ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3.46 ).0¨á. 3.46 0¨á. 3.46¡−10¨á. 3.46¢ ª®¥æ, ¬®¦®ýà §¢¥àãâìþ ¯«®áª®áâì ¢ ¢¥àåîî ¯®«ã√¯«®áª®áâì: w4 = w3 ∗ , w4 (−1) = i (á¬. à¨á. 3.46¡ ). ®¬¯®§¨æ¨ï w4 (w3 (w2 (w1 ))) ¤ ñ⠮⢥â.â®à®© ᯮᮡ. ®¦® áà §ã ¢ë¯àﬨâì £à ¨æë. «ïí⮣® ¥®¡å®¤¨¬® § âì ᢮©á⢠äãªæ¨¨ 㪮¢áª®£®, ª®â®à ï ¨ ¤ã£ã ¥¤¨¨ç®© ®ªà㦮áâ¨, ¨ ®áì Ox ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ç á⨤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨.
®á¯®«ì§ã¥¬áï äãªæ¨¥© 㪮¢áª®£®:11w1 = 2 z + z . ©¤ñ¬ ®¡à §. § ª â «®£ ¢¨¤®, çâ® ¢¥àåïï ¯®«ã¯«®áª®áâì ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯® «ãç ¬(−∞; −1] ¨ [1; +∞). § ᢮©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï 㪮¢áª®£®á«¥¤ã¥â, çâ® ¤ã£ ¥¤¨¨ç®© ®ªà㦮á⨠¯¥à¥å®¤¨â ®â१®ª ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ª ª ª w1 (1) = 1, w1 (i) = 0, â® íâ®®â१®ª [0; 1] (á¬. à¨á. 3.46¢ ).¥¯¥àì ý¯¥à¥â塞þ ¤¢ à §à¥§ ¢ ®¤¨. §à¥§ë ýᮥ¤¨¥ëþ ¢ ∞.
ਬ¥¨¬ ¤à®¡®-«¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ w2 =1= w w+1 . ¥à¥¢¥¤ï 0 ¢ 0, −1 ¢ ∞, ¬ë ¯¥à¥¢¥«¨ ®â१®ª [−1; 0]1¢ ®¤ã ¯®«ã®áì, ¤¢ à §à¥§ | ¢ ¤àã£ãî ¯®«ã®áì. ª ªã«ã®áì ¯¥à¥è«¨ ¤¢ à §à¥§ ? ª ª ª w2 (1) = 12 , â® ¯à ¢ãî171(á¬. à¨á.3.46 ). ý §¢®à 稢 ¥¬þ ¢ ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì:√w3 = w2 ∗ , w1 (−1) = i (á¬. à¨á. 3.46¡ ). à ¨ ¬ ¥ ç ¨ ¥. ª®© ᯮᮡ ¢ë¡à âì? ¢®©á⢠®â®¡à ¦¥¨ï á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ 㪮¢áª®£® ãᢠ¨¢ îâáï ¤®¢®«ì® á«®¦®.Jਬ¥à 3.3. â®¡à §¨â¥ ¢ãâ८áâì ¥¤¨¨ç®£® ¯®«ãªà㣠(á¬.
à¨á. 3.47 ) ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì.yvi−110x¨á. 3.47 ¥à¢ë© ᯮᮡ.0¨á. 3.47¡u0¨á. 3.47¢ á¯àﬨ¬ £à ¨æë. «ï í⮣® ¬®¦® ®â¯à ¢¨âì «î¡ãéãî â®çªã £à ¨æ ¢ ∞. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¡ë«® ¡ë, ¯à¨¬¥à, ®â®¡à ¦¥¨ï w = z +1 1 (¬®¦® ¨ w = z −1 1 ). ®,çâ®¡ë ¥ ¨áª âì ¯®â®¬ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ®¢ëå £à ¨æ, ®â¯à ¢¨¬ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¯àאַ© ¨ ®ªà㦮á⨠¢ 0 | ¯à¨− 1 .
室¨¬ ®¡¬¥¨¬ ¤à®¡®-«¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ w1 = zz +1à §.1. ª ª ª z = −1 ¯à¨ ¤«¥¦¨â ®ªà㦮á⨠¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, â® ¨ â®, ¨ ¤à㣮¥ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¯àï¬ë¥.2. § ä®à¬ã«ë ¢¨¤®, çâ® ¤¥©á⢨⥫ìë¥ z ¯¥à¥å®¤ïâ ¢¤¥©á⢨⥫ìë¥ w. ç¨â, ¤¥©á⢨⥫ì ï ®áì ¯¥à¥å®¤¨â¢ ¤¥©á⢨⥫ìãî.3. ª ª ª ®¤ £à ¨æ | ®â१®ª [−1; 1], z = −1 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ 0 ¨ z = 1 ¢ ∞, â® ®â१®ª ¯¥à¥å®¤¨â ¢ «ãç ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ª®©? ¥¢ë©, â. ª.
w1 (0) = −1.4. â®à ï £à ¨æ | ¤ã£ ®ªà㦮á⨠| ⮦¥ ¯¥à¥å®¤¨â ¢«ãç. ª®©? ªà㦮áâì ¯¥à¥á¥ª ¥â ®áì ¢ â®çª¥ z = 1¯®¤ ¯àï¬ë¬ 㣫®¬. ª ª ª ¤à®¡®-«¨¥©ë¥ ®â®¡à ¦¥¨ï ª®ä®à¬ë ¢® ¢á¥© à áè¨à¥®© ¯«®áª®á⨠C, â®®¨ á®åà ïîâ ã£«ë ¢áî¤ã, ¢ª«îç ï £à ¨æë ®¡« á⥩.I172®í⮬㠢 â®çª¥ w1 = 0 «ãç¨ ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë,â. ¥. ¢â®à®© «ãç ¯®©¤ñâ ¯® ¢¥à奩 ¨«¨ ¨¦¥© ¬¨¬®©− 1 = i,¯®«ã®á¨. ® ª ª®© ¨¬¥®? ©¤ñ¬ w1 (i) = ii +1§ ç¨â | ¢¥àåïï ¯®«ã®áì (á¬. à¨á. 3.47¡ ).5. ®«ã稫®áì ¤¢ 㣫 : ®¤¨ ¢¥«¨ç¨®© π2 , ¤à㣮© | 3π2 . ª®© è? ¥à¢ë©.
¯ïâì ¦¥, ¯®â®¬ã ç⮠㣫ë á®åà ïîâáï ¢ C.¥à¥¢¥á⨠¯®«ã稢訩áï 㣮« ¢ ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì 㦥 ¥ á®áâ ¢¨â âà㤠: w2 = −w12 (á¬. à¨á. 3.47¢ ).2z−1J⢥â. w2 = − z + 1 .â®à®© ᯮᮡ.à¨ à ¡®â¥ ¯¥à¢ë¬ ᯮᮡ®¬ ¬ë ¢à®¤¥ ¡ë ¬®£® ¯¨á «¨.® ¢áñ íâ® ¤® çñ⪮ § âì ¨ ¥ ¯¨á âì. ¢®â ᥩç á ᤥ« ¥¬ ¢á¥£® «¨èì ®¤® ®â®¡à ¦¥¨¥, ® ®® á ¬®¬ ¤¥«¥ á ¬®¥ á«®¦®¥ ¨§ í«¥¬¥â àëå. à® ¥£® ¢á¥ á«ëè «¨, ® ¬ «®ªâ® çñ⪮ § ¥â, çâ® çâ® ¨ ¯®ç¥¬ã ®â®¡à ¦ ¥âáï. 襬 ª â «®£¥ (á¬. à¨á. 3.32 {3.32¡ ) áà §ã 室¨¬,çâ® § ¤ çã à¥è ¥â äãªæ¨ï 㪮¢áª®£®:I11w=− z+ .2zJਬ¥à 3.4. â®¡à §¨â¥ ®¡« áâì à¨á.
3.48 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.I ਠà¥è¥¨¨ í⮣® ¯à¨¬¥à áâ㤥âë ç é¥ ¢á¥£® ®è¨¡ 11îâáï | ¬£®¢¥ë© ®â¢¥â: w = 2 z + z .yvi−10¨á. 3.48 1x0u¨á. 3.48¡® íâ® ¤ «¥ª® ¥ â ª! ¨ § ¡ë¢ îâ, çâ® § ¤ ï à¨á. 3.48 ®¡« áâì ¡®«ìè¥ ®¡« á⨠®¤®«¨áâ®á⨠äãªæ¨¨ãª®¢áª®£®, | äãªæ¨ï 㪮¢áª®£® ¥ à ¡®â ¥â!173®í⮬㠯ਬ¥¨¬ ¤à®¡®-«¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ w1 =® ¢ë¯àﬨ⠢ᥠ£à ¨æë. ©¤¥¬ ®¡à §.1) § ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¤¥©á⢨⥫ì ï ®áì ¯¥à¥å®¤¨â ¢¤¥©á⢨⥫ìãî, è¨ «ãç¨ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ «ãç [0; +∞), â.
ª.¢ãâà¥ïï â®çª z = 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ w1 (0) = −1.2) ®«ã®ªà㦮áâì ¯¥à¥©¤ñâ ¢ «ãç, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ® ª ª®©? ¢¥àå ¨«¨ ¢¨§? ©¤ñ¬ w1 (i) =− 1 = i ⇒ ¢¢¥àå.= ii +1®«ã稫®áì ¤¢ 㣫 . ª®© è? ª ª ª ¤à®¡®«¨¥©ë¥ ®â®¡à ¦¥¨ï ª®ä®à¬ë ¢® ¢á¥© à áè¨à¥®© ¯«®áª®á⨠C, â® ®® ¢áî¤ã á®åà ï¥â 㣫ë, ¢ª«îç ï £à ¨æë.¥¦¤ã ¯®«ã®ªà㦮áâìî ¨ ¯àאַ© 㣮« ¢ 3π2 , § ç¨â, è㣮« | ¡®«ì訩 (á¬. à¨á. 3.48¡ ).π¥¯¥àì, ¤«ï 㤮¡á⢠, ¯®¢¥àñ¬ è 㣮«: w2 = w1 e−i 2 ,ç⮡ë 㣮« ç¨ «áï á ϕ = 0.2 ¯®á«¥¤¥¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ w1 = w23 ∗ , w3 (1 + i0) = 1 + i0. Jਬ¥à 3.5. â®¡à §¨â¥ ¢¥è®áâì ýᮢª þ (à¨á. 3.49 ) ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì.I ®¯à®¡ã¥¬ ¯à¨¬¥¨âì ¤à®¡®-«¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ w1 =−i.= zz +i−1.= zz +1yvvi−101x10u0π31u−i¨á.
3.49 ¨á. 3.49¡¨á. 3.49¢ ©¤ñ¬ ®¡à §.¨¬ ï ®áì ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤¥©á⢨⥫ìãî. â१®ª [−i; i] ¨¤ã£ ®ªà㦮á⨠¯¥à¥å®¤ïâ ¢ «ãç¨. â१®ª | ¢ «ãç ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, ® ª ª®©? ª ª ª w1 (0) = −1, â® íâ® ®âà¨æ ⥫ì ï ¯®«ã®áì. 㣠®ªà㦮á⨠¯¥à¥å®¤¨â ¢ «ãç ¬¨¬®©174®á¨, â. ª. ¤ã£ ¨ ®â१®ª ¢§ ¨¬® ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë. ® ¢¢¥àå− i = −i, â® ¢¨§, ®âà¨æ ⥫쨫¨ ¢¨§? ª ª ª w1 (1) = 11 +iãî ¬¨¬ãî ¯®«ã®áì. ãç [1; +∞) ¯¥à¥©¤ñâ ¢ ¤ã£ã ®ªà㦮á⨠á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â, â.
ª. â®çª¨ ±i, ᨬ¬¥âà¨çë¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯àאַ© y = 0, ¯¥à¥è«¨ ¢ 0 ¨ ∞ | â®çª¨,ᨬ¬¥âà¨çë¥ ®â®á¨â¥«ì® ®ªà㦮á⨠á æ¥â஬ ¢ ç «¥ª®®à¤¨ â. íâ® § ç¨â, çâ® ®áì Ox ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®ªà㦮áâì áæ¥â஬ ¢ z = 0. ï ¤¢¥ â®çª¨ ®¡à § : w1 (1) = −i, w1 (+∞) == 1 ¯®¨¬ ¥¬, çâ® ®¨ ¯à¨ ¤«¥¦ â ®ªà㦮á⨠¥¤¨¨ç®£®à ¤¨ãá (á¬. à¨á. 3.49¡ ).π®¢¥àñ¬ ¢á¥ 㣮« π2 : w2 = w1 ei 2 . ¥¯¥àì 㣮« ¢ 3π22ý¯à¥¢à ⨬þ ¢ 㣮« π; w3 = w23 ∗ , w3 (1 + i0) = 1 + i0 | ¯®«ã稫 áì ¢¥àåïï ¯®«ã¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯® ¤ã£¥ ¥¤¨¨ç®©®ªà㦮á⨠á 㣫®¬ π2 · 23 = π3 (á¬. à¨á.
3.49¢ ).¥¯¥àì ¤¢ ¯ãâ¨: «¨¡® ¤à®¡®-«¨¥©®¥, «¨¡® äãªæ¨ï㪮¢áª®£® | á¬. ¯à¨¬¥à 3.2.Jਬ¥à 3.6. â®¡à §¨â¥ ¢¥è®áâì ý¢¥á®¢þ (à¨á. 3.50 ) ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì.I â § ¤ ç ¢ë§ë¢ ¥â § âà㤥¨ï ¢ ⮬, á 祣® ç âì.yvi−1w=z10x2i−101u−i¨á. 3.50 ¨á. 3.50¡ çñ¬ á w1 = z 2 . ®«ã稫 áì ¢¥è®áâì ý«®¯ ⪨þ(á¬. à¨á. 3.50¡ ).
«ìè¥ ¡ã¤¥¬ ¤¥©á⢮¢ âì ¨ à áá㦤 âì−i «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã: w2 = ww11 +i . âáî¤ áà §ã á«¥¤ã¥â, çâ® ®â१®ª [−i; i] ¯¥à¥å®¤¨â ¢ «ãç (−∞; 0], â. ª.w2 (0) = −1. ®«ã®ªà㦮áâì ¯¥à¥å®¤¨â ¢ «ãç [0; +i∞), â. ª.−1 − i = i. ãç [0; +∞) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¤ã£ã ®ªàã¦w2 (−1) = −1+i®á⨠á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. à¨çñ¬, â ª ª ª w2 (∞) =175= 1, w2 (0) = −1,à¨á. 3.51 .â® à ¤¨ãá ®ªà㦮áâ¨ à ¢¥ 1 | ¯®«ãç ¥âáïiii−1−102π3−1101−i10−i¨á.
3.51 ¨á. 3.51¡¨á. 3.51¢2 «¥¥ w3 = w2 eiπ | à¨á. 3.51¡ , ¯®â®¬ w4 = w33 ∗ , w4 (1 ++ i0) = 1 + i0 | à¨á. 3.51¢ . «¥¥, ª ª ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.2.Jਬ¥à 3.7. â®¡à §¨â¥ ¢¥è®áâì ýï¡«®ª þ (à¨á. 3.52 ) ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì.yv2ii1−2−1012x−i¨á. 3.52 −101u−101−i−1¨á. 3.52¡¨á. 3.52¢¥à¢ë© ᯮᮡ. ý á¯àﬨ¬þ £à ¨æë:− i . ©w1 = zz +i¤ñ¬ ®¡à §. § ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¬¨¬ ï ®áì ¯¥à¥å®¤¨â1¢ ¤¥©á⢨⥫ìãî, à §à¥§ ¯¥à¥èñ« ¢ à §à¥§ ¯® ®â१ªã 0; 3 ,I2i − i = 1 , ¤ã£¨ ®ªà㦮á⥩, ¯¥à¥á¥ª î騥â.
ª. w1 (2i) = 2i3+i¬¨¬ãî ®áì ¯®¤ 㣫®¬ π4 , ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ «ãç¨ (á¬. à¨á. 3.52¡ ).¥¯¥àì ý¢ëáâந¬þ £à ¨æë ¢ ®¤ã «¨¨î: w2 = w14 (á¬.à¨á. 3.52¢ ). «¥¥ ¢áñ ïá® | ᤢ¨£ ¨ ýà §¢®à®âþ ¯«®áª®á⨠¢¯®«ã¯«®áª®áâì:1w3 = − w2 − 4 ,3176√w4 = w3 ∗ ,w4 (−1) = i.â®à®© ᯮᮡ. áâ® ¯¥à¢ë¬ ¤¥« îâ ®â®¡à ¦¥¨¥ w1 =i= zz +−i.®£¤ ®¡à § ¡ã¤¥â ¤à㣮© | à¨á. 3.53 .v0u30¨á. 3.53 34¨á.
3.53¡¥¯¥àì w2 = w14 | à¨á. 3.53¡ .áãé¥á⢨¬ â ª §ë¢ ¥¬®¥ ý¯¥à¥â¢ ¨¥þ à §à¥§ : ¨§¤¢ãå à §à¥§®¢ ᤥ« ¥¬ ®¤¨ ( áä¥à¥ ¨¬ íâ® ¯à®áâ® ¯¥à¥â¢ ¨¥) | ç «® ®¤®£® «ãç ®â¯à ¢«ï¥¬ ¢ 0, ¤à㣮£®| ¢ ∞: w2 = w w−1 34 , w2 (1) = 1 −1 34 < 0 ⇒ à §à¥§ ¯®©¤ñâ ¯®1√¯®«®¦¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨ (á¬. à¨á. 3.46 ). ¥¯¥àì w3 = w2 ∗ ,w3 (−1) = i. ®«ã稫®áì ¤ ¦¥ ª®à®ç¥.Jਬ¥à 3.8.
â®¡à §¨â¥ ¢¥è®áâì ®¡« á⨠¢ ¢¨¤¥ ¡ãª¢ëýäþ (à¨á. 3.54 ) ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì.−2−1yv2i2iii012x−2−10−i−i−2i−2i¨á. 3.54 12u¨á. 3.54¡¨¤®, çâ® ¢á¥ £à ¨æë, á®áâ®ï騥 ¨§ ®â१ª®¢ ¯àאַ© ¨®ªà㦮á⥩, ¯¥à¥á¥ª îâáï ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ®í⮬ã à á¯àﬨ¬ ¨å á ¯®¬®éìî ¤à®¡®-«¨¥©®£® ®â®¡à ¦¥¨ï w1 == z1 . § ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¤¥©á⢨⥫ì ï ®áì ¯¥à¥å®¤¨âI177¢ ¤¥©á⢨⥫ìãî, ¬¨¬ ï ¢ ¬¨¬ãî. ®í⮬ã à §à¥§ë ¯¥à¥©¤ãâ ¬¨¬ãî ®áì ®â ± 2i ¤® ±i∞ ᮮ⢥âá⢥®. ªà㦮á⨯¥à¥©¤ãâ ¢ ¯àï¬ë¥ x = ± 21 , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë¥ ®á¨ Ox. ®«ã稫 áì ¢¥à⨪ «ì ï ¯®«®á á à §à¥§ ¬¨ | à¨á.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
