ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

¡)  §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ë √’¥©«®à ¨ ‹®à ­ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© P n (z)n…᫨ à áᬠâਢ âì ¬­®£®§­ ç­ãî äã­ªæ¨îqn(z + a)k (z + b)n−k ,â® ®­ à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 à §«¨ç­ë¥ ­ã«¨ ¯®¤ª®à¥­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï.98à®¢®¤ï ­ «®£¨ç­ë¥ à áá㦤¥­¨ï ¤«ï ª®­¥ç­®© â®çª¨z = c, ¯®«ã稬,çâ® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = c ¢¥â¢ì äã­ªp樨 f∗ (z) = n (z + a)k (z + b)n−k ∗ ¯à¨¬¥â ¢¨¤:qf∗ (z) = n (z + a)k (z + b)n−k ∗ ≡q≡ n (z + a − c + c)k (z + b − c + c)n−k ∗ ≡sz − c k z − c n−kn≡ (a + c)(b + c) 1 +1+∗ =a+cb+ckn−kqz − c n z − c nn= (a + c)(b + c)∗ 1 +1+.a+c 0b+c 0Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨â®çª¨ z = a «î¡ ï ¢¥â¢ìpnkf (z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 (z + a) (z + b)n−k ¨¬¥¥â ¢¨¤kn−kz − c n z − c nf (z) = f (c) 1 +1+(2.41).a+c 0b+c 0k− c n | â ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨£¤¥ g(z) = 1 + az +c 0 nk− c , ¤«ï ª®â®à®© g(c) = 1 ¨1 + az +ck∞z − c n X m z − c m=g(z) = 1 +Ck,a+c 0a+cn0|z − c| < |a + c|.’®çª z = ∞ ­¥ ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï, ¯®í⮬㠪 ¦¤ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà­ ¢ ­¥ª®â®à®¬ ª®«ìæ¥ ρ < |z| < ∞, ¨ ¥ñ¬®¦­® à ᪫ ¤ë¢ âì ¢ ­ñ¬ ¢ àï¤ ‹®à ­ .à¨¢¥¤ñ¬ ä®à¬ã«ë ¢á¥å ¢¥â¢¥© ª ¢¨¤ã, 㤮¡­®¬ã ¤«ï à áᬮâ७¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠∞:qf∗ (z) = n (z + a)k (z + b)n−k ∗ ≡sn!n−ka kbzn 1 +1+∗ .zz‚¨¤­®, çâ® «î¡ ï ¢¥â¢ì ¢ ∞ ¯à¨­¨¬ ¥â ®¤­® ¨§ §­ 祭¨©® íâ® §­ 祭¨¥ ¯® ¬®¤ã«î à ¢­® ∞ | à ¡®â âì á ­¨¬ ­¥¯à®áâ®.Œ®¦­® ¯®áâ㯠âì ¤¢®ïª®.√nzn.99√‚®-¯¥à¢ëå, ¢ ¯.

2.1.3, (2.20), ¯®ª § ­®, çâ® n z n | íâ®√ ä®à¬ã« 2πmiᮤ¥à¦¨â n à §«¨ç­ëå ®¤­®§­ ç­ëå ä㭪権: n z n == ze n . ®í⮬㠬®¦­® § ¯¨á âì, çâ®! n−kkanb nfm (z) = ze1+1+, m = 0, 1, . . . , (n − 1), (2.41∗ )z 0z 0 nk nkaa£¤¥ g(z) = 1 + z | íâ® â ¢¥â¢ì ä㭪樨 1 + z , ¤«ï2πmin0ª®â®à®© g(∞) = 1 ¨ a < 1 ⇐⇒ |z| > |a|.z k∞a n X l a lg(z) = 1 +=Ck,z 0n z0‚®-¢â®àëå,çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì à ¡®âë á ∞, ç áâ® à áᬠâà¨f (z) ¢ îâ z . ®¤à®¡­¥¥ á¬.

¢ ¯à¨¬¥à å.∞2.2.3. ¢)  §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ë r’¥©«®à ¨ ‹®à ­ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© QP (z)(z)nmmrm− a)…᫨ à áᬠâਢ âì äã­ªæ¨î n ab0 (zm , m < n, â® ®­ 0 (z − b)à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨­ïî騬 ­ã«¨ ç¨á«¨â¥«ï ¨ §­ ¬¥­ ⥫ï.ãáâì â®çª z = c ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â à §à¥§ã. ’®£¤ «î¡ â¢ì ॣã«ïà­ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠|z − c| < ρ (£¤¥ ρ |à ááâ®ï­¨î ®â â®çª¨ z = a ¤® à §à¥§ ) ¨ à §« £ ¥âáï â ¬ ¢àï¤ ’¥©«®à .‘ ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©, ­ «®£¨ç­ëå ¯à¥¤ë¤ã騬,¯®«ã稬, çâ®sf∗ (z) =100nsma0 (z − a)mn a0 (z − c + c − a)≡∗∗ ≡b0 (z − b)mb0 (z − c + c − b)mvumuuuz−cuut c − a m a0 1 + c − a≡ nm ∗ =c−bb0−c1 + zc −brmmz − c n z − c − nc − a m a0 = n1+=∗ 1+c−bb0c−a 0c−b 0mmz − c n z − c − n= f∗ (c) 1 +1+,c−a 0c−b 0rm«î¡ ï ¢¥â¢ì f (z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 n a0 (z − a)m ¢â. ¥.b0 (z − b)®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = c ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ª ¢¨¤ãmmz − c n z − c − nf (z) = f (c) 1 +1+.c−a 0c−b 0z = ∞ ­¥ ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï(2.42)’®çª ¤«ï äã­ªrm− a)樨 n ab0 (zm , ¯®íâ®¬ã «î¡ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà­ ¢ ­¥ª®â®à®¬0 (z − b)ª®«ìæ¥ ρ < |z| < ∞, ¨ ¥ñ ¬®¦­® à ᪫ ¤ë¢ âì ¢ ­ñ¬ ¢ àï¤ ‹®à ­ :vuuuuuutma1−za0 (z −n a0f∗ (z) = nm ∗ =∗ ≡mb0b0 (z − b)1 − zb!− m!− mrmma0 a nb nb na nn1−1−= f∗ (∞) 1 −,=∗ 1−b0z 0z 0z 0z 0rmâ.

¥. «î¡ ï ¢¥â¢ì f (z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 n a0 (z − a)m ¢sa)mb0 (z − b)®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ª ¢¨¤ã!− mmb na n1−.f (z) = f (∞) 1 −z 0z 02.2.3. £)  §«®¦¥­¨¥ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©m < n ¢ àï¤ ’¥©«®à pn(2.43)Pm (z),…᫨ á⥯¥­ì ¬­®£®ç«¥­ Pm (z)p ¬¥­ìè¥ n, â® z = ∞ ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ä㭪樨 n Pm (z), m < n, ¨ «î¡ ï ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠«î¡®© â®çª¨ c, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ 饩 à §à¥§ã, ᮥ¤¨­ïî饬ã à §«¨ç­ë¥ ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­ Pm (z) ¨ ∞.101r2.2.3. ¤)  §«®¦¥­¨¥ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© QPk < n, m < n, k 6= m ¢ àï¤ ’¥©«®à nk (z)m (z),…᫨ á⥯¥­ì ç¨á«¨â¥«ï ­¥ à ¢­ á⥯¥­¨ r§­ ¬¥­ ⥫ï, â®P (z)z = ∞ ï¥âáï â®çª®© ¢¥â¢«¥­¨ï ä㭪樨 n k, k < n,Qm (z)m < n, k 6= m, ¨ «î¡ ï ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 à §« £ ¥âáï¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠«î¡®© â®çª¨ c, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¥©à §à¥§ã, ᮥ¤¨­ïî饬㠭㫨 ç¨á«¨â¥«ï, §­ ¬¥­ â¥«ï ¨ ∞.2.2.4.

ï¤ë ’¥©«®à ä㭪権 (1 + x2 )α ¨ (1 + z 2 )α ,ln(1 + x2 ) ¨ ln(1 + z 2 )ˆ§¢¥áâ­®, çâ® àï¤ë ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠x = 0 ä㭪権¨ ln(1 + x) ¨¬¥îâ à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨, à ¢­ë© 1. â®¥áâ¥á⢥­­®, â. ª. ¯à¨ x = −1 ¯à®¨§¢®¤­ë¥, ­ 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® n, áâ ­®¢ïâáï ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¬¨.® ¯®ç¥¬ã ¨ ã ä㭪権 (1 + x2 )α ¨ ln(1 + x2 ) à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨ à ¢¥­ 1? ‚¥¤ì í⨠ä㭪樨 ¡¥áª®­¥ç­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë ­ ¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨.

 íâ®â ¢®¯à®á ­ 1-®¬ ªãàᥠ®â¢¥â ­¥â.yŒ­®£®§­ ç­ë¥ ä㭪樨 (1 + z 2 )α , α 6= 12 ¨iLn(1 + z 2 ) ¨¬¥îâ ¯® âਠâ®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï:z = ±i, z = ∞. ®í⮬ã à ᯠ¤ îâáï ­ x ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬,0¨å ᮥ¤¨­ïî騬. à®¢¥¤¥¬, ¤«ï ¯à¨¬¥à ,à §à¥§ ¯® «ãç ¬ ¬­¨¬®© ®á¨: (−i∞; −i] ∪∪ [i; +i∞) (á¬. à¨á. 2.18), çâ®¡ë ¢¥â¢¨ á㐨á. 2.18é¥á⢮¢ «¨ ­ ®á¨ Ox. áᬮâਬ á­ ç « f (z) | âã ¢¥â¢ì (1 + z 2 )α , ¤«ï ª®â®à®©f (0) = 1.

’®£¤ íâ ¢¥â¢ì ®¯à¥¤¥«¥­ , ¢ ç áâ­®áâ¨, ­ ¢á¥©¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨ ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â â ¬ á ä㭪樥© f (x) = (1 ++ x2 )α (¯à®¢¥àìâ¥!)”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = 0, §­ ç¨â, à §« £ ¥âáï â ¬ ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ z .  ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨àï¤ à ¢¥­ à ááâ®ï­¨î ¤® ¡«¨¦ ©è¥© ®á®¡®© â®çª¨, â. ¥. |z| <(1 + x)α102< 1.€ ¢®â ýá«¥¤®¬þ f (z) ­ ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨ ï¥âáïäã­ªæ¨ï f (x) = (1 + x2 )α , §­ ç¨â, ®­ à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ à裸¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ x ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ (−1; 1), çâ® ª ª à § ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á १ã«ìâ ⮬ 1-£® ªãàá ¨ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ®¡êïá­ï¥â â®,¯®ç¥¬ã à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨ à ¢¥­ 1 (­¥á¬®âàï ­ â®, çâ® äã­ªæ¨ï ¡¥áª®­¥ç­® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ ¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨!).’¥¯¥àì ¯®¯à®¡ã¥¬ à §«®¦¨âì f (x) = (1 + x2 )α ¯® á⥯¥­ï¬à §­®á⨠(x − a), £¤¥ a 6= 0, a ∈ R.

‚ᥠ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ â®çª¥x = a áãé¥áâ¢ãîâ, §­ ç¨â, ¬®¦­® § ¯¨á âì, çâ® àï¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤∞ f k (a)P(x − a)k . ® á室¨âáï «¨ àï¤, , ¥á«¨ á室¨âáï, â® £¤¥ ¨k!0ª 祬ã, ¯¥à¢®ªãàá­¨ª ᪠§ âì ­¥ ᬮ¦¥â. à®¨§¢¥¤ï ®¡ëç­ãî§ ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå: t = x − a, ¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠äã­ªæ¨î ª¢¨¤ã!αt2 + 2at2 α2 α˜f (x) = 1 + ((x − a) + a)⇐⇒ f (t) = (1+a ) 1 +.1 + a222at ­¥ à §« £ ¥âáï ­ «¨­¥©® ª¢ ¤à â­ë© âàñåç«¥­ 1 + t1 ++ a2­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨ á ¤¥©á⢨⥫ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨, ¯®í⮬ãᢥá⨠ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¨§¢¥áâ­ëå à冷¢ ­¥«ì§ï.®¯à®¡ã¥¬ ᤥ« âì íâ® á ¯®¬®éìî ’”Š.yI ’ ª ª ª (1+z 2 )α à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬i(á¬.

à¨á. 2.19), â® «î¡ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà­ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = a, a 6= 0, a ∈ Rax0¨ à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ à §­®á⨠z−a, à ¤¨ãá ª®â®à®£® à - −i¢¥­ à ááâ®ï­¨î ®â 業âà à §«®¦¥­¨ï¤® ¡«¨¦ ©è¥© ®á®¡®© â®çª¨,√â. ¥. à ¨á. 2.19¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ à ¢¥­ a2 + 1.’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ®â¢¥â¨âì ­ ¢®¯à®áë ¯¥à¢®ªãàá­¨ª : â ªª ª f (x) = (1 + x2 )α ï¥âáï á«¥¤®¬ f (z) ­ ®áì Ox, â® f (x) == (1 + x2 )α à §« £ ¥âáï ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨a 6= 0,√a ∈ R, ¨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠í⮣® àï¤ à ¢¥­ a2 + 1.®á¬®âਬ, ª ª ¢ë£«ï¤¨â àï¤ ¢ ’”Š.103’ ª ª ª(1 + z 2 )α = ((z + i)(z − i))α ≡ ((z − a + a + i)(z − a + a − i))α ≡z − a z − a α≡ (a + i)(a − i) 1 +1+=a+ia−iz − a α z − a α= (a2 + 1)α∗ 1 +1+,a+i 0a−i 0 f (a) = (1 + a2 )α∗ , â®z − a α z − a α.f (z) = f (a) 1 +1+a+i 0a−i 0α ᨧ ¬­®¦¨â¥«¥© 1 + za −+ ai 1 + za −− aiŠ ¦¤ë©à §« £ 00¥âáï ¢ ᢮© àï¤ ’¥©«®à ,√­® ®¡ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ à ¤¨ãáá室¨¬®á⨠R = |a ± i| = a2 + 1.Ž¡®§­ 稬, ¤«ï 㤮¡á⢠, z − a = t, a + i = b, a − i = b.’®£¤ !αt αt1+1+=b 0b 0!α(α − 1) .

. .(α − k + 1)t α(α − 1)t2= 1+α ++ ... ++ ... ×b2!b2k!bkα(α − 1) . . .(α − k + 1)t α(α − 1)t2 =+ ... ++...× 1 + α +2kb2!bk!b α(α − 1)  11 1  b + b 22 2 + 2  + α + . . .= 1 + αt  + t 2!bbbbbb‚¨¤­®, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï ¤¥©á⢨⥫ì­ë. ‡ ¯¨á âì ®¡é¨© ç«¥­ ¬®¦­®, ­® ®­ ¢ë£«ï¤¨â £à®¬®§¤ª®. Žâáî¤ ,¢ ç áâ­®áâ¨, ¢¨¤­®, çâ® f (x) = (1 + x2 )α , ª ª á«¥¤ f (z), ¨¬¥¥â¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ x = a ¢¨¤x − a αx − a α 1+f (x) = (a2 + 1)α 1 +,a+ia−iª ¦¤ë© ¬­®¦¨â¥«ì ª®â®à®£® ï¥âáï ¡¨­®¬®¬, ­® á ª®¬¯«¥ªá­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ (í⮣® ­ 1-®¬ ªãàᥠ­¥ ¯à®å®¤ïâ). J®«¥¥ ¨­â¥à¥á­ë¬, â.

ª. ¯®«ãç¨âáï å®à®è¨© àï¤, ¡ã¤¥â à襤«ï ln(1 + x2 ) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠x = a 6= 0, a ∈ R.104®-¯à¥¦­¥¬ã à §«®¦¨âì ¯®¤«®£ à¨ä¬¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥­ «¨­¥©­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨ á ¤¥©á⢨⥫ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨­¥¢®§¬®¦­®. ®í⮬㠨 à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¢ ãá«®¢¨ïå à ¡®âë ¢R ⮦¥ ­¥ ¯®«ãç¨âáï.

’ ª ª ª â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï Ln(1 + z 2 ) ⥦¥, çâ® ¨ ã (1 + z 2 )α , â® à §à¥§ ®áâ ¢¨¬ â®â ¦¥ (á¬. à¨á. 2.18).’ ª ª ªILn∗ (1 + z 2 ) ≡ Ln∗ (z + i)(z − i) ≡ Ln∗ (z − a + a + i)(z − a + a − i) ≡z − a z − a≡ Ln∗ (a + i)(a − i) 1 +1+=a+ia−iz−az − a= Ln∗ (a2 + 1) + ln 1 ++ ln 1 +,a+ia−iâ®z − az − af (z) = ln(a + 1) + ln 1 ++ ln 1 +=a+ia−i!∞X(−1)k−1 (z − a)k (a − i)k + (a + i)k2= ln(a + 1) +=k(a2 + 1)k12= ln(a2 + 1) + 2∞X(−1)k−1 (z − a)k cos kα,|z − a| <ln(1 + x2 ) =∞X(−1)k−1 (x − a)k cos kα,ln(a2 + 1) + 2kk(a2 + 1) 21|x − a| <1k(a2£¤¥ sin α = √ 21 , cos α =a +1Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®+ 1)k2pa2 + 1,√ a.a2 + 1pa2 + 1,£¤¥ sin α = √ 21 , cos α = √ 2a .a +1a +1®«ã稫áï ýªà ᨢë©þ àï¤!J’ ª ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ ®¡êïá­ïîâáï ¨à §à¥è îâáï á ¯®¬®éìî ’”Š.’¥¯¥àì ¡ã¤¥¬ à¥è âì ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ § ¤ ç¨.à¨¬¥à 2.7.

ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 e−z · Ln(z − 1) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©γ : z = 1 − it, t > 0 â ª ï, çâ® f 00 (0) = 1 − iπ .  ©¤¨â¥ ¯¥à¢ë¥âਠ童­ à §«®¦¥­¨ï f (z) ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬ (z − 2).105yŒ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï e−z Ln(z −1)¨¬¥¥â, ᮣ« á­® ¯. 2.1.2, ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥âi¢«¥­¨ï: z = 1, z = ∞, §­ ç¨â, à ᯠ¤ ¥âáï ­ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠áx ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ à §à¥§®¬, ¨å ᮥ¤¨­ïî02騬. ‡ ¤ ­­ë© à §à¥§ 㤮¢«¥â¢®àï¥â−ií⮬ã ãá«®¢¨î (á¬. à¨á.

Характеристики

Список файлов книги