ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . + + . . . = e − 1 ⇒ res= 1 − e,z=∞ z(z 2016 − 1)2! 3!k!¨ ¯®«ã稬⢥â.2πi(e − 1). à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ¥ ¢á¥£¤ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ¢ëç¥â ¢ ¯®«ãç ¥âáï â ª®© § ª®¬ë© àï¤.â®à®© ᯮᮡ.®¯ëâ ¥¬áï¢áñ ¦¥ ¯®áç¨â âì2016 ¢ëç¥â®¢ ¢ ¯®«îá å.zzee1) res z(z 2016 − 1) = lim z 2016 − 1 = −1.2016z=02)2016z→020162016ezez ke .res== 2016zk 2016zk2015z=zk z(z 2016 − 1)®â íâ® ¤ ! ëç¥âë ¢® ¢á¥å 2016 â®çª å ®¤¨ ª®¢ë!®í⮬ã,|z|=2eze dz=2πi−1+2016·= 2πi(e − 1).2016z(z 2016 − 1)⢥â.20162πi(e − 1).ਬ¥à 1.22. ëç¨á«¨â¥I ©¤ñ¬ ®á®¡ë¥ â®çª¨:2 sinJ,|z|= 12z + π2dz .1 −12 sin 3z1π1− 1 = 0 ⇐⇒= (−1)k + πk ⇐⇒3z3z62⇐⇒ zk =−→ 0,π((−1)k + 6k) k→∞k ∈ Z.ª § «®áì, çâ® ¢ãâਠ®ªà㦮á⨠室¨âáï ¡¥áª®¥ç®¬®£® ¯®«îᮢ | ⥮६ ® ¢ëç¥â å ¥ ¯à¨¬¥¨¬ .
¥: z == π2 ¨ z = ∞. ®í⮬㠤à㣮£® ¯ã⨠¥â | ¯à¨¤ñâáï ¨áª âì¢ëç¥âë ¢ ¯®«îá å 1-£® ¯®à浪 ¢ â®çª å z = π2 ¨ z = ∞.46 ©¤ñ¬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨z + π21z21 + πzàï¤ ®à ¢ z = ∞: =2 + 2 +o 11 − 3z33!27zz4 1 2241++ 2 +o 2 == −z 1 +πz3z 9zzz + π21 4444=−+=+ .+ . . . ⇒ res1z=∞z 3π 93π 92 sin 3z − 1√z + π216 34 = − 3 .res=πz= π2 2 sin 1 − 12π cos 1 · − 12 1 −12 sin 3z= −z3z3z3z2πâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®√ 16 344 dz = −2πi − 3 ++ .1 −13π 9π2 sin 3z,z + π2|z|= 21⢥â.√4 +4 .−2πi − 16 3 3 + 3π9π,ਬ¥à 1.23. ëç¨á«¨â¥Je 2 (z+ z ) dz .x1|z|=1ç¥ì ¨â¥à¥áë© ¯à¨¬¥à!®-¯¥à¢ëå, § ¤ ç á ¯ à ¬¥â஬ x!®-¢â®àëå, ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡ë¥â®çª¨ | ®¡¥ â®çª¨ ïîâáï áãé¥á⢥® ®á®¡ë¬¨: z = 0¨ z = ∞, àï¤ë ¯® á⥯¥ï¬ z ¢ ®¡¥¨å â®çª å ®¤¨ ª®¢ë!®í⮬㠡᮫îâ® ¢áñ à ¢®, ¢ ª ª®© ¨§ ®á®¡ëå â®ç¥ª áç¨â âì ¢ëç¥âë.ãáâì í⮡㤥â â®çª z = 0.+x1x1e 2 (z+ z ) dz = 2πi res e 2 (z+ z ) .®£¤ Iz=0|z|=1ëç¥â ¡ã¤¥¬¨áª âì à §«®¦¥¨¥¬ ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨xxzàï¤ ¥©«®à e 2 ¨ à §«®¦¥¨¥¬ ¢ àï¤ ®à e 2z :z = 0¢e 2 (z+ z ) = e 2 z e 2 z =x1xx 147!1 x 2 21 x n n= 1+z+z + ...
+z + ... ×22! 2n! 2!x 11 x 2 11 x n 1× 1+++ ... ++ ... =2 z 2! 2 z 2n! 2 z n x n+n+1 !1 x 1 x 31 x 2+31=+++ ... ++ ... +z 22! 22!3! 2n!(n + 1)! 2x+á« £ ¥¬ë¥,¥ ᮤ¥à¦ ¨¥1z⇒x1⇒ res e 2 (z+ z ) =z=0 x n+n+1 x 1 x 31 x 2+31++ ...++ ... ==+22! 22!3! 2n!(n + 1)! 2∞ x 2n+1X1=⇒n!(n + 1)! 2n=0,∞ x 2n+1X1x1.⇒e 2 (z+ z ) dz = 2πin!(n + 1)! 2n=0|z|=1⢥â.§ 1.8.2πi∞P 2n+11x2n=0 n!(n + 1)!.Jëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢ ®â äãªæ¨©¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£®1.8.1. ë¡®à ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ïਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ¨â¥£à «®¢ ®â äãªæ¨© ¤¥©á⢨⥫쮣®¯¥à¥¬¥®£® á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «®¢ ®â äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®£®¯¥à¥¬¥®£®, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® ¢ë¡®à¥ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. 祣® ç âì?1.
áâì ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤®«¦ ᮢ¯ ¤ âì á ®â१ª®¬, ¯® ª®â®à®¬ã ¢¥¤ñâáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ § ¤ ®©äãªæ¨¨ ¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£®, ¨«¨ ®â१ª®¬ «î¡®© ¤«¨ë, ¥á«¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à « ¯®¡¥áª®¥ç®¬ã ¯à®¬¥¦ãâªã.482. ª ª ª ⥮à¨ï ¢ëç¥â®¢ ¯à¨¬¥ï¥âáï ª ¨â¥£à « ¬ ¯®§ ¬ªã⮬㠪®âãàã, ⮠㦮 ª®âãà § ¬ªãâì. ý ¬ëª ¨¥þ ®áãé¥á⢫ï¥âáï â ª, çâ®, «¨¡® ¯® ¤®¯®«¨â¥«ì묪®âãà ¬ ¨â¥£à «ë ¡ã¤ãâ à ¢ë 0, «¨¡® ¬ë ¨å ᬮ¦¥¬¢ëç¨á«¨âì, «¨¡® ¨å § ç¥¨ï ¨§¢¥áâë.3. ¥à¥¤ª® ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨, ¯à¨¬¥à, ¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « ®â −∞ ¤® +∞ ¢ ª ç¥á⢥ ®â१ª ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¢ë¡¨à îâáï ᨬ¬¥âà¨çë¥R +∞®â१ª¨. ®£¤ ¯à¨å®¤¨âáï ¢ëç¨á«ïâì ⮫쪮 v.p.
−∞ f (z) dx. ¬¥â¨¬,R +∞R +∞çâ®, ¥á«¨ −∞f (z) dx á室¨âáï, â® v.p. −∞ f (x) dx =R +∞= −∞ f (x) dx. áᬮâਬ ¯à¨¬¥à.ਬ¥à 1.24. ëç¨á«¨â¥Z2π0dϕ,(a + b cos ϕ)2a > b > 0.â®â ¨â¥£à « ¢ ¯à¨æ¨¯¥ ¬®¦® ¢ëç¨á«ïâì ¨ ¯¥à¢®¬ªãàá¥, ᤥ« ¢ 㨢¥àá «ìãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå t = tg ϕ2 . ®í⨠¢ëç¨á«¥¨ï ¡ã¤ã⠣஬®§¤ª¨¬¨ (¯®¯à®¡ã©â¥!),®¯à®¡ã¥¬ ¥£® ¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥ïï ¬¥â®¤ë .â¥£à « ®â 0 ¤® 2π | ïá®, çâ® ¯à¨¤ñâáï áç¨â âì ¨â¥£à « ¯® ®ªà㦮áâ¨. ¥¯¥àì ¤® ¢ëà §¨âì ¯®¤ëâ¥£à «ìãîIiϕ−iϕz+ 1äãªæ¨î ç¥à¥§ z . ¤ ç® â®, çâ® cos ϕ = e +2 e = 2 z ,â.
¥. z ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¥¤¨¨ç®© ®ªà㦮áâ¨. ¥¯¥àì ¢ëà §¨¬dϕ ç¥à¥§ dz :z = eiϕ ⇒ dz = ieiϕ dϕ = iz dϕ ⇒ dϕ =−i dz.z®£¤ Z2π0dϕ=(a + b cos ϕ)2,|z|=1,−i dz−4iz dz.2 =2 + 2az + b)2(bzb1z a+ 2 z+ z|z|=149 ©¤ñ¬ã«¨ § ¬¥ ⥫ï:bz 2 + 2az + b = 0 ⇐⇒ z1 =√√2222= −a − ba − b , z2 = −a + ba − b . ëïᨫ¨, çâ® |z1 | > 1, |z2 | < 1, ¯®í⮬㠢ëç¥â ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¢ â®çª¥ z = z2 . ᮡ ïâ®çª z = z2 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®í⮬ã!0−4iz4iz4i z1 + z2res 2= 2=− 2=222z=z2 b (z − z1 ) (z − z2 )b (z − z1 ) z2b (z2 − z1 )3Iz dz2πa−ia= √⇒−4i 2= √.22223b (z − z1 ) (z − z2 )( a −b )( a2 − b2 )3|z|=1⢥â.√ 2πa.( a2 − b2 )31.8.2. â¥£à «ë ¢¨¤ +∞R−∞R(x) sin ax dx.J+∞R−∞R(x) cos ax dx,¥¬¬ ®à¤ áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì (¢á¯®¬¨â¥ ¯à¨§ ª ¨à¨å«¥)¨ ¡á®«îâãî á室¨¬®áâì (¢á¯®¬¨â¥, ¯à¨¬¥à, ¯à¨§ ª ¥©¥àèâà áá ) ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¨â¥£à «ë ¢¨¤ Z+∞R(x) cos ax dx,−∞Z+∞R(x) sin ax dx,−∞(x)£¤¥ R(x) = PQm(x), m, n ∈ N, | à 樮 «ì ï äãªæ¨ï, ¬ën㬥¥¬.¥¯¥àì ã稬áï ¨å ¢ëç¨á«ïâì.
㤥¬ ¢ëç¨á«ïâìR +∞iax dx, ⮣¤ R(x)e−∞Z+∞Z+∞R(x) cos ax dx = ReR(x)eiax dx,−∞Z+∞−∞Z+∞R(x)eiax dx.R(x) sin ax dx = Im−∞50−∞® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¬ë ã稬áï ¢ëç¨á«ïâì ¨â¥£à «ë ¢¨¤ R +∞R(x)eiax dx, â. ª. ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ᨬ¬¥âà¨çë¥−∞®â१ª¨ ®á¨ Ox, 㦥 ®âáî¤ ¯®«ã稬 § 票¥ ®¡®¨å ¨â¥£à «®¢:v.p.Z+∞Z+∞v.p.R(x) sin ax dx = Im v.p.R(x)eiax dx,−∞Z+∞v.p.−∞Z+∞R(x)eiax dx.R(x) cos ax dx = Re v.p.−∞−∞à¨çâ®, ¥á«¨ ¨â¥£à « á室¨âáï, â®R +∞ í⮬ ¬ë R § ¥¬,+∞f(x)dx=f(x)dx.−∞−∞v.p.1.8.2. ) ª®âãॠ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¥â ®á®¡ëåâ®ç¥ª.
¥¬¬ R ®à¤ +∞«ï¢ëç¨á«¥¨ï v.p. −∞R(x)eiax dx ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâà¨H¢ âì R(z)eiαz dz , £¤¥ C | ¥ª®â®àë© § ¬ªãâë© ª®âãà.C।¯®« £ ¥¬ ¢ í⮬ ¯ãªâ¥, çâ®Q (x) ¥ ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨RR n⥫ìëå ª®à¥© | ¢ í⮬ á«ãç ¥ −R R(x)eiax dx áãé¥áâ¢ã¥â¯à¨ «î¡®¬ R. ª ª ª Qn (x) | ¬®£®ç«¥ á ¤¥©á⢨⥫ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, â® ¥£® ª®à¨ ¢å®¤ïâ ª®¬¯«¥ªá® ᮯàï¦ñ묨 ¯ à ¬¨ | ¯®í⮬㠢 ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠室¨âáï ⮫쪮¯®«®¢¨ ª®à¥© § ¬¥ ⥫ï.ë¡¨à ¥¬ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ y¨ï. ०¤¥ ¢á¥£® | íâ® ®â१®ª [−R, R]. ¬ëª ¥¬ ª®âãà ¯®«ã®ªà㦮áâìî CR (á¬. CRà¨á.
1.10). ª ª ª Qn (x) ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª®à¥©, â® ©¤ñâáï0R xâ ª®¥ R0 , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¢á¥ ª®à¨, −R¨á. 1.10à ᯮ«®¦¥ë¥ ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¡ã¤ãâ 室¨âìáï ¢51¯®«ãªà㣥.ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì R > R0 | ⮣¤ § 票¥HHf (z) dz ¥ ¡ã¤¥â ¬¥ïâìáï ¯à¨ ã¢¥«¨ç¥¨¨ R, â. ª. f (z) dzCC¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®á®¡ë¬¨ â®çª ¬¨, à ᯮ«®¦¥ë¬¨¢ãâਠª®âãà .¥« ⥫ì®, çâ®¡ë ¨â¥£à « ¯® CR , ýãèñ«þ, ª®£¤ R → ∞.«ï ®æ¥ª¨ ¨â¥£à « ¯® CR á«ã¦¨â¥¬¬ ®à¤ . ᫨ a > 0 ¨ z∈Cmax |R(z)| −→ 0, â®R→∞RRR(z)eiαz dz −→ 0.R→∞CR à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ਠ襬 ¢ë¡®à¥ ¯®«ã®ªà㦮áâ¨iα(x+iy) =CR : |z| = R, Im z > 0 § ª α ®ç¥ì ¢ ¦¥, â. ª.
eiα(x)−αyiα(x+iy)−αy=e .=ee⇒ eR +∞ ᫨ a < 0 ¢ ¨â¥£à «¥ −∞R(x)eiax dx, â® «¥¬¬ ®à¤ ¡ã¤¥â à ¡®â âì ¢ ¨¦¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.Hâ ª, ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì R(z)eiαz dz , α > 0.Cਬ¥à 1.25. ëç¨á«¨â¥R +∞ x sin(3 − 2x)−∞x2 − 4x + 5dx.«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à « ¢ë¡¥à¥¬ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï C : [−R; R] ∪ CR (á¬. à¨á. 1.10).R +∞ x sin(3 − 2x)R +∞i(3−2x) ª ª ª −∞dx = Im −∞ 2xedx, α =2x − 4x + 5x − 4x + 5= −2 < 0, ¤«ï ¯à¨¬¥¥¨ï «¥¬¬ë ®à¤ ¤®, ç⮡ë¡ë«® α > 0, â® ¯¥à¥¯¨è¥¬ è ¨â¥£à « ¯®-¤à㣮¬ã:IZ+∞−∞x sin(3 − 2x)dx = −x2 − 4x + 5Z+∞−∞x sin(2x − 3)dx =x2 − 4x + 5Z+∞= − Im¥¯¥àì à áᬮâਬ,Cze(2z−3)idz =z 2 − 4z + 5−∞,Cxe(2x−3)idx,x2 − 4x + 5α = 2 > 0.ze(2z−3)idz.(z − (2 + i))(z − (2 − i)) ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨ ¢ãâਠª®âãà ®¤ ®á®¡ ïâ®çª z = 2 + i | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 .52,C®í⮬ã, á ®¤®© áâ®à®ë, ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å,ze(2z−3)idz =z 2 − 4z + 5(2 + i)ei(4+2i−3)ize(2z−3)i=2πi=z=2+i z 2 − 4z + 52(2 + i) − 4= 2πi res= πe−2 (2 + i)ei = πe−2 ((2 cos 1 − sin 1) + i(2 sin 1 + cos 1)). ¤à㣮© áâ®à®ë, â ª ª ª ¯®¤ëâ¥£à «ì ïäãªæ¨ï 㤮¢R +∞ xe(2x−3)i«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë ®à¤ , −∞ x2 − 4x + 5 dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªã ¨à¨å«¥, â®,Cze(2z−3)idz =z 2 − 4z + 5ZR−Rxe(2x−3)idx +x2 − 4x + 5R(2x−3)i®í⮬ã +∞ xe−∞x2 − 4x + 5Zze(2z−3)idz −→R→∞z 2 − 4z + 5CRZ+∞xe(2x−3)i−→dx.R→∞x2 − 4x + 5−∞dx = πe−2 ((2 cos 1−sin 1)+i(2 sin 1++ cos 1)), Z+∞Z+∞x sin(3 − 2x)xe(2x−3)idx=−Imdx =x2 − 4x + 5x2 − 4x + 5−∞−∞= −πe−2 (2 sin 1 + cos 1).⢥â.
−πe−2 (2 sin 1 + cos 1).1.8.2. ¡) á®¡ë¥ â®çª¨ ª®âãॠ¨â¥£à¨à®¢ ¨ïJR+∞R(x)eiax dx ¢áâà¥ç ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ¨â¥£à «®¢ ¢¨¤ −∞îâáï ¨ â ª¨¥, ã ª®â®àëå Qn (x) ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ª®à¨zk = ak ∈ R | ⮣¤ ¨å ¤® ý®¡å®¤¨âìþ ¯® ¯®«ã®ªà㦮áâï¬|z − ak | < ρ, Im z > 0.
।¢ à¨â¥«ì® ¯à®¢¥¤ñ¬ ¥áª®«ìª® ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¢ëç¨á«¥¨©.®¯®«¥¨¥1. ãáâì z = a - ¯®«îá1-£® ¯®à浪 äãªæ¨¨ f (z).R áᬮâਬ γ f (z) dz , £¤¥ γ | ¯®«ã®ªà㦮áâì |z −−a| = ρ, Im z > 0, ¯à®å®¤¨¬ ï ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯à¨ ª®â®à®¬â®çª z = a ®áâ ñâáï á«¥¢ .53Z ª ª ª z − a | 1, â®∞X a−1k+ak (z − a) dz =z−a0Zf (z) dz =|z−a|=ρ1Im z>0|z−a|=ρ1Im z>0∞ Zπ aX −1iϕk ikϕ = z − a = ρe =ak ρ e ρeiϕ i dϕ = iϕ +ρe00= iπa−1 + i∞XZπk+1ρ→00â ª,Rei(k+1)ϕ dϕ −→ iπ res f (z).ak ρz=a0f (z) dz −→ iπ res f (z).z=aρ→0|z−a|=ρIm z>02.
ãáâì ⥯¥àì z = a | . ®£¤ ZZ∞Xf (z) dz =|z−a|=ρIm z>0|z−a|=ρIm z>0=Zπ X∞0k ikϕak ρ eiϕak (z − a) dz = z − a = ρe =k0iϕρe i dϕ = i∞X0Zπk+1ei(k+1)ϕ dϕ −→ 0.ak ρρ→000ë ¤®ª § «¨, çâ®, ¥á«¨ a ∈ C | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 (1)¨«¨ ãáâà ¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª (), â®Zf (z) dz −→ iπ res f (z),ρ→0z=a(1.25)|z−a|=ρIm z>0¥á«¨ ¯®«ã®ªà㦮áâì ¯à®å®¤¨âáï ¢ ¯à ¢«¥¨¨, ¯à¨ ª®â®à®¬â®çª z = a ®áâ ñâáï á«¥¢ .Rਬ¥à 1.26. ëç¨á«¨â¥ ¨â¥£à « ¨à¨å«¥ 0∞ sinxax dx.I ¬¥â¨¬, çâ®Z∞01sin axdx =x2Z+∞−∞sin axdx,xZ+∞I(a) =−∞sin axdx = −I(−a)x| ¥çñâ ï äãªæ¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯ à ¬¥âà a. 祢¨¤®,çâ® I(0) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
