ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

’®£¤ ¨­â¥£à « ¯® ¢¥àå­¥¬ã ¡¥à¥£ã1−ρZ 1ρ1dx−→ I =p5(x − 2)2 x2 (1 − x)3 ρ1 →0Z10dx.p5(x − 2)2 x2 (1 − x)3q i(2∆γ ϕ1 +3∆γ ϕ2 )5‚뤥«¨¬ íâã ¢¥â¢ì: f (z) = 5 z 2 (1 − z)3 e.« áâì ­¥ ®¤­®á¢ï§­ | ∆ϕ § ¢¨á¨â ®â γ .Ž¡133® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â åZC!dx11= 2πi res+ res.z=∞ (z − 2)2 f (z)z=2 (z − 2)2 f (z)(z − 2)2 f (z)1Žç¥¢¨¤­®, çâ® z=∞res= 0.(z − 2)2 f (z)‚ â®çª¥ z = 2 ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯®í⮬ãf 0 (2)1=−.z=2 (z − 2)2 f (z)f 2 (2)res ©¤ñ¬ f 0 (2):f 5 (z) = −z 2 (z − 1)3 ⇒ 5f 4 (z)f 0 (z) = −2z(z − 1)3 − 3z 2 (z − 1)2 ⇒−16⇒ f 0 (2) = 4.5f (2) ©¤ñ¬ f (2):,−2πi√5 i(0−3π)dz168πie 55f (2) = 4e⇒= 2πi 6=.√(z − 2)2 f (z)5f (2)5 54Cˆâ ª, á ®¤­®© áâ®à®­ë, ¨­â¥£à « ¢ëç¨á«¥­.’¥¯¥àì, á ¤à㣮© áâ®à®­ë, à áᬮâਬ ¨­â¥£à «ë ¯® ç áâï¬.Z.

£à ­¨æë:dz=(z − 2)2 f (z)CCρ1dz+(z − 2)2 f (z)dx+p5 2(x −x (1 − x)3l1.Zdzdz++.(z − 2)2 f (z)(z − 2)2 f (z)2)2Cρ2’ ª ª ª ¨­â¥£à «l2R1pdx2 5 2(x−2)x (1 − x)30á室¨âáï, â® «¥£ª® ¯®-ª § âì, çâ® ¨­â¥£à «ë ¯® Cρ1 ¨ ¯® Cρ2 áâ६ïâáï ª 0, ª®£¤ ρ1 → 0 ¨ ρ2 → 0. Žáâ «áï ¨­â¥£à « ¯® ­¨¦­¥¬ã ¡¥à¥£ã à §i(4π+0) p१ , ­ ª®â®à®¬ f (x)|l2 = e 5 5 x2 (1 − x)3 :Zl1134−4πidz= −e 52(z − 2) f (z)1−ρZ 2ρ1(x −2)2−4πidx−→ −e 5 I.p5 23x (1 − x) ρ2 →0®í⮬㨠⮣¤ .C−4πi dz5−→I1−e(z − 2)2 f (z) ρρ1 →0→02−2πi8πie 5√5 54Žâ¢¥â.√2 5 8π .5 sin 2π5√−4πi 2 5 8π5=I 1−e⇐⇒ I =.5 sin 2π5 à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. †¥« ⥫쭮 ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¢ëç¨á«ï«áï ¨­â¥£à « ®â ä㭪樨 ¢¥é¥á⢥­­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® |®â¢¥â ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¤¥©á⢨⥫ì­ë¬.

‚ ­ 襬 á«ãç ¥ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥®âà¨æ ⥫쭮 ­ ¢áñ¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ |®â¢¥â ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬. â¨ ãá«®¢¨ï ã ­ á ¢ë¯®«­¥­ë | íâ® ¤ ñâ 㢥७­®áâì ¢ ⮬, çâ® ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢¥à­ë. Jà¨¬¥à 2.20. ‚ëç¨á«¨â¥Z∞I=0√x ln xdx.(z + 1)(x + 2)y„«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à « CR¯à¨¤ñâáïà áᬠâਢ â좥⢨√Ln z ¨ z . „«ï ®¡¥¨å ä㭪権Cρz = 0 ¨ z = ∞ ïîâáï â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥­¨ï.

‡­ ç¨â, äã­ª- −RR x0樨 à ᯠ¤ îâáï ­ ॣã«ïà­ë¥¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬,¨å ᮥ¤¨­ïî騬, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨. à®¢¥¤ñ¬¨á. 2.36íâ®â à §à¥§. ‡ ¬ª­ñ¬ ª®­âãà ®ªà㦭®áâìî |z| = R. ’ ª ª ªz = 0 | â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï, â® ®â¤¥«¨¬ ¥ñ ®ªà㦭®áâìî |z| == ρ. ˆâ ª, ¯®«ã稫áï ª®­âãà C : Cρ ∪ [ρ; R] ∪ CR ∪ [R; ρ] (á¬.à¨á. 2.36).ãáâìf (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì Ln z , g(z) | ॣã«ïà­ ï√¢¥â¢ì z , â ª¨¥, ª®â®àë¥ ¯à¨­¨¬ îâ ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï­ ¢¥àå­¥¬ ¡¥à¥£ã à §à¥§ , â. ¥. Im f (x + i0) = 0 ¨ g(x + i0) > 0.I135’®£¤ f (z) = ln |z| + i∆γ arg z,pg(z) = |z|ei∆γ arg z .’¥¯¥àì, á ®¤­®© áâ®à®­ë, ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å (¢­ãâਭ 室¨âáï ¤¢ ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 ):,f (z)g(z)dz =(z + 1)(z + 2)C!f (z)g(z)f (z)g(z)= 2πi res+ res=z=−2 (z + 1)(z + 2)z=−1 (z + 1)(z + 2)= 2πi(−f (−2)g(−2) + f (−1)g(−1)).‚ëç¨á«¨¬ f (−2), g(−2), f (−1), g(−1). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨¤¢¨¦¥­¨¨ á ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨ ¢ â®çª¨ z = −2, ¨ z = −1¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â ®¤­® ¨ â® ¦¥ ¨ à ¢­® π.

®í⮬ã√ πg(−2) = 2ei 2 ,f (−2) = ln 2 + iπ,⇒πf (−1) = iπ, g(−1) = ei 2,√√f (z)g(z)⇒dz = 2π( 2 ln 2) + (2 2 − 2)π 2 i.(z + 1)(z + 2)C ¢¥àå­¥¬ ¡¥à¥£ã ä㭪樨 ¨§¢¥áâ­ë f (x) = ln x, g(x) = ­ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®¬ ¡¥à¥£ã à §à¥§ ¢¥â¢¨ ¯à¨­¨¬ îâ¤à㣨¥ §­ 祭¨ï | √¯à¨à 饭¨¥ à£ã¬¥­â à ¢­® 2π: f (x) == ln x + 2πi, g(x) = xeiπ .€ ⮣¤ , á ¤à㣮© áâ®à®­ë,√= x,,√√22π( 2 ln 2) + (2 2 − 2)π i =f (z)g(z)dz =(z + 1)(z + 2)C.=f (z)g(z)dz +(z + 1)(z + 2)Cρ,+CR136ZRρ√x ln xdx+(x + 1)(x + 2)f (z)g(z)dz +(z + 1)(z + 2)Zρ √Rxeiπ (ln x + 2iπ)dx −→ρ→0(x + 1)(x + 2)R→∞Z+∞−→ 2ρ→0R→∞0√√Z+∞x ln xxdx + 2iπdx ⇒(x + 1)(x + 2)(x + 1)(x + 2)0Z+∞⇒0√√x ln xdx = π 2 ln 2.(x + 1)(x + 2)(’ ª ª ª § ¤ ­­ë© ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « ¡á®«îâ­® á室¨âáï ¢ 0 ¨ ¢ ∞, â® «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® ¯à¨ R → ∞, ρ → 0¨­â¥£à «ë ¯®√®ªà㦭®áâï¬ áâ६ïâáï ª 0).Žâ¢¥â.

π 2 ln 2.J2.4.3. Žá®¡ë¥ â®çª¨ ­ ª®­âãॠ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ïà¨¬¥à 2.21. ‚ëç¨á«¨âìZ+∞0ln xdx.x2 − 1¥à¢ë© ᯮᮡ. ‚롥६ ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (á¬.à¨á. 2.37) C = [−R; −1 − ρ1 ] ∪ Cρ1 ∪ [−1 + ρ1 ; −ρ2 ] ∪ Cρ2 ∪ [ρ2 ; 1 −− ρ3 ] ∪ Cρ3 ∪ [1 + ρ3 ; R] ∪ CR , £¤¥ Cρi | ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨ à ¤¨ãá ρi á 業âà ¬¨ ¢ â®çª å −1, 0, 1 ᮮ⢥âá⢥­­®. CR | ¯®«ã®ªà㦭®áâì à ¤¨ãá R á 業â஬ ¢ 0 (á¬. à¨á. 2.37).IyyCRCρ1−RCρ2−10Cρ31¨á. 2.37RxC ρ10C ρ21Rx¨á. 2.38’®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï Ln z : z = 0, z = ∞ ­ 室ïâáï ¢­¥ ª®­âãà | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì áãé¥áâ¢ã¥â.137ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì Ln z , â ª ï, çâ® f (z) ­ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨ ¯à¨­¨¬ ¥â ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï,â. ¥. f (z) = ln |z| + i∆ arg z .+ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì zf2(z)dz (á¬.

à¨á. 2.37). ‚­ãâà¨−1Cª®­âãà ­¥â ®á®¡ëå â®ç¥ª, á«¥¤®¢ ⥫쭮,ZCρ1+ f (z)Cz2 − 1dz = 0.’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¨­â¥£à «ë ¯® ¯®«ã®ªà㦭®áâï¬.’ ª ª ª z = −1 | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â®f (z)dz =z2 − 1Z ∞hi a−1 Xk+ ak (z + 1)  dz = z + 1 = ρ1 eiϕ =z+1 0Cρ1Z0 ∞X a−1k ikϕ  ρ1 eiϕ dϕ == i +aρek1ρ1 eiϕ0π= −iπa−1 + i∞Xf (z).z=−1 z 2 − 1k+1ak ρk+1) −→ −iπ res1 (1 − (−1)ρ1 →00’ ª ª ª z = 1 | ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª , â®ZCρ3f (z)dz =z2 − 1Z X∞Cρ3ak (z + 1)k dz −→ 0.ρ3 →00Œë ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¤®ª § «¨ ¥éñ à §, çâ®, ¥á«¨ a ∈ C | ¯®«îáR 1-£® (1) ¯®à浪 ¨«¨ ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª (“Ž’), â®F (z) dz −→ iπ res F (z), ¥á«¨ ¯®«ã®ªà㦭®áâì ý¯à®¡¥£ ¥âáïþz=aρ→0Cρ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨.Œ®¦­® ¯®ª § âì áâ ­¤ àâ­ë¬ ᯮᮡ®¬, çâ®ZCRf (z)dz −→ 0R→∞z2 − 1’®£¤ ,0=C138f (z)dz =z2 − 1¨ZCρ2f (z)dz −→ 0.ρ2 →0z2 − 1−1−ρZ 1=−Rln(−x) + iπdx +x2 − 1ZCρ1Zf (z)dz +z2 − 1+Cρ2ZR+1+ρ3Z01−ρZ 3ρ2−1+ρ1ln(x)dx +x2 − 1ρ1 →0R→∞ −∞ZCρ2ln(x)dx +x2 − 1ZCRln(−x) + iπdx +x2 − 1−→Z−ρ2f (z)dz +z2 − 1ln(−x) + iπdx+x2 − 1f (z)dz+z2 − 1f (z)dz −→ρ1 →0z2 − 1R→∞Z+∞ln(x)iπdx − πi=22(−1)x −10Z+∞π2π2dx 2I − 2 = 0,R +∞ dx+ iπ⇒= 2I −2x2 − 1 0= 0.20x −1Žâ¢¥â.

π4 .J‚â®à®© ᯮᮡ. ’¥¯¥àì ¢ë¡¥à¥¬ ¤à㣮© ª®­âãà (á¬.2à¨á. 2.38):C = Cρ1 ∪ [ρ1 ; 1 − ρ2 ] ∪ Cρ2 ∪ [1 + ρ2 ; R] ∪ CR ∪ [R; 1 ++ ρ2 ] ∪ Cρ2 ∪ [1 − ρ2 ; ρ3 ], £¤¥ Cρ1 | ®ªà㦭®áâì à ¤¨ãá ρ1 á業â஬ ¢ 0, CR | ®ªà㦭®áâì à ¤¨ãá R á 業â஬ ¢ 0, Cρ2 ¨Cρ2 | ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨ à ¤¨ãá ρ2 á 業âà ¬¨ ¢ â®çª å 1 + i0¨ 1 − i0 ᮮ⢥âá⢥­­® (á¬. à¨á.

2.38).ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì Ln z , â ª ï, çâ® ­ ¢¥àå-­¥¬ ¡¥à¥£ã à §à¥§ ¯à¨­¨¬ ¥â ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï, â. ¥.f (z) = ln |z| + i∆ arg z . ’®£¤ , á ®¤­®© áâ®à®­ë,,Cf (z)f (z)dz = 2πi res 2= −πif (−1).2z=−1 z − 1z −1‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,,Cf (z)dz =z2 − 1ZCρ1f (z)dz +z2 − 11−ρZ 2ρ1ln xdx+x2 − 11391+ρZZRZZ 2f (z)f (z)ln xln x + 2iπ+dz +dx + 2dz +dx+22z −1x −1z −1x2 − 11+ρ3Cρ2ZCRf (z)dz +z2 − 1+1−ρ2Cρ2Z∞−→ρ1 →0R→∞0Zρ1ln xdx +x2 − 1Z0−∞Rln x + 2iπdx −→ρ1 →0x2 − 1R→∞ln x + 2iπ2iπdx − πi=22x −10Z2iπ2iπ=dx − πi.2x2 − 1−∞R ∞ ln xdx20‚¨¤­®, çâ®á®ªà ⨫áï.x −1+ 2®í⮬㠡㤥¬ à áᬠâਢ âì zf2 (z)−1C‘ ®¤­®© áâ®à®­ë,I,dz .f 2 (z)f 2 (z)dz=2πires= −πif 2 (−1) = −πi(πi)2 .z=−1 z 2 − 1z2 − 1C‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,,2π i=C1+ρZ 2+R1−ρZ 2 2Zf 2 (z)f 2 (z)ln xdz =dz +dx+22z −1z −1x2 − 1ρ1Cρ1ZRZ 2Z22f (z)f (z)ln xdz +dx +dz++22z −1x −1z2 − 11+ρ3Cρ2(ln x + 2iπ)2dx +x2 − 1ZCρ2CRf 2 (z)dz +z2 − 1Zρ11−ρ2(ln x + 2iπ)2dx −→ρi →0x2 − 1R→∞(â.

ª. ¨­â¥£à « ¯® ­¨¦­¥© ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨R f 2 (z)Cρ2−→ −πiρ2 →0140f 2 (1)(2πi)22 = −πi 2 )z2 − 1dz −→ρ2 →0Z∞ln2 xdx −x2 − 1Z∞(2iπ)2(ln x + 2iπ)2dx−πi=ρi →02x2 − 1R→0002Z∞2I = π4 ,4iπ ln x + (2iπ)=−dx + 2π 3 i = π 3 i ⇐⇒ 2Rx2 − 1 ∞ (2iπ)dx = 0.20−→0Žâ¢¥â. π4 .’à¥â¨© ᯮᮡ. ‚롥६ ⥯¥àì ­¥2x −1yCRᮢᥬ ®¡ëç­ë© ª®­âãà, â. ª. áà §ã ­¥ïá­®, ª ª ¢¥¤ñâ á¥¡ï ¨­â¥£à « ¯® ¢¥àâ¨Cρ Cρª «¨ (á¬. à¨á.

2.39).ˆâ ª, ª®­âãà á®á⮨⠨§ Cρ1 | ç¥â- 0 ρ1 1R x¢¥à⨠®ªà㦭®á⨠á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®¨á. 2.39®à¤¨­ â, Cρ2 | ¯®«ã®ªà㦭®á⨠á 業â஬ ¢ â®çª¥ z = 1, ¯®«ã®ªà㦭®á⨠CR á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â ¨ ®â१ª®¢[ρ1 ; 1 − ρ2 ], [1 + ρ2 ; R], [iR; iρ1 ]. ’®£¤ 1.1−ρZ 2Zf (z)ln xdx+dz+x2 − 1z2 − 1ρ1 ρCCρ1CZZ 1 ln |iy| + i π ρ2Z Rf (z)ln x2+dx +dz +i dy −→222R→∞,(iy) − 1CR z − 11+ρ2 x − 1ρ1 →0, ρ2 →0R+∞+∞∞ZZZln xln yπ2ln xπ2−→dx+dy−⇒dx=, â. ª.R→∞,44x2 − 1y2 + 1x2 − 1ρ1 →0, ρ2 →00 00 π2 ZZ π ρ1 ln ρ1 f (z) ln ρ1 +iϕπ 2 ρ1iρdϕ+−→ 0dz=6 122 2iϕ28(ρ21 +1) ρ1 →∞ 2 ρ1 +1 z −1 ρ1 e −10Cρ1Rdz −→ 0, ¯®â®¬ã çâ® z = 1 | “Ž’, ˆ­â¥£à « Cρ zf2(z)ρ2 →0 2 − 1 Z Z π R ln Rf(z)lnR+iϕπ2R = dziRdϕ6+−→ 0. z 2 −1 2 R2 +128(R2 +1) R→∞CR CR z − 10=f (z)dz =z2 − 1Z2f (z)dz +z2 − 1Š ª ¢¨¤­®, ­ ¢¥à⨪ «¨ ¯®ï¢¨«áï «¨è­¨© ¨­â¥£à «, ­® ®­¨¬¥¥â ç¨áâ® ¬­¨¬®¥§­ 祭¨¥.2πŽâ¢¥â.

4 .J141ƒ‹€‚€ III. ŠŽ”ŽŒ›…Ž’Ž€†…ˆŸ§ 3.1.«¥¬¥­â à­ë¥ ª®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ïŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žâ®¡à ¦¥­¨¥­ §ë¢ ¥âáï ª®­ä®à¬­ë¬ ¢ â®çª¥ z0 , ¥á«¨ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨1) ¢á¥ ®ªà㦭®á⨠¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ®ªà㦭®áâ¨ á ®¤­¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ª®íää¨æ¨¥­â®¬ à áâ殮­¨ï,2) ã£«ë ¬¥¦¤ã ªà¨¢ë¬¨, ¨á室ï騬¨ ¨§ â®çª¨ z0 , á®åà ­ïîâáï.ˆ§ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¬ëá« ¬®¤ã«ï ¨ à£ã¬¥­â ¯à®¨§¢®¤­®© á«¥¤ã¥â, çâ®, ¥á«¨ f 0 (z0 ) 6= 0, â® ®â®¡à ¦¥­¨¥ ï¥âá类­ä®à¬­ë¬ ¢ í⮩ â®çª¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠­ ®¡« áâì ­ §ë¢ ¥âáï ª®­ä®à¬­ë¬, ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë ¤¢ ãá«®¢¨ï.1. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ¡¨¥ªâ¨¢­®, â. ¥. ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®.2. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ª®­ä®à¬­® ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ®¡« áâ¨.— áâ® áç¨â îâ, çâ®, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­ ¢ ®¡« á⨨ ¯à®¨§¢®¤­ ï f 0 (z) 6= 0 ¢ «î¡®© â®çª¥, â® ®â®¡à ¦¥­¨¥ ª®­ä®à¬­® | § ¡ë¢ îâ ® ¯¥à¢®¬ ãá«®¢¨¨.

€, ¬®¦¥â ¡ëâì, ®­®¢ë¯®«­¥­® ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥?à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ®â®¡à ¦¥­¨ï, ®áãé¥á⢫塞®£® á ¯®¬®éìî ä㭪樨 w = ez .‚® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠w0 = ez 6= 0. Ž¤­ ª®, ¨§ ¯¥à¨®¤¨ç­®áâ¨w = ez ïá­®, çâ® «î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨, ­ 室ï騥áï ­ ¢¥à⨪ «¨ ­ à ááâ®ï­¨¨ 2πk, ®â®¡à ¦ îâáï ¢ ®¤­ã â®çªã. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à®¢¥àª ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï ®¡ï§ â¥«ì­ .‚â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ¯à®¢¥àï¥âáï «¥£ª® | ¤®áâ â®ç­®, ç⮡ë¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ ®¡« á⨠¡ë« ®â«¨ç­ ®â 0.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

Žâ®¡à ¦¥­¨¥ w = f (z) ­ §ë¢ ¥âá类­ 1ä®à¬­ë¬ ¢ â®çª¥ z = ∞, ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f z = ϕ(z), ¤®¯®«­¥­­®¥ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ §­ 祭¨¥¬ w = f (z) ¯à¨ z → ∞, ï¥âáï ª®­ä®à¬­ë¬ ¢ 0.142w = f (z)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ w = f (z) ­ §ë¢ ¥âáï ª®­1 , ¤®¯®«ä®à¬­ë¬ ¢ ¯®«îᥠz = z0 ∈ C, ¥á«¨ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f (z)1 ¯à¨ z → z ∈ C, ï¥âáï­¥­­®¥ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ §­ 祭¨¥¬ f (z)0ª®­ä®à¬­ë¬ ¢ â®çª¥ z0 .ˆ¬¥¥â ¬¥á⮒¥®à¥¬ . Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠D ­ ®¡« áâì D ï¥âá类­ä®à¬­ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ w = f (z) ॣã«ïà­ ¢ D, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, ®¤­®£® ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ­ è¨ ãᨫ¨ï ¡ã¤ãâ ­ ¯à ¢«¥­ë ­ ¯à®¢¥àªã¨¬¥­­® ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï. ‘¥©ç á ¬ë à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨ï,ª®â®àë¥ ®áãé¥á⢫ïîâáïäã­ªæ¨ï¬¨ w = z n , w = z 2 , w = ez ,w = 12 z + z1 .

‚ᥠ®­¨ «¥£ª® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãîâáï, ¯®â®¬ã®á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¡ã¤¥â 㤥«¥­® ­ 宦¤¥­¨î ¤«ï ­¨å â ª ­ §ë¢ ¥¬ëå ®¡« á⥩ ®¤­®«¨áâ­®áâ¨, â. ¥. ®¡« á⥩, ª®â®àë¥ ®â®¡à ¦ îâáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®.3.1.1. w = z n ¨ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ã£«®¢ ¢ n à § ­ £à ­¨æ¥√nz.ˆ§¬¥­¥­¨¥Žâ®¡à ¦¥­¨¥ w = z n âà㤭® § ¯¨á âì ¢ ¤¥ª à⮢ëå ª®®à¤¨­ â å | ¯®í⮬㠧 ¯¨è¥¬ ¢ ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â å:nn inϕw=z =r eiψ= Re⇐⇒R = rn ,ψ = nϕ + 2πk, k ∈ Z. ©¤ñ¬ â®çª¨, ª®â®àë¥ ®â®¡à ¦ îâáï ¢ ®¤­ã:w1 = w2 ⇐⇒ z1n = z2n ⇐⇒ r1n einϕ1 = r2n einϕ2 ⇐⇒(r = r ,r = r ,1212⇐⇒ nϕ = nϕ + 2πk, k ∈ Z.

⇐⇒ ϕ2 = ϕ1 + 2π k,21nk ∈ Z.â® â®çª¨, «¥¦ 騥 ­ ®¤­®© ®ªà㦭®á⨠­ ý㣫®¢ëåþà ááâ®ï­¨ïå ¤à㣠®â ¤à㣠, à ¢­ëå 2πn . ®í⮬㠭¨ª ª®© 㣮«,n¡®«ìè¥, 祬 2πn , á ¯®¬®éìî ä㭪樨 w = z ­¥ ¬®¦¥â ªã¤ «¨¡® ®â®¡à §¨âìáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®, â. ¥. ª®­ä®à¬­®. ©¤ñ¬ ®¡à §(¯®«ïà­®© á¥âª¨. √nn ) r = r0 : R = r0 ⇐⇒ r0 = R,(3.1)ψ + 2πk = nϕ.143‚¨¤­®, çâ® ¤ã£ ®ªà㦭®á⨠ýà §¬¥à®¬þ ϕ0 ; ϕ0 + 2πn ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®ªà㦭®áâì (nϕ0 ; nϕ0 + 2π) á à ¤¨ãᮬ R = r0n . ’¥¯¥àì­ ©¤ñ¬ ®¡à § «ãç .R = rn ,¡) ϕ = ϕ0 : ψ + 2πk = nϕ .(3.2)0‚¨¤­®, çâ® «ãç ϕ = ϕ0 ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ¯¥à¥å®¤¨â ¢«ãç ψ = nϕ0 , 㣮« ϕ2 − ϕ1 ¢ 㣮« ψ2 − ψ1 = n(ϕ2 − ϕ1 ), â.

¥.㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¢ n à §.Žâ®¡à ¦¥­¨¥ w = z n á®á⮨⠪ ª ¡ë ¢ à áªàë⨨ ý¢¥¥à þ¨ ýà áâ殮­¨¨þ ª ¦¤®© ®ªà㦭®áâ¨: r0 → r0n . ’®«ìª® ®ªà㦭®áâì à ¤¨ãá 1 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ᥡï.2πŽâáî¤ , ¢ ç áâ­®á⨠᫥¤ã¥â, ç⮠㣮« ϕ0 ; ϕ0 + n ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯® «ãçãnϕ0 .6 áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, 㣮« 0; 2π6 ¨w=z .yπ3x0w = z6√z = 6 w∗ ,πz(−1) = ei 6¨á. 3.1 v0u¨á. 3.1¡“£®« ª®­ä®à¬­® ®â®¡à §¨«áï ­ ¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯®¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨ (á¬. à¨á. 3.1 {3.1¡ ).‡­ ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®¡à â­®¥®â®¡à ¦¥­¨¥. Ÿá­®, çâ® ®­®√6á¢ï§ ­® á ä㭪樥© z = w. Ž¡à §ë â®ç¥ª z = 0 ¨ z = ∞ |íâ® â®çª¨ w =√0, w = ∞. Ž­¨ ïîâáï â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥­¨ï√ä㭪樨 z = 6 w ¨ ­ 室ïâáï ­ à §à¥§¥.

Характеристики

Список файлов книги