ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

3.54¡ .‚ ª â «®£¥ í«¥¬¥­â à­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© £®à¨§®­â «ì­ë¥ ¯®«®áë ®â®¡à ¦ îâáï á ¯®¬®éìî w = ez . ®í⮬㠯®¢¥à­ñ¬­ èã ¯®«®áã ­ 㣮« π2 , à áâï­¥¬ ¤® è¨à¨­ë 2π ¨ ¯®¤­¨¬¥¬π¢¢¥àå ­ π: w2 = w1 2πei 2 + iπ (á¬. à¨á. 3.55 ).2πiπi−π−e−ππ0−eπ¨á. 3.55 0¨á. 3.55¡’¥¯¥àì ¯à¨¬¥­¨¬ w3 ==| ¯®«ã稬 ¯«®áª®áâìá ¤¢ã¬ï à §à¥§ ¬¨: à §à¥§ v2 = π, u2 ∈ [π; +∞) ¯¥à¥èñ« ¢à §à¥§ w3 = eu2 eiπ = −eu2 ∈ (−∞; −eπ ], à §à¥§ v2 = π, u2 ∈∈ [−∞; −π) ¯¥à¥èñ« ¢ à §à¥§ w3 = eu2 eiπ = −eu2 ∈ (−eπ ; 0] (á¬.à¨á.

3.55¡ ).ew2eu2 eiv200¨á. 3.56 e−πw3 = ww2 ++eπ2¨á. 3.56¡ý¥à¥âï­¥¬þ à §à¥§ë(á¬. à¨á. 3.56 ). ’¥¯¥àìýà §¢¥à­ñ¬þ ¯«®áª®áâì ¢ ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì w4 =√= w3 , w4 (−1) = i (á¬. à¨á. 3.56¡ ).J§ 3.2.à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨà¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ. ãáâì ®¡« áâì D à ᯮ«®¦¥­ ¯®®¤­ã áâ®à®­ã ®â ¯àאַ© l, ¨ ¯ãáâì ®â१®ª [a; b] í⮩ ¯àאַ©ï¢«ï¥âáï ç áâìî £à ­¨æë ®¡« á⨠D.ãáâì ®¡« áâì D ®â®¡à ¦ ¥âáï ­ ®¡« áâì G, à ᯮ«®¦¥­­ãî ¯® ®¤­ã áâ®à®­ã ®â ¯àאַ© L â ª, çâ® ®¡à §®¬ ®â१ª 178[a, b] ï¥âáï ®â१®ª [A; B] ¯à¨­ ¤«¥¦ 騩 L. ãáâì ®â®¡à ¦¥­¨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî ॣã«ïà­®© ¢ ®¡« á⨠Dä㭪樨 f (z), ­¥¯à¥à뢭®© ­ D ∪ [a; b]. ’®£¤ ¢ ®¡« á⨠D∗ ,ᨬ¬¥âà¨ç­®© ®¡« á⨠D ®â­®á¨â¥«ì­® [a; b], áãé¥áâ¢ã¥â ॣã«ïà­ ï ¢ D∗ ¨ ­¥¯à¥à뢭 ï ­ D∗ ∪ [a; b] äã­ªæ¨ï f˜(z), ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ f (z) ­ ®¡« áâì D∗ , ª®â®à ï ®â®¡à ¦ ¥â®¡« áâì D∗ ­ ®¡« áâì G∗ , ᨬ¬¥âà¨ç­ãî ®¡« á⨠G ®â­®á¨â¥«ì­® [A; B].â®â ¯à¨­æ¨¯ ç áâ® ¯à¨¬¥­ï¥âáï ª ®â®¡à ¦¥­¨î ®¡« á⥩,¨¬¥îé¨å ®¤­ã ¨«¨ ­¥áª®«ìª® ®á¥© ᨬ¬¥âਨ.à¨¬¥à 3.9.

Žâ®¡à §¨âì ¢­¥è­®áâì ýá¥à¯ þ (à¨á. 3.57)­ ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì.I  ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤, ®¡« áâì ­¨ª ª®© ᨬ¬¥âਥ© ­¥ ®¡« ¤ ¥â.y0¨á. 3.57vx0u¨á. 3.58® ¯®á¬®âਬ, çâ® ¯®«ãç¨âáï ¯®á«¥ ¯¥à¢®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï.®¯à®¡ã¥¬ ¢ë¯àﬨâì £à ­¨æë, â. ª., ¢®-¯¥à¢ëå, ¢á¥ ç á⨠£à ­¨æë ¨¬¥îâ ¢¨¤ ¨«¨ ¯àאַ©, ¨«¨ ¤ã£¨ ®ªà㦭®áâ¨, , ¢®¢â®àëå, ¨¬¥îâ ¤ ¦¥ ¤¢¥ ®¡é¨å â®çª¨. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¤à®¡­®− 1 : ®â¯à ¢¨¬, ¤«ï ¢ë¯àשׂ¥­¨ï,«¨­¥©­®© ä㭪樥© w1 = zz +1â®çªã z = −1 ¢ ∞, â®çªã z = 1 ¢ 0, çâ®¡ë ­¥ ¨áª âì â®çªã¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ®¡à §®¢ | ¯®«ã稬 ª à⨭ªã à¨á.

3.58.‚®â ⥯¥àì ­ ¬ ¯à¨¤ñâáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ᨬ¬¥âà¨ç­®áâìî ®¡« áâ¨. „«ï 㤮¡á⢠,¯®¢¥à­ñ¬ á­ ç « ¯«®áª®áâìπ­ 㣮« π2 : w2 = w1 ei 2 , § ⥬ ýà §à¥¦¥¬þ ¯«®áª®áâì ¯®¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨ | ¯®«ã稬 å®à®è® §­ ª®¬ãî ®¡« áâì (á¬.à¨á. 3.59 ). ‚ëáâந¬ £à ­¨æã ¢ ®¤­ã «¨­¨î: w3 = w22 (á¬.à¨á. 3.59¡ ).179i0−1 0¨á. 3.59¡¨á. 3.59 ‘¤¢¨­¥¬ ¯«®áª®áâì: w4 = w3 + 1.√ ý §¢¥à­ñ¬þ ¯«®áª®áâì ¢ ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì: w5 = w4 ∗ , w5 (−1) = i (á¬.à¨á.

3.60 ).√’¥¯¥àì ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ w6 = w4 (á¬.à¨á. 3.60¡ ), ¯ã­ªâ¨à áâñàáï.−1−100¨á. 3.60 0¨á. 3.60¡¨á. 3.60¢Ž¡à ⨫¨ ¢­¨¬ ­¨¥?Œë ⮫쪮 ã¡à «¨ §­ 箪 ý*þ. â®√¯®â®¬ã çâ® w5 = w4 ∗ , w5 (−1) = i ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬ ­ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ï¢«ï¥âáï ¯®«­®© ­ «¨â¨ç¥áª®© äã­ª√√樥© w5 = w3 , ¨ ¢â®à ï ¢¥â¢ì w5 = w3 ®â®¡à §¨â ®¡« áâì,ᨬ¬¥âà¨ç­ãî ¨§®¡à ¦ñ­­®© ­ à¨á. 3.60 , ­ ­¨¦­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì. „ «ì襢áñ ¯®­ïâ­®: w7 = w6 + 1 (á¬. à¨á.

3.60¢ )√J¨ ­ ª®­¥æ w8 = w7 , w8 (−1) = i.à¨¬¥à 3.10. Žâ®¡à §¨âì ¢­¥è­®áâì ýâàñå«®¯ áâ­®£®¯à®¯¥««¥à þ (à¨á. 3.61 ) ­ ¥¤¨­¨ç­ë© ªàã£.I  è 楫ì | ®â®¡à §¨âì £à ­¨æë ý«®¯ á⥩þ ­ £à ­¨æãªà㣠.yyviii−11−i−101−i¨á. 3.61 180x¨á. 3.61¡x−101−i¨á. 3.61¢u‚ë०¥¬ ¨§ ¯«®áª®á⨠㣮« ®â 0 ¤® 2π3 (á¬. à¨á. 3.61¡ ).’¥¯¥àì ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ w1 = z 3 | 㣮« ¯¥à¥©¤ñâ ¢ ¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯® ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¯®«ã®á¨ (á¬.à¨á. 3.61¢ ).ý áâï­¥¬þ ¯«®áª®áâì ¢ 2 à § , ¨ ᤢ¨­¥¬ ¯«®áª®áâì ­ 1¢«¥¢®: w2 = 2w1 − 1 (á¬. à¨á. 3.62).v−2−101u2¨á.

3.62’¥¯¥àì ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, ®¡à â­®¥ ª ¯à¥®¡à §®¢ ­¨î †ãª®¢áª®£®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ªàã£. ˆ§ ª â «®£ ¢¨¤­®,çâ® ¨ ¢­¥è­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠, ¨ ¢­ãâ७­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠®â®¡à ¦ îâáï ­ ¢­¥è­®áâì ®â१ª . Žâ®¡à §¨¬¢® ¢­¥è­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠, çâ®¡ë ¢¥àå­¨© ¡¥à¥£ à §à¥§ ¯¥à¥èñ« ¢ ¢¥àå­¨©, ­¨¦­¨© ¢ ­¨¦­¨© | ¯à¨ ®â®¡à ¦¥­¨¨á ¯®¬®éìî ä㭪樨 †ãª®¢áª®£® ®ªà㦭®áâ¨ à ¤¨ãá , ¡®«ì襣® 1, ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ í««¨¯áë, ¯à®å®¤¨¬ë¥ ¢ ⮬ ¦¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ (¯à¨ ®â®¡à ¦¥­¨¨¢­ãâàì ý¡¥à¥£ þ ¯®¬¥­ïîâáï ¬¥áâ ¬¨):qw3 = w2 + w22 − 1 , w3 (∞) = ∞ (á¬. à¨á. 3.63 ).∗i−10i1−101−i¨á.

3.63 ¨á. 3.63¡’¥¯¥àì 㬥­ì訬 㣮« ¢ 3 à § ,√¢ë¡à ¢ ¢¥â¢ì, ¤«ï ª®â®à®©i∆ϕ√w4 (8 + i0) = 2 + i0: w4 = 3 w3∗ = 3 |w3 |e 3 , ∆ϕ ∈ [0; 2π] (á¬.à¨á. 3.63¡ ).’¥¯¥àì ¡ã¤¥¬ ¯à¨¬¥­ïâì ¯à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ. ‚¨¤­®, çâ®ç á⨠£à ­¨æë | ¯àï¬ë¥ á® èâà¨å®¢ª®© | ¯¥à¥è«¨ ¢ ¯àï¬ë¥.®í⮬㠯ਭ樯 ¬®¦­® ¯à¨¬¥­ïâì ª «î¡®© ¨§ § èâà¨å®¢ ­­ëå ¯àï¬ëå. à¨¬¥­¨¬ ¥£® ª ¯àאַ©, ­ ª®â®à®© ­ ­¥á¥­ √¬¥«ª ï èâà¨å®¢ª ­ à¨á. 3.61¡ . ’®£¤ ¢â®à ï ¢¥â¢ì 3 w3∗∗ =181√3, ∆ϕ ∈ [0; 2π] ®â®¡à §¨â ®¡« áâì, ᨬ¬¥âà¨ç­ãî ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ èâà¨å®¢ª¨ ­ ®¡« áâì, ᨬ¬¥âà¨ç­ãî√â ª®© ¦¥ èâà¨å®¢ª¥ ­ à¨á.

3.63¡ . ’à¥âìï ¢¥â¢ì 3 w3∗∗∗ =√34π i∆ϕ= |w3 |ei 3 e 3 , ∆ϕ ∈ [0; 2π] ®â®¡à §¨â âà¥â¨© 㣮« à¨á. 3.61¡­ âà¥â¨© 㣮« à¨á. 3.63¡ . Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ¢­¥è­®á⨠ý¯à®¯¥««¥à þ ¢® ¢­¥è­®áâìªà㣠(¢á¥ âਠ¢¥â¢¨) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢√3¢¨¤¥ w4 = w3 . Žâ®¡à ¦¥­¨¥ w5 = w14 ¯¥à¥¢¥¤ñâ ¢­¥è­®áâìªà㣠¢ ªàã£.Jà¨¬¥à 3.11. Žâ®¡à §¨âì ®¡« áâì à¨á. 3.64 (¡¥áª®­¥ç­ë¥ý£à ¡«¨þ) ­ ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì.I ¥áª®­¥ç­ë¥ ý£à ¡«¨þ | íâ® ¢¥àå­ïï ¯®«ã¯«®áª®áâì á à §à¥§ ¬¨:=|w3 |ei2π3ei∆ϕ3yπi−2π−π0π2πx¨á.

3.64ý‚ë०¥¬þ ®¤¨­ ¯àאַ㣮«ì­¨ª | ­ ¯à¨¬¥à, ¯¥à¢ë© |®â x = 0 ¤® x = π (á¬. à¨á. 3.65 ).  è § ¤ ç | ý¯¥à¥âï­ãâìþ ­ áâ®ïéãî £à ­¨æã ­ ®áì.yvπ0ππx¨á. 3.65 0−π¨á. 3.65¡u’¥¯¥àì ¯®¢¥à­ñ¬ ¥£® ­ 㣮« π2 : w1 = zei 2 (á¬. à¨á. 3.65¡ ).‚§£«ï­ã¢ ¢ ª â «®£, ¢¨¤¨¬, çâ® ¬®¦­® ®â®¡à §¨âì ­ ¯®«ãªàã£w2 = ew1 (á¬. à¨á. 3.66 ).‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤ã£ ®ªà㦭®á⨠| íâ® ®¡à § ®â१ª [0; πi].11à¨¬¥­¨¬ äã­ªæ¨î †ãª®¢áª®£®: w3 = 2 w2 + w2 | ¯®«ã稫 áì ­¨¦­ïï ¯®«ã¯«®áª®áâì (á¬. à¨á. 3.66¡ ), £¤¥ ®¡à §®¬ ý¦¨182π−10−ch π 0ch π¨á.

3.66¡1¨á. 3.66 ¢®©þ £à ­¨æë ï¥âáï ᯫ®è­®© ®â१®ª [− ch π; ch π]. ý‘®¦¬ñ¬þ ®â१®ª [− ch π; ch π] ¤® áâ ­¤ àâ­®£® [−1; 1] ¤«ï ä㭪樨 †ãª®¢áª®£®: w4 = chw3π . € ⥯¥àì ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, ®¡à â­®¥ ª äã­ªæ¨ï †ãª®¢áª®£®, ç⮡ë ᯫ®è­®©®âq१®ª ®â®¡à §¨«áï ­ ¯®«ã®ªà㦭®áâì: w5 = w4 + w42 − 1 ,∗√w5 (−i) = ( 2 − 1)i (á¬. à¨á. 3.67 ).πi−10¨á. 3.67 01¨á. 3.67¡Žáâ «®áì ®â®¡à §¨âì à¨á.

3.67 ­ £®à¨§®­â «ì­ãî ¯®«ã¯®!«®áã:iπw6 = Ln w5∗ ,w62= − ln 2 + i2. ª®­¥æ, ¯à¨¬¥­¨¬ ¯à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ ª «î¡®© ¨§ ¯ã­ªâ¨à­ëå £à ­¨æ, ­ ¯à¨¬¥à, ª á®á¥¤­¥© á¯à ¢ , | ¢â®à ï ¢¥â¢ì «®£ à¨ä¬ ¯¥à¥¢¥¤ñâ íâã ¯®«ã¯®«®áã ­ à¨á. 3.64 ¢ ¯®«ã¯®«®áã[πi; 2πi], ¯ã­ªâ¨à ýá®âàñâáïþ | ¯®«ãç¨âáï ¯®«ã¯®«®á è¨à¨­®© 2π. à¨¬¥­¨¬ ª ­¥© ®¯ïâì ¯à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ ¨ â. ¤.’®£¤ ¯®«­ ï ­ «¨â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ïw7 = Ln w6®â®¡à §¨â ¡¥áª®­¥ç­ë¥ ý£à ¡«¨þ á à¨á.3.64 ­ «¥¢ãî ¯®«ãπ¯«®áª®áâì. ˆ ¯®á«¥¤­¥¥: w8 = w7 e−i 2 | ¯®«ã稫¨ ¢¥àå­î«ã¯«®áª®áâì.J183‡ ¤ ­¨ï ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쭮© à ¡®âë‚ à¨ ­â I1.  ©¤¨â¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï z 2 − z|z| + |z|2 = 0.5z + 2i2.  §«®¦¨â¥ äã­ªæ¨î f (z) = 2¢ àï¤ ‹®z + z(1 + i) − 6 − 2ià ­ ¯® á⥯¥­ï¬ z + 2 ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨ââ®çª z0 = 2i − 2.

“ª ¦¨â¥ £à ­¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨3.  ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) =1=(π 2 − 9z 2 )e sin z(sin z + sin 5z) cos2 z1. Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì.4. à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë,1)3)|z+i|= 32Z73!z−i1dz ,z − 1 1 + ch πz2)Z+∞−∞x2 ei(2x+1)dx,x3 + 2ix2 + x + 2ix2 dx.p(x − 2) 3 (x − 3)(x − 7)25.

ãáâìg(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨z−iLn¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®© γ = {z : |z +3i + z+ i| = 2, Re z > 0}, â ª ï, çâ® Im g(2i) = 2π .  §«®¦¨â¥g(z) ¢ àï¤ ’¥©«®à ¯® á⥯¥­ï¬,(z + i) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨(z + 1)g(z)z = −i ¨ ¢ëç¨á«¨â¥ ¨­â¥£à «dz .(z + i)2|z+i|=16. Žâ®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñ­­ãî ­ à¨á. 4.1 ­ ¢¥àå­î«ã¯«®áª®áâì.yi√1− 2 0√2−1−i¨á. 4.1184x‚ ਠ­â II1.  ©¤¨â¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï sin z = cos z − 2i .2.  §«®¦¨â¥ äã­ªæ¨î(2 − i)z + 2(1 − 2i)z2 + 4¢ àï¤ ‹®à ­ ¯® á⥯¥­ï¬ (z − 1 + i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = 3. “ª ¦¨â¥ £à ­¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.3.  ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨!f (z) =Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì.f (z) =sin z + cos zsh z.coscos 2zsh 2z4.

à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë1)3),|2z−i|=2Z2−∞2(z − 1)2 1e z dz ,z2 + 12)Z+∞−∞(x − 2) cos(3 − 2x)dx,x2 − 6x + 13dx.p(x − 10)2 3 (x − 2)5. ãáâì g(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨√3z¢ ®¡« á⨠G = {z ∈ C: |z − 8| < 1} â ª ï, çâ® g(8) = 2. „®ª ¦¨â¥, çâ® ¬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï F (z) = Ln(g(z) − 1) ¨¬¥¥â¢ ®¡« á⨠G ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨. ãáâì h(z) | ॣã«ïୠâ¢ì F (z),¢ ®¡« á⨠G â ª ï, çâ® h(8) = 2πi. ‚ëç¨á«¨â¥dz.¨­â¥£à «|z|=20h z 8z+26.

Характеристики

Список файлов книги