ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

2.32„«ï «î¡®© ¢¥â¢¨ Ln∗ (1 + z 2 ) == ln |1 + z 2 | + i(ϕ0 + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 ), ¤«ï ­ 襩 Im f (0) = 0 ⇒⇒ ϕ0 = 0, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ®−i= −1 ⇐⇒ z = ±i 2.f (z) = ln |1 + z 2 | + i(∆ϕ1 + ∆ϕ2 ).√’®£¤ ¤«ï ­ 襩¢¥â¢¨ f (−i 2) = i(−π + 0) = −iπ. ‡­ ç¨â, ¢√â®çª¥ z = −i 2 ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪 ¨,|z−3i|= 47f (z)f (z) + πi!2dz = 2πi res√z=−i 2f (z)f (z) + πi!2.‚¨¤­®, çâ® ®¡ëç­ ï ä®à¬ã« ¢ëç¥â ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì ¤®¢®«ì­® £à®¬®§¤ª®.®¯à®¡ã¥¬ ¢ëç¨á«¨âì¢ëç¥â ý¢ «®¡þ, à §«®¦¨¢ äã­ªæ¨î√¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = −i 2.à¨¢¥¤ñ¬ ¢á¥ ¢¥â¢¨ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ï à áᬮâ७¨ï ¢√®ªà¥áâ­®á⨠z = −i 2:f∗ (z) = Ln∗ (1 + z 2 ) ≡ Ln∗ (z + i)(z − i) ≡√√√√≡ Ln∗ (z + i 2 − i 2 + i)(z + i 2 − i 2 − i) ≡√ √ √√z + i 2  z + i 2  1 + .≡ Ln∗ (−i 2 + i)(−i 2 − i) 1 +√√(−i 2 + i)(−i 2 − i)126Ž¡®§­ 稬, ¤«ï 㤮¡á⢠,¯®«ã稬√at = z + i√ 2i(1 − 2),√bt = − z + i√2i(1 + 2)¨f∗ (z) = g(t) = Ln∗ (−1)(1 + at)(1 − bt) =√= f∗ (−i 2) + ln(1 + at) + ln(1 − bt).√„«ï ­ 襩 ¢¥â¢¨ f (−i 2) = −iπ, ¨ ¯®í⮬ãf (z) = −iπ + ln(1 + at) + ln(1 − bt).’¥¯¥àì à §«®¦¨¬ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ãî äã­ªæ¨î ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠t = 0:!2(−iπ + ln(1 + at) + ln(1 + bt))2=(ln(1 + at) + ln(1 + bt))22at − bt + o(|t|)−π 2 1 − iπiπ==t(a2 + b2 )22t (a + b) 1 −+ o(|t|)2(a + b)!!2t(a + b)t(a2 + b2 )π21−+ o(|t|) ==− 2+ o(|t|) 1 +iπ(a + b)t (a + b)2!2(a + b) (a2 + b2 )π2=−+−+iπ(a + b)t(a + b)2f (z)f (z) + πi+=á« £ ¥¬ë¥, ­¥ ᮤ¥à¦ 騥 z1 .‚ëç¨á«¨¬ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ 1t .

’ ª ª ª√2 2a+b=− √− √=−⇒ (a + b)2 = −8,ii( 2 − 1) i( 2 + 1)2 21122 = −6,a +b = √ + √i( 2 − 1)i( 2 + 1)1â®1!2(a + b) (a2 + b2 )π2π2−−+=iπ8(a + b)t(a + b)2√  3i 4 2  , √ −π2127¨,f (z)f (z) + πi|z+i|= 73!2π2dz = 2πi8√ ! 3i 4 2 π38i √ − = − √ 3 +.ππ24 2Žâ¢¥â.

− 4π√2 3 + 8iπ .Jà¨¬¥à 2.18. ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç3­®© ä㭪樨 Ln z ¢ ®¡« á⨠G = |z − e| < 1, â ª ï,p çâ® f (e) = 1.„®ª § âì, çâ® ­ «¨â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï F (z) = f (z) à ᯠ¤ ¥âáï ¢ ®¡« á⨠G ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨. ãáâì g | ॣã«ïୠâ¢ì F (z), â ª ï, çâ® g(e)+ = −1.dz‚ëç¨á«¨â¥ ¨­â¥£à «.g( ez )|z|=15z+eI Ln z ¨¬¥¥â ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï: 0 ¨ ∞. ‡­ ç¨â, äã­ªæ¨ïLn z à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®áâ¨ á «î¡ë¬à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 0 ¨ ∞. ’ ª ª ª ¢¥â¢ì § ¤ ­ ¢ ªà㣥|zp − e| < e, â® à §à¥§ ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¢­¥ í⮣® ªà㣠. ”ã­ªæ¨ïf (z) ¨¬¥¥â â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï â ¬, £¤¥ f (z) ®¡à é ¥âáï ¢ p0 ¨«¨∞.

‚ ªà㣥 â ª¨å â®ç¥ª ­¥â, ®¡« áâì ®¤­®á¢ï§­ , §­ ç¨â, f (z)⮦¥ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨.‚¥â¢ì g(z) § ¤ ­ ¢ ªà㣥 |z − e| < e. à®¢¥à¨¬, £¤¥ ¯à¨í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â g z ez+e : ez − e < e ⇐⇒z + e+‡­ ç¨â, 2 e < e ⇐⇒ |z + e| > ez + e dz ez|z|=15 g z + e(á¬.

à¨á. 2.33).áãé¥áâ¢ã¥â. ® ¢­ãâਠª®­âãà ­ 室¨âáï â®çª z = 0, ¢ ª®â®à®© g z ez+ e ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ , ¯®í⮬ã¡ã¤¥¬ ¢ëç¨á«ïâì ¨­â¥£à « ¯® ¢­¥è­®á⨠ªà㣠.¥à¢ë© ᯮᮡ.‚ ª®«ìæ¥ 15 < |z| < ∞ äã­ªæ¨ï g,dzez|z|=15 g z + e128ezz+e = −2πi resz=∞ॣã«ïà­ , ¯®í⮬ã1g z ez+e.yvi−15−e0x15e0u−i¨á. 2.33¨á. 2.34‡ ¬¥â¨¬, çâ® g(e) = g(z)|z=∞ . à¨¢¥¤ñ¬ ä®à¬ã«ë ¢á¥å ¢¥â¢¥© Ln z ez+ e ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ï à áᬮâ७¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨z = ∞:ezeeLn∗≡ Ln∗= Ln∗ e − ln 1 +=z+ez1 + zeee⇒ f (z) = 1 − ln 1 + .= f∗ (e) − ln 1 +zz’®£¤ 1 ez ree 2= 1 − ln 1 += g(e) 1 − ln 1 +g=z+ez ∗z 01e 2= −1 · 1 − ln 1 +.z 0 ©¤ñ¬ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z1 :1g z ez+e11 = =−e +o ee1−1 − ln 1 + zz2z =−r0e=−+2z1⇒zez e⇒ res g= .z=∞z+e2á« £ ¥¬ë¥, ­¥ ᮤ¥à¦ 騥Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®+ dz = −eπi.ez|z|=15 g z + e129Žâ¢¥â.−eπi. à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

‚ëç¥â ¬®¦­® ¡ë«® áç¨â âì ¨ ¯® ä®à¬ã«¥ ¤«ï “Ž’ ¢ ∞.‚â®à®© ᯮᮡ.te‘¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå: z ez+ e = t ⇐⇒ z = e − t .Žªà㦭®áâì ¯à¥®¡à §®¢ « áì¢ ®ªà㦭®áâì (¬®¦­® ¯à®¢¥à¨âìte¢ ý«®¡þ, à á¯¨á ¢ e − t = 15). à¨ í⮬t(0) = 0,15e15e< e, t(−15) => e > t(15),15 + e15 − e15i(15i − e)15i152 + 15iet(15i) ===.15i + e−152 − e2152 + e20 < t(15) =Š®®à¤¨­ âë 業âà 1 15e15e 152 e,+= 22 15 + e 15 − e15 − e2152 e15e15e2r= 2−=.15 − e2 15 + e152 − e2Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢­¥è­®áâì ®ªà㦭®áâ¨|z| = 15 ¯¥à¥225e = 15e2è« ¢® ¢­ãâ७­®áâì ®ªà㦭®á⨠C ∗ : t − 2252−e225 − e2(â. ª. z = 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªã t = 0, ­ 室ïéãîáï ¢­¥ ®ªà㦭®á⨠C ∗ ), ¯à®å®¤¨¬®© ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ (â. ª.t(15i) ­ 室¨âáï ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨) (á¬.

à¨á. 2.34).2„¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¢ ¨­â¥£à «¥: dz = (t −e e)2 dt.®í⮬ã.|z|=15dzg z ez+e,e2 =−C∗dt=g(t)(t − e)2012 g (e)=2πie.t=e g(t)(t − e)2g 2 (e)= −2πie2 res‚ëç¨á«¨¬ g0 (e):g 2 (t) = f (t) ⇐⇒ 2g(t)g 0 (t) = f 0 (t) ⇒ g 0 (e) =130f 0 (e).2g(e)® f 0 (t) =Žâ¢¥â.1 ⇒ f 0 (e) = 1 ⇒et−πie.+ dz = −πie.ez|z|=15 g z + e à ¨ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ˆ­â¥à¥á­®, çâ® íâ® à¥è¥­¨¥ ¨ ®â¢¥â ­¥§ ¢¨á¨â+ ®â §­ 祭¨ï ¢¥â¢¨ f (e), § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â §­ 祭¨ï dz = πieg(e):.g 3 (e)ez|z|=15g z+eà ¢¤ , ¯® §­ 祭¨î g(e) ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï §­ 祭¨¥ f (e):√√i(arg(1+2πik)+2πm)2,k∈gkm (e) = ∗ Ln∗ e = ∗ 1 + 2πik = |1 + 2πik| e∈ Z, m = 1, 2.‚¨¤­®, çâ®, ¥á«¨ g(e) = −1, â® f (e) = 1.J§ 2.4.‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ®â ä㭪権¤¥©á⢨⥫쭮£® ¯¥à¥¬¥­­®£®2.4.1.

‚ë¡®à ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨ ॣã«ïà­ë墥⢥©à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à «®¢ ®â ä㭪権 ¤¥©á⢨⥫쭮£®¯¥à¥¬¥­­®£®, ᮤ¥à¦ é¨å à ¤¨ª «ë ¨«¨ «®£ à¨ä¬ë, ¯à¨å®¤¨âáï ¢ë¡¨à âì § ¬ª­ãâë© ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¨ ¨¬¥â줥«® á ¨­â¥£à « ¬¨ ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権. à¨ í⮬ ­ ¤® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã ­¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥­­®á⨠¯à¨¯®¤å®¤¥ ª à¥è¥­¨î â ª¨å § ¤ ç.1) — áâì ¢ë¡¨à ¥¬®£® ª®­âãà ¤®«¦­ ᮢ¯ ¤ âì á ®â१ª®¬,¯® ª®â®à®¬ã ¢¥¤ñâáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ § ¤ ­­®© ä㭪樨¤¥©á⢨⥫쭮£® ¯¥à¥¬¥­­®£®, ¨«¨ ®â१ª®¬ «î¡®© ¤«¨­ë,¥á«¨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « ¯® ¡¥áª®­¥ç­®¬ã¯à®¬¥¦ãâªã.2) …᫨ ¨­â¥£à « ᮤ¥à¦¨â «®£ à¨ä¬ ¨«¨ ª®à¥­ì, â® ¯à¨¤ñâáï¢ëç¨á«ïâì ¨­â¥£à « ¯® ª®­âãàã ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権.

€ ¬­®£®§­ ç­ ïäã­ªæ¨ï à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠áà §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï. ’ ª ª ª ¬ë å®â¨¬ ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ¯® ⮩ ¨«¨ ¤à㣮© ç á⨠¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨, â® ¢¥â¢¨ ¤®«¦­ë áãé¥á⢮¢ âì ¢ ¯«®áª®á⨠á131à §à¥§®¬ ¨¬¥­­® ¯® ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨. ®í⮬ã à §à¥§¨«¨ ¥£® ç áâì ¡ã¤¥â £à ­¨æ¥© ¡ã¤ã饣® ª®­âãà .3) ’ ª ª ª ⥮à¨ï ¢ëç¥â®¢ ¯à¨¬¥­ï¥âáï ª ¨­â¥£à « ¬ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã, â® ý§ ¬ëª ­¨¥þ ®áãé¥á⢫ï¥âáï â ª, çâ®,«¨¡® ¯® ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ª®­âãà ¬ ¨­â¥£à «ë ¡ã¤ãâ à ¢­ë0, «¨¡® ¬ë ¨å ᬮ¦¥¬ ¢ëç¨á«¨âì, «¨¡® ¨å §­ 祭¨ï ¨§¢¥áâ­ë.4) ¥£ã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨, ¯à¨¬¥­ï¥¬ë¥ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à «®¢ ®â ä㭪樨 ¤¥©á⢨⥫쭮£® ¯¥à¥¬¥­­®£®, íâ® ¢á¥£¤ ä㭪樨, ¯à¨­¨¬ î騥 ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ⮩¨«¨ ¨­®© ç á⨠¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨. áᬮâਬ ­ ¨¡®«¥¥p ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï ä㭪樨.2n1.

’ ª ª ª ¢á¥£¤ Pm (x) > 0, ⮠ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì f (z)p2nä㭪樨 Pm (z), ¯à¨­¨¬ îé ï ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ­¥ª®â®à®¬ ®â१ª¥ ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨, ¨¬¥¥â¢¨¤qf (z) =â. ª.¥á«¨2n|Pm (z)| epPm (x) =2n∆γ arg(Pm (z))n,parg(P2n (x+i0))n|Pm (x)| e> 0,2narg(Pm (x+i0))nâ®e= 1.p2. —â® ª á ¥âáï ä㭪樨 2n+1 Pm (z), â® á¨âã æ¨ï ¬®¦¥â¡ëâì ¤¢®ïª®© ) ¥£ã«ïà­ ï ¢¥â¢ì, ¯à¨­¨¬ îé ï ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥§­ 祭¨ï ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ ­ ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨,¨¬¥¥â ¢¨¤f (z) =q∆γ arg(Pm (z))n|Pm (z)| e.2n+1¡) ¥£ã«ïà­ ï ¢¥â¢ì, ¯à¨­¨¬ îé ï ®âà¨æ ⥫ì­ë¥§­ 祭¨ï ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ ­ ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨,¨¬¥¥â ¢¨¤q∆γ arg(Pm (z))n.f (z) = − 2n+1 |Pm (z)| eâ.

ª., ¥á«¨qPm (x0 ) =2n+1132q2n+1|Pm (x0 )| earg(Pm (x0 +i0))n< 0,arg(Pm (x +i0))0nâ® e= −1.3. ¥£ã«ïà­ ï ¢¥â¢ì Ln Pn (z), ¯à¨­¨¬ îé ï ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ x0 , ¨¬¥¥â ¢¨¤f (z) = ln |Pn (z)| + i∆γ arg Pn (z),â. ª., ¥á«¨Pn (x0 ) > 0, â® Ln Pn (z) = ln |P0 (z)| ++ i(arg Pn (z0 ) + ∆γ arg Pn (z)) ⇒ Ln Pn (x0 ) = ln |Pn (x0 )| ++ i arg Pn (x0 ), f (x0 ) = ln |Pn (x0 )| ⇒ arg Pn (x0 ) = 0.2.4.2.  ª®­âãॠ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ­¥â ®á®¡ëå â®ç¥ªà¨¬¥à 2.19.

‚ëç¨á«¨â¥Z10ydx.p5 22(x − 2) x (1 − x)3C ρ1l11x0l2à¨¤ñâá館¥âì ¤¥«® á ॣã«ïà­®©pCρ5 23¢¥â¢ìî z (1 − z) , ®­ áãé¥áâ¢ã¥â¨á. 2.35¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï z = 0 ¨ z = 1. ’ ª ª ª§ ¤ ­ ¨­â¥£à « ¯® ®â१ªã [0; 1], â® à §à¥§ ¯à®¢¥¤ñ¬ ¨¬¥­­® ¯®í⮬㠮â१ªã á ý¡¥à¥£ ¬¨þ l1 ¨ l2 . ˆ­â¥£à « ­¥á®¡á⢥­­ë© |¯®í⮬ã ý¨§®«¨à㥬þ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®ªà㦭®áâﬨ Cρ1 ¨ Cρ2 .®«ã稫áï ª®­âãà ­ à¨á.+ 2.35.dzã¤¥¬ à áᬠâਢ âì (z − 2), £¤¥ C = Cρ1 ∪l1 ∪Cρ2 ∪l2 ,2f (z)I2Cp f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 5 z 2 (1 − z)2 , ¯à¨­¨¬ îé ﯮ«®¦¨â¥«ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ¢¥àå­¥¬ ¡¥à¥£ã l1 à §à¥§ .

Характеристики

Список файлов книги