ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.20). ¤ ç «î¡®¯ëâ ï, ¯®â®¬ã çâ® ¨¨á. 2.20ä®à¬ã« äãªæ¨¨ ¥ ᮢᥬ ®¡ëç ï,¨ ãá«®¢¨¥ ¢ë¤¥«¥¨ï ¢¥â¢¨ ¥ áâ ¤ à⮥. 㤥¬ à áᬠâਢ âì (e−z · Ln(z − 1))ez , çâ®¡ë ¯à¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¨ ¥¯®ï¢«ï«áï Ln(z − 1).®í⮬ã f∗ (z)ez = Ln(z − 1)∗ = ln |z − 1| + i(ϕ0 + ∆ϕ), ϕ0 == arg(z0 −1). â®¡ë ©â¨ ϕ0 , ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ãá«®¢¨¥¬ § ¤ ç¨:If (z)ez = Ln(z − 1)∗ ⇒ f (z)ez + f 0 (z)ez =1⇐⇒z−11− f (z)ez ⇒z−11⇒⇒ 2f 0 (z)ez + f (z)ez + f 00 (z)ez = −(z − 1)212⇒ f 00 (z)ez = −−+ f (z)ez .(z − 1)2 z − 1⇐⇒ f 0 (z)ez =® ãá«®¢¨î,f 00 (0) = 1 − iπ = 1 + f (0) ⇐⇒ f (0) = −iπ ⇒⇒ f (0) = iϕ0 = −iπ ⇒f (z)ez = ln |z − 1| + i(−π + ∆ϕ). ©¤ñ¬ f (2): f (2)e2 = −2πi.¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ä®à¬ã«ë ¢¥â¢¥© ª ¢¨¤ã, 㤮¡®¬ã ¤«ïà áᬮâà¥¨ï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = 2:f∗ (z)ez = Ln∗ (z − 1) = Ln∗ (z − 2 + 1) = Ln∗ 1 + ln(1 + (z − 2)) ⇒⇒ f (2)e2 = Ln∗ 1 ⇒ f (z) = (−2πi + ln(1 + (z − 2)))e−z . ª ª ª f (z) ॣã«ïà ¢ ®ªà¥áâ®á⨠|z − 2| < 1 â®çª¨ z == 2, â® à §«®¦¨¬ ¥ñ ¢ àï¤ ¥©«®à .
¡é¨© ç«¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ïà冷¢ § ¯¨á âì § âà㤨⥫ì®.106®í⮬㠮⢥⨬ ¢®¯à®á § ¤ ç¨ | ©¤ñ¬ ¯¥à¢ë¥ âà¨ç«¥ :f (z) = (−2πi + ln(1 + (z − 2)))e−2 e−(z−2) =!(z − 2)2= e−2 −2πi + (z − 2) −+ o((z − 2)2 ) ×2!2(z − 2)2× 1 − (z − 2) ++ o((z − 2) ) =2= e−2 −2πi + (1 + 2πi)(z − 2) − (πi + 1, 5)(z − 2)2 + o (z − 2)2 .⢥â.e−2 −2πi + (1 + 2πi)(z − 2) − (πi + 1, 5)(z − 2)2 + o (z − 2)2 . Jਬ¥à 2.8. ãáâì f (z) | ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨ Ln(z + iz 2 ) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯®π ¯®«®¦¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨ ¨ ®â१ªã [0; i], â ª ï, çâ® Im f e−i 6 = 0.a) §«®¦¨â¥ f (z) ¢ àï¤ ¥©«®à ¢ ªà㣥 á æ¥â஬ ¢ â®çª¥1 + 2i .πb) ©¤¨â¥ á㬬ã àï¤ ¢ â®çª¥ z = e−i 6 .c) ª ¦¨â¥ ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ z = 1 + 2i , ¢ ª®â®à®© S(z) == f (z).d) ª ¦¨â¥ ®¡« áâì, ¢ ª®â®à®© S(z) = f (z).I «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï Ln(z + iz 2 ) ¨¬¥¥â, ª ª ¯®ª § ®¢ ¯.
2.1.6, âਠâ®çª¨ ¢¥â¢«¥¨ï: z = ∞, z = 0, z = i. ç¨â,® à ᯠ¤ ¥âáï ॣã«ïàë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬,ᮥ¤¨ïî騬 í⨠â®çª¨ | § ¤ ë© à §à¥§ í⮬ã ãá«®¢¨î㤮¢«¥â¢®àï¥â (á¬. à¨á. 2.21). ª ¨§¢¥áâ®, ¢®¯à®á ®¡ ®âë᪠¨¨ ®¡« á⨠á室¨¬®áâ¨àï¤ ¥©«®à ¨«¨ ®à à¥è ¥âáï ¡¥§ 宦¤¥¨ï ª®íä䍿¨¥â®¢ à冷¢ | ¢ ¦ë «¨èì ᢮©á⢠äãªæ¨¨.¨¤®à¨á.
(á¬. 2.22), çâ® «î¡ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà ¢ ®ªà¥áâi®á⨠z − 1 + 2 < 12 , § ç¨â, ® à §« £ ¥âáï ¢ ¥© ¢ à拉©«®à . ® à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ ¥©«®à , ¯®áâ஥®£®i¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ z = 1 + 2 à ¢¥ à ááâ®ï¨î ®â æ¥âà 107−1yyy2i2i2iiii01−i2x120−i¨á. 2.21x012x−i¨á. 2.22¨á. 2.23à §«®¦¥¨ï√ ¡«¨¦ ©è¥© ®á®¡®© â®çª¨. 襬 ¯à¨¬¥à¥ ¤®iR = 1 + 2 = 25 (á¬.
à¨á. 2.22).ï¤ ¥ ýçã¢áâ¢ã¥âþ à §à¥§ | ® ¬®£ ¯®©â¨, ¯à¨¬¥à, ¯®®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨ ¨ «ãçã [1; +i∞).¡®§ 稬 á㬬ã àï¤ S(z).á) ®£¤ , ¥á«¨ £®¢®à¨âì ®¡ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ z = 1+ 2i , ¢ ª®â®à®© S(z) = f (z), â® S(z) = f (z) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z − 1 + 2i << 12 (á¬. à¨á. 2.22).d) ᫨ £®¢®à¨âì√ ¢ ª®â®à®© S(z) = f (z), â® ®¡ ®¡« áâ¨,íâ® ç áâì ªà㣠z − 1 + 2i < 25 , ®£à ¨ç¥ ï £à ¨æ ¬¨à §à¥§ (á¬. à¨á. 2.23).¥¯¥àì ¯¥à¥©¤ñ¬ ª ¯ãªâã ).1.
©¤ñ¬ ä®à¬ã«ã ¢¥â¢¨. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î, f∗ (z) == Ln∗ iz(z − i) = ln |iz(z − i)| + i(ϕ0∗ + ∆ϕ1 + ∆ϕ2 ). ª ª ªπIm f e−i 6 = iϕ0 = 0, â®f (z) = ln |iz(z − i)| + i(∆ϕ1 + ∆ϕ2 ),∆ϕ1 = ∆ arg z,∆ϕ2 = ∆ arg(z − 1).2. ਢ¥¤ñ¬ ¢á¥ ¢¥â¢¨ ª ¢¨¤ã, 㤮¡®¬ã ¤«ï à áᬮâà¥¨ï¢ ®ªà¥áâ®á⨠æ¥âà à §«®¦¥¨ï:Ln∗ (z + iz 2 ) ≡ Ln∗ iz(z − i) ≡!!!!!!iiii≡ Ln∗ i z − 1 ++ 1+−i + z − 1 ++ 1+2222 ∗| ¢ëà ¦¥¨¥ £à®¬®§¤ª®¥.108¤¥« ¥¬ § ¬¥ã, ¯®«®¦¨¢ t = z −¯®«ã稬1 + 2i , 1 + 2i = a.®£¤ Ln∗ i(t + a)(t + a) ≡tt5i tt≡ Ln∗ iaa 1 +1+≡ Ln∗1+1+=aa4aa5itttt= Ln∗ + ln 1 + + ln 1 += f∗ (0) + ln 1 + + ln 1 +.4aaaa3.
©¤ñ¬ f 1 + 2i = f (t)|t=0 .!i5π1f 1+= ln − i 2π − − arctg +2462!π51 π 7π= ln − i− arctg −.+ 2π −22 6424. ¥¯¥àì ¬®¦® § ¯¨á âì àï¤ ¥©«®à :∞X(−1)n−1 tn 11S(t) = f (0) ++=nan ann=17π X (−1)5= ln − i+42n=1∞¨«¨S(z) = lnn−1 22n+1 tn cos n arctgn212√,|t| <5,25 nn1∞ (−1)n−1 22n+1 z − 1 − iX2 cos n arctg 257π−i+42n=1n52 nz − 1 −, √i5<.22b) ©¤ñ¬ á㬬ã àï¤ ¢ â®çª¥ z = e−i 6 .®¤áâ ¢¨¬ ¢ ä®à¬ã«ã S(z) = ln |iz(z − i)| + i(ϕ0 + ∆ϕ1 ++ ∆ϕ2 ), ϕ0 = (arg(iz(z − i)))1+ i , ¨§¢¥á⮥ § 票¥ S 1 + 2i2π¢ æ¥âà¥ à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤, £¤¥iiS 1+ 2 =f 1+ 2 :!!!iii 5 7π7πS 1 + = ln i 1 +1 − +i(ϕ0 ) = ln −i⇒ ϕ0 = −.222422®í⮬ã S(z) = ln |iz(z − i)| + i − 7π+∆ϕ+∆ϕ12 .2109 ©¤ñ¬ ¯à¨à 饨ï à£ã¬¥â®¢, ¯à®©¤ï ¯® ¯àאַ© ®â æ¥− πi6 ,âà ªà㣠¤®z=e â®çª¨√3â. ¥.
®â 1; 12 ¤® 2 ; − 12 (á¬.à¨á. 2.24):y2ii−10123x−i¨á. 2.24®«ã稬:π1∆ϕ1 = −+ arctg ,62π1 π∆ϕ2 = −− arctg −.22 6 πS e−i 6 = 12 ln 3 − 4πi.⢥â. 12 ln 3 − 4πi.Jਬ¥à 2.9.r ãáâì f (z) | ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨z −9z 2 − 1z2¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®© γ : i = 5 , Im z > 0, â ª ï, çâ® f i = √13.4122 ) §«®¦¨â¥ f (z) ¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ z®á⨠z = ∞.¢ ®ªà¥áâ-¡) ©¤¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®á⨠¯®«ã祮£®àï¤ .¢) ëç¨á«¨â¥ á㬬ã àï¤ ¢ â®çª¥ z = 2i .£) ª ¦¨â¥ ª®«ìæ®, ¢ ª®â®à®¬ á㬬 àï¤ à ¢ f (z).I ¤ ç ¥ á ¬ ï ¯à®áâ ï.
ª¨¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥¨ï ã äãªæ¨¨?¥à¢ë© ᯮᮡ. ç¨á«¨â¥«¥ ¤¢ ª®àï à §«¨çë¥. § ¬¥ ⥫¥ ª®à¨ ®¤¨ ª®¢ë | íâ® § ç¨â, çâ® ¯®á«¥ ®¡å®¤ z = 0 ¯à¨à 饨¥ à£ã¬¥â rz à ¢® 4π , ¨ § 票¥ ¥ ¨§¬¥2¨âáï. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 9z z 2− 1 ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¤¢¥ â®çª¨¢¥â¢«¥¨ï: z = ± 13 ¨, ¢ ᨫ㠯।ë¤ã饣® ¯ãªâ , à ᯠ¤ ¥âáï ॣã«ïàë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ¨å ᮥ¤¨ïî騬. ¤ ë© à §à¥§ 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⮬ã ãá«®¢¨î (á¬.à¨á.
2.25 ).110yyi− 13−1yi131x−1− 13 0i131x− 23−123− 13 0131x−i¨á. 2.25 r¨á. 2.25¡¨á. 2.25¢® ®¯à¥¤¥«¥¨î,s 9z 2 − 1 i(ϕ0 +∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 −2∆γ ϕ3 )−1e2= ⇒ z 2 z2 ∗!√√i(ϕ0 )i(ϕ0 )i⇒f= 13 = 13e 2 ⇐⇒ e 2 = 1 ⇒2s 9z 2 − 1 i(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 −2∆γ ϕ3 )e2⇒ f (z) = . z 2 9z 2î¡ ï ¢¥â¢ì, ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ 襩 ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬,ॣã«ïà ¢ ª®«ìæ¥ 23 < |z| < ∞, ¯®í⮬ã à §« £ ¥âáï ¢ ñ¬ ¢àï¤ ®à . ¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¢¥â¢ì ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞:rr 11√ 1 29z 2 − 11 1 2≡ 9 1 − 2 = 9∗ 1 − 2 = f∗ (∞) 1 − 2 .z2 ∗9z ∗9z 09z 0 ©¤ñ¬ f (+∞):13∆γ ϕ1 = ∆γ arg z += − arctg ,3231= π + arctg ,∆γ ϕ2 = ∆γ arg z −32πiπ∆γ ϕ3 = ∆γ arg z = − ⇒ f (+∞) = 3e = −3 ⇒121 2⇒ f (z) = −3 1 − 2 .9z 0 121 §«®¦¨¬ −3 1 − 2 ¢ àï¤ ®à 9z01∞X(−1)k1 2−3 1 − 2 = −3C k1,9z 02 (9z 2 )k01< |z| < ∞.3111ï¤ á室¨âáï ¢ ª®«ìæ¥ 13 < |z| < ∞ (á¬.
à¨á. 2.25¡ ),® ¥£® á㬬 á f (z) ⮫쪮 ¢ ®¡« á⨠D =S(z) ᮢ¯ ¤ ¥â51i= R2 \ z − 2 < 12 ∪ |z| < 3 (á¬. à¨á. 2.25¢ ). ᫨ £®¢®à¨âì ® ⮬, ¢ ª ª®¬ ª®«ìæ¥ ®¨ ᮢ¯ ¤ îâ, â® S(z) = f (z) =∞P(−1)k 5= −3 C k1, + 1 = 23 < |z| < ∞ (á¬. à¨á.
2.25¢ ). ¥¯¥àì(9z 2 )k 12 40 2¡ã¤¥¬ ¨áª âì S 2i . §à¥§ ¬ë § ¤ «¨ ¯® ᢮¥© ¢®«¥, à勞®áâ஥ ¯® ý¯®¢¥¤¥¨îþ ¢¥â¢¨ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠∞ ¨ ¨¬¥¥â ᢮ñª®«ìæ® á室¨¬®á⨠| ® ¥ ý¢¨¤¨âþ à §à¥§ | à ¤¨ãá ¢ãâ॥© £à ¨æë ª®«ìæ ý¤¨ªâãîâþ ®á®¡ë¥ â®çª¨ z = ± 13 . à §à¥§ ¢¯®«¥ ¬®£ 室¨âìáï ¢ãâਠªà㣠|z| < 31 .¨¤®, çâ® ¯à¨ «¨ç¨¨ à §à¥§ ý¯à®¤¢¨ãâìáïþ ¨§ ∞, £¤¥¨§¢¥áâ® § 票¥ S(∞), ¢ â®çªã z = 2i , ¬¨ãï ¢ãâ८áâìªà㣠|z| < 13 , £¤¥ S(z) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¥¢®§¬®¦®.
©¤ñ¬ä®à¬ã«ã S(z) ¢ ª®«ìæ¥ |z| > 13 :r9z 2 − 1=z 2 ∗∗s 9z 2 − 1 i(ϕ0 +∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 −2∆γ ϕ3 )e2. z 2 ª ª ª S(∞) = −3 = 3ei(ϕ0 )2i(ϕ0 )2= −1, â®s! 9z 2 − 1 i(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 −2∆γ ϕ3 )√i2e⇒S= − 13,S(z) = − 2 z2yâ. ª.i−1− 13i2γ013¨á. 2.26 ⇐⇒ e∆γ ϕ1 = arctg 32 , ∆γ ϕ2 == π − arctg 32 , ∆γ ϕ3 = π2 , £¤¥∆γ ϕi | ¯à¨à 饨¥ ᮮ⢥â-áâ¢ãî饣® ¢¥ªâ®à ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¨§ z = +∞ ¢ â®çªã z =1 x= 2i (á¬. à¨á. 2.26).⢥â.−3∞P0C k121 < |z| < ∞; S i = −√13; S(z) = f (z), 2 < |z| < ∞.323112(−1)k,(9z 2 )kJIrâ®à®© √ᯮᮡ. ¤ çã ¬®¦® ®ä®à¬¨âì ¨ ¯®-¤à㣮¬ã. ª ª ªz n = ze n , k = 0, 1, .
. . , (n − 1), â®√√9z 2 − 19z 2 − 1∗9z 2 − 1∗==⇐⇒√2πkiz2 ∗z2ze 2r√9z 2 − 1⇐⇒ z= e−πki 9z 2 − 1∗ ,2z∗n2πkik = 0, 1.®£¤ , ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î,pi(ϕ0∗ +∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )2zf (z) = e−πki |9z 2 − 1| e⇒√!√i(ϕ0∗ )iii13 −πki i(ϕ0∗ )=ee 2 ⇐⇒ e−πki e 2 = i ⇒13 =⇒ f2222pi(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )2⇒ f (z)z = i |9z 2 − 1|e⇒pi(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )2i |9z 2 − 1| e⇒ f (+∞) ==rz i(∆γ ϕ1 +∆γ ϕ2 )2i|z| 9 − 12 ez== −3.|z| ®ªà¥áâ®á⨠∞:r119z 2 − 11 21 2= f∗ (∞) 1 − 2 ⇒ f (z) = −3 1 − 2 , z ∈ D.z2 ∗9z 09z 0 «¥¥, ª ª ¢ ¯¥à¢®¬ ᯮᮡ¥.Jਬ¥à 2.10.ãáâìf(z)|ॣã«ïà â¢ì¬®£®§ çp®© äãªæ¨¨ 3 z(2 − z)2 ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ®â१ªã[0; 2], â ª ï, çâ® f (1 + i0) = 1. ) §«®¦¨â¥ f (z) ¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ z ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞.¡) ©¤¨â¥ f 0 (3).pI «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï 3 z(2 − z)2 ¨¬¥¥â ¤¢¥ â®çª¨ ¢¥â¢«¥¨ï: z = 0, z = 2. ç¨â, ® à ᯠ¤ ¥âáï ॣã«ïà륢¥â¢¨ ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬, ᮥ¤¨ïî騬 í⨠â®çª¨ | § ¤ ë© à §à¥§ í⮬ã ãá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â (á¬.
à¨á. 2.28).¨¤® (á¬. à¨á. 2.27), çâ® «î¡ ï ¢¥â¢ì ॣã«ïà ¢ ª®«ìæ¥2 < |z| < ∞ | § ç¨â, à §« £ ¥âáï ¢ ñ¬ ¢ àï¤ ®à .113yy2i2ii−3−2−11230γix−1−i01234x−i−2i¨á. 2.27¨á. 2.28¥à¢ë© ᯮᮡ.1. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î (¬ë ¢ë¢¥«¨ ¨ ä®à¬ã«ã, ® § 祬 ¯®¬¨âì â®, çâ® ¬®¦® ¥ ¯®¬¨âì?),qf∗ (z) =3z(2 − z)2® ãá«®¢¨î,f (1 + i0) = 1 = 1 · eiϕ03∗=q ϕ0 +∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23 3z(2 − z)2 ei.q ∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23⇒ f (z) = 3 z(2 − z)2 ei.2. ਢ¥¤ñ¬ ¢á¥ ¢¥â¢¨ ª ¢¨¤ã, 㤮¡®¬ã ¤«ï à áᬮâà¥¨ï¢ ®ªà¥áâ®á⨠æ¥âà à §«®¦¥¨ï.
¨¤®, çâ® ¬®¤ã«ì f (z) ¢∞ à ¢¥ ∞. í⨬ ¥ ¢á¥¬ 㤠ñâáï á¯à ¢¨âìáï.®í⮬ã à áᬮâਬ f (z)z :s!222f (z)f∗ (z) 1323232 1 √3 3 == z 3 1 −1−=1−.z∗zzz zz 0zz 0∗ ª ª ªqp3 32z(2 − z)2 ∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ2z(2 − z)f∗ (z)∗3,=eiz =zzf (z) 1 √3 3 z ==z +∞z+∞q3 z(2 − z)2 |z|ei∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23= ei114â®=∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23= ei0−2π3. 23∞Pn n(−1) 2C n2, |z| >®í⮬ã f (z) = ze−i 3 1 − z2 = e− 3z n−10n=0 3> 2 ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = ∞.∞2πi P(−1)n 2n ) ⢥â.
e− 3C n2, |z| > 2.z n−1n=0 3â®à®© ᯮᮡ. (¤«ï ¡®«¥¥ ýᬥ«ëåþ).1. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î,2πq3z(2 − z)2 =q ϕ0 +∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23 3z(2 − z)2 ei.® ãá«®¢¨î,f (1 + i0) = 1 = 1 · ei2πiϕ03⇒ f (z) =q ∆γ ϕ1 +2∆γ ϕ23 3z(2 − z)2 ei.2. ©¤ñ¬ f (∞).√2πki®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® n z n ∗ = e n z , k = 0, 1, 2, . . . ,(n − 1) | íâ® n ®¤®§ çëå äãªæ¨© (á¬. ¯. 2.1.3).®£¤ sq3z(2 −z)2∗≡3z32√32 22331−=∗ = z ∗ 1−zz 022πki23= ze 3 1 −,z 0¤ñ¬ ¢ +∞:=e−i 2π3f (+∞) = +∞ · ei 232πi⇒ f (z) = e− 3 z 1 − z2 .0−2π3=e2πki3k = 0, 1, 2.· +∞ ⇐⇒ e2πki3=0®¦® ¯®©â¨ ¨ ¢ −i∞, ¯à¨¬¥à:f (∞) = f (−i∞) = +∞ · ei3π +π23= −i∞ · e2πki3⇐⇒ e2πki3= e−2πi3.®¤áâ ¢«ï¥¬ ¨ ¯®«ãç ¥¬ â®â ¦¥ १ã«ìâ â:f (z) = e− 2πi3223z 1−.z ∗¥¯¥àì ©¤ñ¬ f 0 (3):f 3 (z) = z(z − 2)2 ⇐⇒⇐⇒ 3f 2 (z)f 0 (z) = (z − 2)2 + 2z(z − 2) ⇐⇒ f 0 (3) =73f 2 (3).115 ©¤ñ¬ f (3):¡) ⢥â.f (3) =√7 3 3 ei 4π3 .9√3√3 i 0−2π4π3e 3 ⇒ f 0 (3) = 7 9 3 ei 3 .J§ 2.3.ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢®â ॣã«ïàëå ¢¥â¢¥©à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¤® ¢á¯®¬¨âì ä®à¬ã«¨à®¢ªã â¥®à¥¬ë ® ¢ëç¥â å.¥®à¥¬ .
ãáâì ¢ ®¡« á⨠D ⊂ C á ªãá®ç®-£« ¤ª®© £à ¨æ¥© äãªæ¨ï f (z) ॣã«ïà ¢áî¤ã, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, ª®¥ç®£® ç¨á« ¨§®«¨à®¢ ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª ®¤®§ 箣® å à ªâ¥à a1 , a2 , . . . , an ¨ f (z) ¥¯à¥àë¢ D. ®£¤ Zf (z) dz = 2πinXk=1∂Dres f (z).z=ak¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® à¥çì ¨¤ñâ ®¡ ®¤®§ çëåäãªæ¨ïå.