ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

®í⮬ã ⥮६ ¯à¨¬¥­¨¬ «¨èì ª ¢¥â¢ï¬ ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権. áᬮâਬ «î¡®¯ëâ­ë¥ ¯à¨¬¥àë.à¨¬¥à 2.11. —â® ¬®¦­® ᪠§ âì ® §­ 祭¨¨ ¨­â¥£à « ,√|z|=1I‡­ 祭¨¥ ¨­â¥£à « +dz?z−1√ dzz−1|z|=1­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.®ç¥¬ã?‚®-¯¥à¢ëå, ¯®â®¬ã, çâ® ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « á⮨⠬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï | ⥮६ ® ¢ëç¥â å ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ . ®­ïâ­®.€ ⮣¤ , ¬®¦¥â ¡ëâì, ¬®¦­®¯®áç¨â âì ¨­â¥£à «ë ®â ¢¥â√¢¥©? Œ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï z à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 0 ¨ ∞. Š ª ¡ë¥£® ­¨ ¯à®¢®¤¨âì, ®­ ®¡ï§ ⥫쭮 ¯¥à¥á¥çñâ § ¤ ­­ãî ®ªà㦭®áâì, ¨ §­ ¬¥­ â¥«ì ­ ¢á¥© ®ªà㦭®á⨠­¥ ¡ã¤¥â ®¤­®§­ ç­®©ä㭪樥©.116Žâ¢¥â.

‡­ 祭¨¥ ¨­â¥£à « ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.Jà¨¬¥à 2.12. —â® ¬®¦­® ᪠§ âì ® §­ 祭¨¨ ¨­â¥£à « ,√|z−1|= 12dz?z−1®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « á⮨⠬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï | ⥮६ ® ¢ëç¥â å ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ . ®­ïâ­®.€ ⮣¤ , ¬®¦¥â ¡ëâì, ¬®¦­®¯®áç¨â âì ¨­â¥£à «ë ®â ¢¥â√¢¥©? Œ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï z à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 0 ¨ ∞.…᫨ ¯à®¢¥áâ¨ à §à¥§, ¨¤ã騩 ¢­¥ ªà㣠|z − 1| 6 12 , â® ¢ªà㣥 |z − 1| = 21 ¡ã¤ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¤¢¥ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨√¬­®£®§­ ç­®©ä㭪樨z : f1 (z), f1 (1) = 1 ¨ f2 (z), f2 (1) = −1.+dz= 0, ’®£¤ f (z) − 1I|z−1|= 212,|z−1|= 21f12 (z)dz12πi= 2πi res= 0,z=1 f1 (z) − 1f1 (z) − 1f1 (1)=z⇒,2f10 f1=1⇒|z−1|= 12dz= 4πi.f1 (z) − 1Žâ¢¥â. ‡­ 祭¨¥ ¨­â¥£à « ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ­® ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì §­ 祭¨ï ¨­â¥£à « ®â ¢¥â¢¥©.Jà¨¬¥à 2.13.p ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 4 z 3 (2i − z) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ®â१ªã+ zf (z)√ 3πi[0; 2i] â ª ï, çâ® f (2) = 2 8 2e 16 .

‚ëç¨á«¨â¥z + i dz .|z|=4‘¤¥« ¥¬ í᪨§ à §à¥§ ¨ ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (á¬.à¨á. 2.29 ).p€­ «¨â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï 4 z 3 (2i − z) ¨¬¥¥â, ª ª ¯®ª § ­®¢ ¯. 2.1.4, ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: z = 0, z = 2i. ‡­ ç¨â, ®­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 í⨠â®çª¨ | § ¤ ­­ë© à §à¥§ í⮬ã ãá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â (á¬. à¨á. 2.29 ).I117yy4i4i2iii0−4124x0−441x−2i−4i−4i¨á. 2.29 ¨á. 2.29¡’®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï ­ 室ïâáï ¢­ãâਠ§ ¤ ­­®£® ª®­âãà |⥮६ ® ¢ëç¥â å ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ . ã¤¥¬ áç¨â âì ¨­â¥£à « ¯®+ zf (z)zf (z)¢­¥è­®áâ¨:res z + i .z + i dz = −2πi z=∞|z|=4ä®à¬ã«ã ¢¥â¢¨. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,q ©¤ñ¬ i(ϕ0 +3∆γ ϕ1 +∆γ ϕ24.= 4 z 3 (2i − z) eiϕ ©¤ñ¬ e 0 :p4z 3 (2i − z)∗ =√8 3πi√8 i(ϕ0 )i(ϕ0 )3πif (2) = 2 2e 16 ⇒ 2 2e 4 ⇐⇒ e 4 = e 16 ⇒q 3πi i(3∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )4⇒ f (z) = 4 z 3 (2i − z) e 16 e.’®£¤ f (z) =z +∞q4 3z (2i − z)|z|3πie 16 ei(3∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )4iπ3πi iπ= e 16 e 16 = e 4 .+∞‚ ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞:p√4!14 3z (2i − z)∗−z 4 ∗2i 4=1−⇒zzz 0 √4 −z 4 ∗ f (z) iπ=e4 ⇒⇒= z +∞z+∞118f (z)iπ2i⇒=e4 1−zz’¥¯¥àì ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ëç¥â:! 14⇐⇒ f (z) = ze0iπ42i1−z! 14.0!1!zf (z)f (z)πii2i 41== ze 4 1 −1 − − 2 + ...

=z+iz 0z z1 + zi! 2i !2πi 1 2i 1 1i1+ . . . 1 − − 2 + . . . == ze 4 1 −+−14 z8 4zz zπi9 e41+ á« £ ¥¬ë¥, ­¥ ᮤ¥à¦ 騥⇒8 zz,zf (z)9 πi9 3πires f (z) = e 4 ¨dz = −πi e 4 .z=∞8z+i4=−|z|=4Žâ¢¥â. − 49 πie .Jà¨¬¥à 2.14.ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ çp3πi4­®© ä㭪樨= z : z + 2i z 2 (i − z) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©: γ == 32 , Im z > 0, |z + i| = 1, Im z 6 0 â ª ï, çâ®+ f (z)√ i7πf (−i) = 3 2e 6 .

‚ëç¨á«¨â¥2 dz .3|z|=41 + ez‘¤¥« ¥¬ ç¥àâñ¦ à §à¥§ ¨ ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (á¬.à¨á. 2.29¡ ). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢­ãâਠª®­âãà ­ 室¨âáï ­¥¨§®«¨à®¢ ­­ ï ®á®¡ ï â®çª z = 0 | ⥮६ ® ¢ëç¥â å ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ . ®í⮬㠡㤥¬ áç¨â âì ¯® ¢­¥è­®á⨠®ªà㦭®áâ¨:I,|z|=4f (z)1+e2zdz = −2πi resz=∞f (z)21 + ez.¥à¢ë© ᯮᮡ.’¥¯¥àì § ©¬ñ¬áï ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樥©. Ž¡« áâì ­¥®¤­®á¢ï§­ | ¯à¨à 饭¨ï § ¢¨áïâ ®â γ .® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,q3q i(ϕ0 +2∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )3 23z (i − z) e⇒√3 i(ϕ0 )√3 i7πi(ϕ0 )i7π⇒ f (−i) = 2e 6 = 2e 3 ⇐⇒ e 3 = e 6 ⇒z 2 (i − z)∗ =119⇒ f (z) =q i7π i(2∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )3 23z (i − z) e 6 e.¨áª âì f (z)z , £¤¥ |z| = z .’ ª ª ª f∗ (∞) = ∞, â® ¯à®é¥+∞’¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ä®à¬ã«ë ¢¥â¢¥© ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ï√ 133f∗ (z)−zià áᬮâ७¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞: z = z ∗ 1 − z .30ππf (z) f (z) i7π i(2(2π+ 2 )+ 2 )6 e3= −1.==ez +∞|z| +∞ 13Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® f (z) = −z 1 − zi ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z =0= ∞. §« £ ¥¬ ¢ àï¤ ‹®à ­ ç¨á«¨â¥«ì ¨ §­ ¬¥­ ⥫ì.

’®£¤ 1 1 −1 i − 3 3+ o 12 z 1 − 3z2z 2|z| f (z) =−=21 + ez2 1 + z1 + 12 + o 12z|z|!!!!1zi111=− 1−++o1− +o⇒23z 9z 2z|z|2|z|2!(1 + 3i)f (z)1 1i=+=⇒ res2z=∞ 1 + e z2 9 318,f (z)π(3 − i).dz =291 + ez¨|z|=4Žâ¢¥â. π(39− i) .‚â®à®© ᯮᮡ.’¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ä®à¬ã«ë ¢¥â¢¥© ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ïà áᬮâ७¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞ ¯®-¤à㣮¬ã:qf∗ (z) =1203s!i− z)∗ ≡1− ∗ =z1!!1√32πimi 3i 333= −z ∗ 1 −= −ze1−,z 0z 0z 2 (i3−z 3m = 0, 1, 2.’ ª ª ªf (z)=zq3 2z (i − z)zei7π6eŽâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®= ∞.i(2∆γ ϕ+∆γ ϕ)3,â®13f (z) = −z 1 − zi0(Œ®¦­® ᤥ« âì ¨ â ª:= −∞ = −∞ · e2πim4f (z) 2πim = −e 4 = −1.z +∞¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨f (+∞) = +∞ · e 13⇒ f (z) = −z 1 − zi ).i7π6ez =πi(2(2π+ π2 )+ 2 )3=0Žáâ «ì­®¥ â ª ¦¥, ª ª ¢ ¯¥à¢®¬ ᯮᮡ¥.Jà¨¬¥à 2.15.ãáâìf(z)|ॣã«ïୠâ¢ì¬­®£®§­ ç√­®© ä㭪樨 4 1 − z 2 ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©: γ = {z :z = eit , t ∈ [0; π], z = 1 + it, t ∈ [0; +∞)} â ª ï, çâ® f (0) = 1.∞Pãáâì S(z) = ak (z − 3i)k | ॣã«ïà­ ï ¢ ®¡« á⨠á室¨¬®áâ¨0àï¤ äã­ªæ¨ï, ᮢ¯ ¤ îé ï á f (z) ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®áâ¨â®çª¨ z = 3i.

 ©¤¨â¥ f 3i4 , à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ S(z) ¨¢ëç¨á«¨â¥ ¨­â¥£à «,|z−3i|= 52S(z) dz2 .3iz− 4 à¨á㥬 à §à¥§(á¬. à¨á. 2.30).√4“ ä㭪樨 1 − z 2 âਠâ®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: z = ±1, z = ∞.®í⮬㠮­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠áà §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 í⨠â®çª¨. ‡ ¤ ­­ë© à §à¥§ í⮬ããá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì áãé¥áâ¢ã¥â. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® f (z) ॣã«ïà­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 3i| < 1, ¯®â®¬ãà §« £ ¥âáï â ¬ ¢ àï¤ ’¥©«®à . ‚ ᨫã â¥®à¥¬ë ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨ à §«®¦¥­¨ï ¢ àï¤ ’¥©«®à , íâ® ¨ ¥áâì § ¤ ­­ë© àï¤.ˆ§¢¥áâ­®, çâ® à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ ’¥©«®à à ¢¥­ à ááâ®ï­¨î ¤® ¡«¨¦ ©è¥©®á®¡®© â®çª¨ | ¤® â®ç¥ª z = 1 ¨ z =√= −1,â.¥.R=10,¨S(z)®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠|z − 3i| <√< 10. à¨ í⮬ S(z) = f (z), ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨|z − 3i| < 1.I121ï¤ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¢¥¤¥­¨¥¬ f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠業âà à §«®¦¥­¨ï ¨ ­¥ ý§ ¬¥ç ¥âþ à §à¥§ , ª®â®àë©¬ë ¢ë¡¨à ¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­® («¨èì ¡ë ᮥ¤¨­¨âì â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï).

 §à¥§ ¬®¦¥â ¡ëâì ý®¯à®ª¨­ãâë¬þ ¢ ­¨¦­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì, ¨ ⮣¤ ¢¥áì ªà㣠á室¨¬®á⨠®ª § «áï ¡ë ¢ ®¡« á⨠ॣã«ïà­®á⨠¢¥â¢¨ (­® ¤à㣮©, ®â«¨ç­®© ®â f (z), â. ª. ¡ë« ¡ë¤àã£ ï ®¡« áâì áãé¥á⢮¢ ­¨ï).√ˆâ ª, á㬬 S(z) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ªà㣥 |z − 3i| < 10, ª®­âãਭ⥣à¨à®¢ ­¨ï ­ 室¨âáï ¢­ãâà¨, ¯®í⮬㠡㤥¬ ¢ëç¨á«ïâì¨­â¥£à «.®¤ë­â¥£à «ì­ ï äã­ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ z = 34 i ¯®«îá¢â®à®£® ¯®à浪 , ⮣¤ ,|z−3i|= 25!S(z) dzS(z)0 3i.2 = 2πi res3i 2 = 2πiS4z= 43i3iz− 4z− 4Žáâ «®áì ­ ©â¨ S 0 3i4 := 4S 3 (z)S 0 (z) ⇐⇒ S 0 (z) = −1 − z 2 = S 4 (z) ⇒ −2z =z .2S 3 (z)’¥¯¥àì ïá­®, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à « ­ ¬ ­ ¤® ­ ©â¨ S 3i4 . â® §­ 祭¨¥¬®¦­® ¡ë«® ¡ë ­ ©â¨, ¥á«¨ z = 3i4 ¯®¤áâ ¢¨âì ¢ àï¤ ¨ ¢ëç¨á«¨âì ¥£® á㬬ã, ç⮠ᤥ« âì ­¥à¥ «ì­®.

¥«ì§ï áà §ã á¢ï§ âì33if 4 ¨ S 3i4 , â. ª. z = 4 i ­ 室¨âáï ¯®¤ à §à¥§®¬, â ¬S(z) 6= f (z).  ¬ ­ ¤® §­ âì S(z) ¢ ª ª®©-­¨¡ã¤ì â®çª¥, § ⥬ ­ ©â¨ S 3i4 .  ¯à¨¬¥à, ¨§¢¥áâ­®, çâ® S(3i) = f (3i). ©¤ñ¬ ä®à¬ã«ã ­ 襩 ¢¥â¢¨ f (z).p√i(ϕ +∆ϕ +∆ϕ )’ ª ª ª 4 1 − z 2 = 4 |1 − z 2 | e 0∗ 4 1 2 , ∆ϕ1 = ∆ arg(z −− 1) ≡ ∆ arg(1 − z), ∆ϕ2 = ∆ arg(z + 1), f (0) = 1, â® ­ ­ 襩i(ϕ )¢¥â¢¨ f (0) = e 40 = 1 ⇒q i(∆ϕ1 +∆ϕ2 )4f (z) = 4 1 − z 2 e.â ä®à¬ã« ¤ ñâ §­ 祭¨¥ ¢¥â¢¨ ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.122yy6i6i5i4i3i2ii1i−10−2 −1x10γx−i−2i¨á. 2.30¨á. 2.31Œ®¦¥¬ áà §ã ­ ©â¨ ®â¢¥â ­ ®¤¨­ ¨§ ¢®¯à®á®¢| q § ¤ ç¨i(ϕ−ϕ)3i3i5¯à®©¤ñ¬ ¯® ®á¨ Oy ®â 0 ¤® 4 | ­ ©¤ñ¬ f 4 = 4 e 4 =q=5.4â® §­ 祭¨¥¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®â®¬ ¡ë«® ¢ëç¨á«ï¥âáï3i3i¢¨¤­®, çâ® f 4 6= S 4 .√√4i(−π−arctg 3−(π−arctg 3))4 室¨¬ f (3i) = 4 10 e’¥¯¥àì ­ 室¨¬ ä®à¬ã«ã ¤«ï S(z):√= −i 4 10 = S(3i).q i(ϕ0∗ +∆ϕ1 +∆ϕ2 )4 41 − z 2 e⇒q i(∆ϕ1 +∆ϕ2 )√4√4i(ϕ0∗ )4⇒ S(3i) = 10 e 4 = −i 10 ⇒ S(z) = −i 4 1 − z 2 e.1 − z2 =ý‘¯ãá⨢è¨áìþ ¯® ®á¨ Oy ¨§ z = 3i ¢ z =r!3iS= −i4¨ ⮣¤ r5 i(−θ+θ)e 4 = −i4,|z−3i|= 525⇒!40 3i=−⇒S43i ,4­ 室¨¬√3 5 q 3 = −254 · 2 −i 543i√S(z) dz6π 5i.2 = −253iz− 4123√√qŽâ¢¥â.

10, 54 , − 6π25 5 i.Jà¨¬¥à 2.16. ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç-­®© ä㭪樨 Ln(z 2 − 1) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©: γ == {z = eit , t ∈ [−π; 0], z = t, t ∈ [1; +∞)} â ª ï, çâ® Im f (−2i) == 3π .‚ëç¨á«¨â¥ ¨­â¥£à «,zf (z)f (z) − πi!2dz.|z−3i|= 227 à¨á㥬 à §à¥§ (á¬. à¨á. 2.31). à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ¨áã­®ª ᤥ« ­ ¢ ॠ«ì­®¬ ¬ áèâ ¡¥, ¨ ª ¦¥âáï, çâ® § ¤ ­­ ï ®ªà㦭®áâì ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï.

…᫨ ¡ë«® ¡ë â ª, ¬ë ¨­â¥£à « ­¥ §­ «¨¡ë, ª ªáç¨â âì.  á ¬®¬ ¤¥«¥ à ¤¨ãá ®ªà㦭®á⨠¬¥­ìè¥ 2√2210 ( 7 = 48449 < 10), ­® ®ç¥­ì ­¥ ­ ¬­®£®!“ ä㭪樨 Ln(z 2 − 1) âਠâ®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: z = ±1, z = ∞.®í⮬㠮­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠áà §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 í⨠â®çª¨. ‡ ¤ ­­ë© à §à¥§ í⮬ããá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì f (z) áãé¥áâ¢ã¥â. ©¤ñ¬ á­ ç « â®çª¨, ¢ ª®â®àëå §­ ¬¥­ â¥«ì ¬®¦¥â ®¡à â¨âìáï ¢ 0.ãáâì Ln∗ (z 2 −1) | ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln(z 2 −1).’®£¤ Ln∗ (z 2 − 1) = πi ⇒ z 2 − 1 = eπi ⇐⇒ z = 0. ©¤ñ¬ ä®à¬ã«ã ­ 襩 ¢¥â¢¨. „«ï «î¡®© ¢¥â¢¨ Ln∗ (z 2 −− 1) = ln |z 2 − 1| + i(ϕ0 + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 ), £¤¥ ∆ϕ1 = ∆ arg(z + 1),∆ϕ2 = ∆ arg(z − 1), ã ­ á Im f (−2i) = 3π ⇒ ϕ0 = 3π , ¨ ⮣¤ If (z) = ln |1 − z 2 | + i(3π + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 ). ©¤ñ¬ f (0) = i(3π − (2π − ϕ) − ϕ) = πi.Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® z = 0 | ¯®«îá 2-£® ¯®à浪 ¤«ï ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨.à¨¢¥¤ñ¬ ¢á¥ ¢¥â¢¨ ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ï à áᬮâ७¨ï ¢®ªà¥áâ­®á⨠z = 0:Ln∗ (z 2 − 1) ≡ Ln∗ (−1)(1 − z 2 ) =124= Ln∗ (−1) + ln(1 − z 2 ) = f∗ (0) + ln(1 − z 2 ).’ ª ª ª f (0) = πi, â®f (z) = πi + ln(1 − z 2 ) = πi − z 2 − z4+ o |z|4 .2 ©¤ñ¬ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z1 , à §«®¦¨¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ãîäã­ªæ¨î ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = 0:22 1 − z 2 + o(|z|2 )2 + o(|z|2 ) 2−ππi−zπif (z)=z= = 322f (z) − πiz (1 + z 2 + o(|z|2 ))z32z 1 + 2 + o(|z| )!π22z 22=− 3 1−+ o(|z| ) 1 − z 2 + o(|z|2 ) =πiz2π21=−−1 −+ á« £ ¥¬ë¥, ­¥ ᮤ¥à¦ 騥⇒zπiz!2f (z)2= π2 1 +⇒⇒ resz=∞ f (z) − πiπi!2,f (z)2zdz = 2π 3 i +.⇒πf (z) − πi!2|z−3i|= 227JŽâ¢¥â.

2π3 i + π2 .à¨¬¥à 2.17. ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç-­®© ä㭪樨Ln(1 + z 2 ) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©:γ = z = eit , t ∈ π2 ; 3π2 , z = i + t, t ∈ [0; +∞) â ª ï, çâ®Im f (0) = 0.‚ëç¨á«¨â¥ ¨­â¥£à «+|z−3i|= 742f (z)dz .f (z) + πiâ § ¤ ç , ­ ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ª ¦¥âáï â ª®© ¦¥, ª ª ¯à¥¤ë¤ãé ï. ® ¡ã¤¥â ¢¨¤­®, çâ® ®­ ®ª ¦¥âáï ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª®©. à¨á㥬 í᪨§ à §à¥§ (á¬. à¨á. 2.32).“ ä㭪樨 Ln(1 + z 2 ) âਠâ®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: z = ±i, z = ∞.®í⮬㠮­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®áâ¨á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 í⨠â®çª¨. ‡ ¤ ­­ë© à §à¥§ í⮬ããá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì f (z) áãé¥áâ¢ã¥â.I125 ©¤ñ¬ á­ ç « â®çª¨, ¢ ª®â®àëå §­ ¬¥­ â¥«ì ¬®¦¥â ®¡à â¨âìáï ¢ 0.yãáâì Ln∗ (1 + z 2 ) | ¢¥â¢ì ¬­®£®i§­ ç­®© ä㭪樨 Ln(1+z 2 ). ’®£¤ 0−112−iπ ⇒ 1 + z 2 √=x Ln∗ (1 + z ) = √’®çª z = i 2«¥¦¨â¢­¥§ ¤ ­­®©®ªà㦭®áâ¨−2i| ¯®í⮬㠭 ¤® ¯à®¢¥à¨âì, ®¡à é ¥âáï «¨ ¢ 0 √§­ ¬¥­ ⥫ì ⮫쪮¢ â®çª¥ z = −i 2.−5i ©¤ñ¬ ä®à¬ã«ã ­ 襩 ¢¥â¢¨.¨á.

Характеристики

Список файлов книги