ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

2.6).pi(ϕ +∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, fk (z) = |(z + 2)(z − 2)| e 0k 2.i(ϕ0 )® ãá«®¢¨î, f (+∞) > 0 ⇒ e 2 = 1 ⇒ f (z) =pi(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )2.= |z 2 − 4| eyy2i2iii−2−11230456−2x−110−i−i−2i−2i¨á. 2.62x¨á. 2.7à®¢¥¤ñ¬ ý¯ãâìþ γ ®â +∞ ¤® z = − √i á­ ç « ¯® ¯àאַ©2y = 0, x ∈ [5; +∞), § ⥬ ¯® ¯àאַ©, ᮥ¤¨­ïî饩 â®çª¨ z =81= − √i2¨ z = 5 (á¬. à¨á. 2.6). ’®£¤ ∆γ ϕ1 = ∆γ arg(z + 2) = −α,∆γ ϕ2 = ∆γ arg(z − 2) = −(π − α)!’¥¯¥àì ­ ©¤ñ¬f0‡ ¬¥â¨¬, ç⮑«¥¤®¢ ⥫쭮,− √i2.f (z) =⇒!i3 i(−(π−α)−α)3i2⇒f −√ = √ e=−√ .222√z 2 − 4∗| ®¤­ ¨§ ¢¥â¢¥©√z 2 − 4.f 2 (z) = z 2 − 4 ⇐⇒ 2f (z)f 0 (z) = 2z ⇐⇒!iz10⇒f −√ = .⇐⇒ f (z) =3f (z)20JŽâ¢¥â.

− √3i2 ; 13 .à¨¬¥à 2.4.p ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç-­®© ä㭪樨 3 (z + 1)(z 2 + 1) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ¨§®¡à ¦ñ­­ë¬ ­ à¨á. 2.7, â ª ï, çâ® f (0) = 1.  ©¤¨â¥ f (−3i), f (−−1 − i).pI Œ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï 3 (z + 1)(z 2 + 1) ¨¬¥¥â âਠâ®çª¨¢¥â¢«¥­¨ï: z = −1, z = i, z = −i. Ž­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®áâ¨ á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 â®çª¨ z = −1, z = i, z = −i. ‡ ¤ ­­ë© à §à¥§ 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⮬ã ãá«®¢¨î.® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,qf (z) =3|(z + 1)(z − i)(z + i)| e’ ª ª ª f (0) = 1, â® f (0) = 1 · ei(ϕ0 +∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 +∆γ ϕ3 )3iϕ03= 1 ⇐⇒ eiϕ03=1qi(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 +∆γ ϕ3 )3f (z) = 3 |(z + 1)(z − i)(z + i)| e..¨ ©¤ñ¬ ¯à¨à 饭¨ï à£ã¬¥­â®¢ ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ®â z = 0 ¤®z = −3i ¯® ªà¨¢®© γ , ¨§®¡à ¦ñ­­®© ­ à¨á. 2.8:∆ arg(z − i) = −2π, ∆ arg(z + i) = −π, ∆ arg(z + 1) = − arctg 3 ⇒82yyγ2i2iγ∗i−2−11023−3−2i−11x0−i−i−2i−2i−3i−3i¨á.

2.8q⇒ f (−3i) =3|(−3i + 1)(−9 + 1)| e2x¨á. 2.9i(−3π−arctg 3)3√6i(−3π−arctg 3)3= 2 10 e.€ ⥯¥àì, à ¤¨ ¨­â¥à¥á , ¯à®©¤ñ¬ ¢ â®çªã z = −3i ¯® ¤à㣮¬ã ¯ã⨠| ªà¨¢®© γ ∗ , ¨§®¡à ¦ñ­­®© ­ à¨á. 2.9.’®£¤ ¯à¨à 饭¨ï à£ã¬¥­â®¢ ¡ã¤ãâ ¤à㣨¥:∆ arg(z − i) = 0, ∆ arg(z + i) = π, ∆ arg(z + 1) = 2π − arctg 3, ⇒qi(0+π+2π−arctg 3)3⇒ f (−3i) = 3 |(−3i + 1)(−9 + 1)| e=√6√√6i(3π−arctg 3)i(3π−arctg 3)i(−3π−arctg 3)6333= 2 10 e= 2 10 ee2πi = 2 10 e.® §­ 祭¨¥ ä㭪樨, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì, â® ¦¥ á ¬®¥. ©¤ñ¬ ⥯¥àì §­ 祭¨¥ f (−1 − i).à®©¤ñ¬ ¯® ªà¨¢®© γ (á¬. à¨á. 2.10).’®£¤ 3π1, ∆ arg(z + i) = −,22π∆ arg(z + 1) = − , ⇒2qi(− arctg 1√ −i(arctg 12 +2π)2 −2π )333= 5e.⇒ f (−1 − i) = |(−i)(1 + 2i)| e∆ arg(z − i) = − arctgŽâ¢¥â.1 +2π−i(arctg 2)√i(−3π−arctg 3) √332 6 10 e, 5e.J83yz42iz5i−2y z3 z2−1102xz1z6z00xz7−i−2i¨á.

2.10¨á. 2.11à¨¬¥àq 2.5. ‚ëïá­¨â¥, ᪮«ìª® ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¨¬¥¥â√äã­ªæ¨ï z 2 − 7 z 2 ¢ ®¡« á⨠G = {z ∈ C, Im(1 − i)z > 0}.3πi ©¤¨â¥ §­ 祭¨¥ íâ¨å ¢¥â¢¥© ¢ â®çª¥ z = e 4 .√3I Œë §­ ¥¬, çâ® w ¨¬¥¥â â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï ¢ â®çª å, ¢ ª®â®àëå ¯®¤ª®à¥­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ®¡à é ¥âáï√¢ 0 ¨ ¢ â®çª¥, £¤¥ ®­®®¡à é ¥âáï ¢ ∞. ® §­ ¥¬ â ª¦¥, çâ® ã 3 w3 ­¥â â®ç¥ª ¢¥â¢«¥­¨ï. “ ­ á ¯®¤ ª®à­¥¬ á«®¦­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ | ¯®í⮬ã, ¥á«¨®­® £¤¥-â® ®¡à â¨âáï ¢ 0, ­¥®¡å®¤¨¬® ¡ã¤¥â ¯à®¢¥à¨âì ¯®à冷ªí⮣® ­ã«ï.√€­ «¨â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï 7 z 2 ¨¬¥¥â ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï:z = 0, z = ∞, ¨ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®áâ¨á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 z = 0 ¨ z = ∞. â®â à §à¥§ ¬®¦­®¯à®¢¥á⨠¢­¥ § ¤ ­­®© ®¡« áâ¨, ¯®í⮬㠢 § ¤ ­­®© ®¡« á⨠áãé¥áâ¢ãî⠯ਠí⮬ ãá«®¢¨¨ 7 ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©: f0 (z), f1 (z),.

. . , f6 (z).p√ϕ +2∆ϕ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, 7 z 2 k = 7 |z 2 |ei 0k 7 . ‚뤥«¨¬ ¢¥â¢¨fk (z) ¢ â®çª¥ z = 1:3fk (1) = eiϕ0k7=e2πik7⇒ fk (z) =p2∆ϕ2πik7|z 2 | e 7 ei 7 , k = 0, 1, . . . , 6. ©¤ñ¬ ­ã«¨ ¯®¤ª®à¥­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï:√7z 2 − z 2 = 0 ⇒ z 14 = z 2 ⇐⇒z = 0,2πmiπmi⇐⇒z 12 = 1 ⇔ zm = e 12 = e 6 , m = 0, 1, . . . , 11.84’¥¯¥àì ¢ëïá­¨¬ ¨å ¯®à冷ª:fk0 (z):(z 2 − fk (z))0 = 2z − fk0 (z).2z⇒7fk6 (z)0⇒ (2z − fk (z)) = 2z 1 − ©¤ñ¬fk7 (z) = z 2 ⇐⇒ 7fk6 (z)fk0 (z) = 2z ⇐⇒ fk0 (z) =1  .7fk6 (z) ©¤ñ¬(z 2 − fk (z))0 ¢ â®çª å z = zm .2 − f (z ))0 6= 0, ¨ ¢á¥|fk (zm )| = 1, ¯®í⮬ã (zmk m‡ ¬¥â¨¬, ç⮭㫨 ¯®¤ª®à¥­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ïîâáï ­ã«ï¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ‡­ ç¨â,®­¨ | â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï.’¥¯¥àì ¡ã¤¥¬¢ëïá­ïâì, ª ª¨¥ â®çª¨ ¡ã¤ãâ â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥p3 2­¨ï ä㭪樨 z − fk0 (z).„«ï í⮣® ¯à®¢¥à¨¬, ¢ ª ª¨å ¨§ â®ç¥ª zm ¯®¤ª®à¥­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ª®­ªà¥â­®© ¢¥â¢¨ fk0 (z) ®¡à â¨âáï ¢ 0.‘­ ç « ­ ©¤ñ¬ §­ 祭¨ï ¯®¤ª®à¥­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ â®çª å zm :fk0 (zm ) = e2πik07ei2mπ7·6=e2πik072⇒ zm− fk0 (zm ) = eipmπei 7·3 = emπ3=ei(6k0 +m)π21⇒i(6k0 +m)π21= 0 ⇐⇒6k0 + mm=⇐⇒ m = k0 ,⇐⇒321â.

¥. â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ¤«ï 3 z 2 − fk0 (z) ï¥âáï â®çª z = zm ,£¤¥ m = k0 .…᫨ â ª ï â®çª ¤«ï ¢¥â¢¨ fk0 (z) ­ 室¨âáï ¢­¥ § ¤ ­­®©®¡« áâ¨, â® ¢ § ¤ ­­®© ®¡« á⨠íâã ¢¥â¢ì ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì, â. ª.à §à¥§ ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¢­¥ ¥ñ. à¨á. 2.11 ¢¨¤­®, çâ® ¢ ®¡« á⨠­ 室ïâáïâ®çª¨ z2 , z3 ,p. . . , z7 . ‡­ ç¨â, íâ® â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï 3 z 2 − fk0 (z) ¤«ï f2 (z),f3 (z), . . . , f7 (z). ® k ∈ {0, 1, . . . , 6}.—â® â ª®¥ f7 (z)? â® ¯à®áâ® f0 (z), â.

ª. f7 (z) =p2∆ϕ2πi77= |z 2 |e 7 ei 7 = f0 (z).p—â® ¢ ¨â®£¥? ‚ ®¡« á⨠G ¢¥â¢¨ 3 z 2 − fk0 (z) ¤«ï f2 (z),f3 (z), . . . , f6 (z), f0 (z) ¢ë¤¥«¨âì ­¥«ì§ï | ¤«ï ¨å ¢ë¤¥«¥­¨ï85­ ¤® ¤¥« âìà §à¥§ë. ‡ â® â®çª z = z1 = e 6 | â®çª ¢¥âp3 2¢«¥­¨ï z − f1 (z) ­ 室¨âáï ¢­¥ ®¡« á⨠G, ¨ à §à¥§ ¬®¦­®á¤¥« âì â ¬, ¢ ­ 襩 ®¡« á⨡ã¤ãâ áãé¥á⢮¢ âì gk (z), k =p3 2= 0, 1, 2 | âਠ¢¥â¢¨ z − f1 (z). ’¥¯¥àì ­ ©¤ñ¬ §­ 祭¨ï3πiíâ¨å ¢¥â¢¥© ¢ â®çª¥ z = e 4 :πif1 (z) = e2πi72i∆ϕe 7 ⇒3πi2πi 2i3π3πiiπ3πi⇒ z 2 − f1 (z)z= 3πi = e2 4 −e 7 e 7·4 = e 2 −e 2 = −2i = 2e 2 ⇒4!√3 i ( 3π√3 (3+4k)π2 +2πk)3πi3⇒ gk= 2e= 2ei 6 , k = 0, 1, 2.4√ (3+4k)πŽâ¢¥â.

’ਠ¢¥â¢¨. 3 2ei 6 , k = 0, 1, 2.Jà¨¬¥à 2.6. ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln(z + 1)(z 2 + 1) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ¨§®¡à ¦ñ­­ë¬ ­ à¨á. 2.12, â ª ï, çâ® f (0) = 2πi.  ©¤¨â¥ f (−3i),f 0 (−3i).y2ii−3−2−1‘¤¥« ¥¬ ç¥àâñ¦ à §à¥§ (á¬.à¨á. 2.12).3’ ª ª ª ®¡« áâì ®¤­®á¢ï§­ ,x â® ∆ϕi ­¥ § ¢¨áïâ ®â γ . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,I10−i2f (z) = ln |(z + 1)(z 2 + 1)|+−2i+i(ϕ0 + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 + ∆ϕ3 ).−3i¨á.

2.12® ãá«®¢¨î,f (0) = 2πi == iϕ0 ⇒ f (z) = ln |(z ++ 1)| + i(2π + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 + ∆ϕ3 ). ©¤ñ¬ ¯à¨à 饭¨ï à£ã¬¥­â®¢ ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® ªà¨¢®© γ ®âz = 0 ¤® z = −3i (á¬. à¨á. 2.15):1)(z 2∆ arg(z−i) = 0,∆ arg(z+i) = π,∆ arg(z+1) = 2π−arctg 3 ⇒⇒ f (−3i) = ln |(−3i + 1)(−9 + 1)| + i(2π + 0 + π + 2π − arctg 3) =√= ln 8 10 + i(5π − arctg 3).’¥¯¥àì ­ ©¤ñ¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¢ â®çª¥ z = −3i:f (z) = Ln∗ (z + 1)(z 2 + 1) ⇒ f 0 (z) =863z 2 + 2z + 1⇒(z + 1)(z 2 + 1)⇒ f 0 (−3i) =Žâ¢¥â.3(−9) − 6i + 12 + 21i=.20(−3i + 1)(−9 + 1)√ln 8 10 + i(5π − arctg 3); 2 +2021i .J§ 2.2. §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ë ’¥©«®à ¨ ‹®à ­ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権„® á¨å ¯®à à¥çì è« ® ä®à¬ã« å ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権, ª®â®àë¥ à ¡®â «¨ ¢ ¯«®áª®áâïå á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 ¢á¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï.¥£ã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ®¯à¥¤¥«ï« áì §­ 祭¨¥¬ ¢¥â¢¨ ¢ ®¤­®©â®çª¥.‘¥©ç á ­ á ¡ã¤¥â ¨­â¥à¥á®¢ âì ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨ ä®à¬ã«ë ¢¥â¢¥© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ¨«¨ ¢ ª®«ìæ¥, ¯®â®¬ã çâ® à¥çì ¯®©¤ñâ® à §«®¦¥­¨¨ ¢¥â¢¨ ¢ àï¤ ’¥©«®à ¨«¨ ‹®à ­ .2.2.1.

 §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ë ’¥©«®à ¨ ‹®à ­ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© Ln z , Ln(z − a)(z − b), Ln az+bez+d2.2.1. )  §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ë ’¥©«®à ॣã«ïà­ë墥⢥© Ln z áᬮâਬ Ln z ¨ ¥£® ¢¥â¢¨.ˆâ ª, §­ 祭¨¥ ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln z ¢ «î¡®© â®çª¥®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©Ln z = ln |z| + i(arg z0 + ∆γ ϕ),£¤¥ ∆γ ϕ | ¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â z ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® ªà¨¢®©γ ®â â®çª¨ z0 ¤® â®çª¨ z . Ž­® áãé¥á⢥­­® § ¢¨á¨â ®â ªà¨¢®©¨ ï¥âáï ­¥®¤­®§­ ç­®© ä㭪樥© ¢ ¯«®áª®áâ¨.ˆ§¢¥áâ­®, çâ® ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 â®çª¨0 ¨ ∞, Ln z à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ f∗ (z):f∗ (z) = ln |z| + i(arg z0 + ∆ϕ),£¤¥ ∆ϕ | ¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â z ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ®â â®çª¨ z0¤® â®çª¨ z . Ž­® 㦥 ­¥ § ¢¨á¨â ®â ªà¨¢®© γ . ’ ª ¬®¦­®­ ©â¨ §­ 祭¨¥ ¢¥â¢¨ ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬.87’ ª ª ª «î¡ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà­ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ®â0 ¤® ∞, â® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠«î¡®© â®çª¨ z0 , ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¥©à §à¥§ã, ®­ à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ à §­®áâ¨z − z0 .„®¯ãá⨬, çâ® â®çª z = 1 ¢¬¥áâ¥ á ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®áâìî |z − 1| < δ ­ 室¨âáï ¢­¥ à §à¥§ .

Žç¥¢¨¤­®, çâ® δ| íâ® à ááâ®ï­¨¥ z = 1 ¤® à §à¥§ (¯®í⮬ã δ 6 1).ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì f0 (z) | âã ¢¥â¢ì Ln z , ã ª®â®à®©f0 (1) = 0. ‡ ¬¥â¨¬ áà §ã, çâ® ¯à¨ à §­ëå ¢¨¤ å à §à¥§ í⮡ã¤ãâ à §­ë¥ ¢¥â¢¨ (®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï à §­ë¥!) ¨ ã ª ¦¤®©¢¥â¢¨ á¢®ï ®ªà¥áâ­®áâì.R’®£¤ , ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, f0 (z) = 1z dξ=ξ= ln |z| + i∆ϕ, £¤¥ ∆ϕ | ¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â z ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ â®çª¨ ¨§ z = 1 ¢ à áᬠâਢ ¥¬ãî â®çªã z ¯® ªà¨¢®©γ . ® à áᬠâਢ ¥¬ ï ®ªà¥áâ­®áâì ®¤­®á¢ï§­ ¨ ­¥ ᮤ¥à¦¨â­ ç « ª®®à¤¨­ â | ¯à¨à 饭¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â γ . ’ ª ª ª Ln zà áᬠâਢ ¥âáï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨, â® ¨­â¥£à « ¡¥àñâáï ¯®¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ªà¨¢ë¬, ¯à¨­ ¤«¥¦ 饩 í⮩ ®ªà¥áâ­®áâ¨, ¨§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â â®çª¨ z .®ª ¦¥¬, çâ® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 1| < δ 6 1 ¢¥â¢ì f0 (z)¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ’¥©«®à f0 (z) =∞X(z − 1)k+1(−1)k,k+10|z − 1| < δ 6 1,(2.31) áᬮâਬ ¨­â¥£à « ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z −1| < ρ â®çª¨ z = 1. §«®¦¨¬ ¥£® ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ à §­®á⨠(z − 1):IZz1dξ=ξZz1dξ=(ξ + 1 − 1)Zz1dξ=1 + (ξ − 1)=∞XZz X∞(−1)k (ξ−1)k dξ =(−1)k−1110(z − 1)k,k|z − 1| < 1.®«ã稢訩áï àï¤ á室¨âáï ¯à¨ |z − 1| < 1 ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ⠬ॣã«ïà­ãî äã­ªæ¨î S(z), ª®â®à ï, ª ª ¢¨¤­®, ¯à¨ ¤¥©á⢨⥫ì­ëå §­ 祭¨ïå x, |x − 1| < 1, ᮢ¯ ¤ ¥â á ln x.

ï¤ ¯®«88­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¢¥â¢¨ f0 (z) ¢ â®çª¥ z == 1, ¥£® à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨, ¥áâ¥á⢥­­®, à ¢¥­ à ááâ®ï­¨î ®â業âà à §«®¦¥­¨ï z = 1 ¤® ¡«¨¦ ©è¥© ®á®¡®© â®çª¨ z = 0 |¯®«ã稢訩áï àï¤ ­¥ ý§ ¬¥ç ¥âþ à §à¥§ , ª®â®àë© ¬®¦¥â ý­¥§ ¤¥âìþ ®ªà¥áâ­®áâì |z − 1| < ρ. ® ¯® ⥮६¥ ® ॣã«ïà­®©ä㭪樨 S(z) ¨ f0 (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 1| < δ 6 1 ᮢ¯ ¤ îâ.®í⮬㠢¥â¢ì f0 (z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln z , ã ª®â®à®©f0 (1) = 0 ¥áâ¥á⢥­­® ­ §¢ âì ln z . à¨ í⮬ f0 (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 1| < δ 6 1 à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ∞X(z − 1)k+1, |z − 1| < δ 6 1. (2.32)Ln0 (z) = f0 (z) = ln z = (−1)kk+10‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z −1| < δ 6 1 ¢¥â¢ì f0 (z) ¬®¦¥â¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥Ln0 (z) = f0 (z) = ln z = ln(1 + (z − 1)),Ln0 (1) = 0.‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ®, ¥á«¨ à §à¥§ ¯®©¤ñâ ¢­¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨, â® ln z ᮢ¯ ¤ñâ á ln x ­ ¢á¥© ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï ln xZxf0 (z) = ln z = ln x =1dξ,ξx > 0.‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¢ ã祡­¨ª¥ ˜¢ àæ¡ãठ§ 11 ª« ááR x dξ«®£ à¨ä¬ ®¯à¥¤¥«ñ­ ¨¬¥­­® â ª: ln x = 1 ξ , x > 0.J’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 1| < 1 ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¢¥â¢ì Ln∗ z ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln z : Ln∗ z = Ln∗ (z ++ 1 − 1) = Ln∗ (1 + (z − 1)).

‚¨¤­®, çâ® ¢ â®çª¥ z = 1 ¢¥â¢ì¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨¥ Ln∗ 1. ’ ª ª ª ¢¥â¢ì ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §­ 祭¨¥¬ ¢ â®çª¥, â® íâã ¢¥â¢ì ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢¢¨¤¥ Ln∗ (z) = Ln∗ (1 + (z − 1)) = Ln∗ 1 + ln(1 + (z − 1)), £¤¥ ln(1 ++ (z − 1)) | íâ® â ¢¥â¢ì Ln(1 + (z − 1)) (¨«¨ Ln z ), ¤«ï ª®â®à®©Ln(1 + (z − 1))|z=1 = 0. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï ¢¥â¢ì f∗ (z),ॣã«ïà­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 1| < δ 6 1 â®çª¨ z = 189à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à :∞X(z − 1)k+1Ln∗ z = f∗ (z) = f∗ (1) + (−1)k, |z − 1| < δ 6 1.

Характеристики

Список файлов книги