ C ¨ ¥ à ¢® 0),3) zk = π(2k1+ 1) − 1. ¬¥â¨¬, çâ® πz + π + 1 = 0 ⇐⇒ z = −1 −− π1 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â k = −1. ®í⮬ã,1 − 1 | ¯®«îá (¢¨¬ ¨¥!) 2-£® ) ¥á«¨ k 6= −1, â® zk = πk¯®à浪 .®ç¥¬ã 2-£® ¯®à浪 ?®-¯¥à¢ëå, ¯®â®¬ã, çâ® ¯¥à¢ ï ¯à®¨§¢®¤ ï 1 +1 à ¢ 0, ¯®â®¬ã çâ® â ¬, £¤¥ ª®á¨ãá à ¢¥+ cos z +1−1, á¨ãá à ¢¥ 0, ¢â®à ï ®â«¨ç ®â 0 (¯à®¢¥àìâ¥).®-¢â®àëå, ¯® ä®à¬ã« ¬ 誮«ì®© âਣ®®¬¥âਨ1 = 2 cos211 + cos z +, íâ® ®«ì 2-£® ¯®à浪 !12(z + 1)− 1 −→ −1 ⇒ z = −1k→∞37¡) ¥á«¨ k = −1, â® z = −1− π1 | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 , â.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
