ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 23
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â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.2 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.yy2i2ii0i√3)12 (1+i1¨á. 4.2−12012xx¨á. 4.3185 ਠâ III1. §«®¦¨â¥ äãªæ¨îf (z) =3z − 1 − 3iz − 1 − 5i+ 22z − 2z + 2 z − z(1 + 2i) − 1 + i¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ (z − 2i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = 0. ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.2. ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨f (z) =etg 2z (πz − π + 2)11 − sin 1 −z.⢥⠮¡®á®¢ âì.3. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë1)3),3π3z − iz 2 e zdz ,z2 + 9Z3 √3 23x − x3 (6 − x)dx.(x − 4)22)Z+∞−∞(x + 1) cos(3 − x)dx,x2 − 6x + 1004. qãáâì| ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨z(z − 1) ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢ë¬: γ1 = {z : z = it,[0; +∞)}, γ2 = {z : z =r1 − it, t ∈ [0; 2]; z = t − 2i, t ∈ (−∞; 1]}f (z)3â ª ï, çâ® f12=−31.4ãáâì S(z) =∞Xak (z + 3i)kॣã-0«ïà ï ¢ ®¡« á⨠á室¨¬®á⨠àï¤ äãªæ¨ï, ᮢ¯ ¤ îé ïá f (z) ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ z = −3i.
©¤¨â¥ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ S(z) ¨ ¢ëç¨á«¨â¥ ¨â¥£à «,S(z) dz.(z + i)2|z+3i|= 255. â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.3 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.186 ਠâ IV1. §«®¦¨â¥ äãªæ¨î(1 + 3i)z + i3z 2 + (6i − 1)z − 2i¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ (z + 1 − i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = 4i−1. ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.2. ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨zf (z) =f (z) =(4z 2 + 9π 2 ) e z−1 − 1 ctg zch z.⢥⠮¡®á®¢ âì.3. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë,1)z2 + π2dz ,ch z + ch 2z2)0sin(1 − 3x)−∞2π|z− 2πi3 |= 3p1Z 3 2x (1 − x)3)dx.x2 − 44. pãáâìZ+∞x − 2 + x5dx,| ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨+ 1 ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ 3π ¯® ªà¨¢®© γ = γ1 ∪ γ2 £¤¥}, γ2 = {z ∈ C: Im z = −1,γ1 = {z : |z| = 1, arg z ∈ 0;22πiRe z > 0} â ª ï, çâ® g(0) = e− 3 .
ëç¨á«¨â¥ ¨â¥£à «3g(z)z2,g(z)g(z) − 2!2dz.|z+3|=15. â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.4 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.y3i2ii0x¨á. 4.4187 ਠâ V1. §«®¦¨â¥ äãªæ¨î f (z) =z 2 + (4 − 2i)z − 9(z − i)((2 + i)z − z 2 − 2i)¢ àï¤®à ¯® á⥯¥ï¬ z ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨ââ®çª z0 == i − 1. ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.2. ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨sin z1 + πif (z) = 2 2z.z (e − 1)(1 − cos z)⢥⠮¡®á®¢ âì.3. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë1)3),2ize zdz ,z − 2i2)−∞|z|=1Z10Z+∞(x + 2) sin(3 − 2x)dx,x2 + 2x + 37dx.p(x + 1)2 4 x3 (1 − x)4.
ãáâìh(z) | ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨z2 + 1Ln¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ®â१ªã [−i; i], â ª ï,z2 1çâ® Im h= 0. §«®¦¨â¥ h(z) ¢ àï¤ ¥©«®à ¯® á⥯¥5ï¬ (z − 1). ©¤¨â¥ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祮£® àï¤ 1¨ ¢ëç¨á«¨â¥ á㬬ã àï¤ ¢ â®çª¥ z = .55. â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.5 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.y|z|=1√|z− 2|=1i0√2¨á. 4.5188x ਠâ VI1. §«®¦¨â¥ äãªæ¨îf (z) =z2(i + 1)z − 2iz+− (4 + 2i)z + 4 + 4i z − 2 − 2i¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ (z − 2i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = −2 − 2i. ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.2.
©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨f (z) =sin πz + 1(3z 2 + z − 2)(1 − cos(2πz)).⢥⠮¡®á®¢ âì.3. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë1)3),z−iz+isindz ,z + 2iz−i|z|= 32Z+∞ √4−1Z+∞2)−∞(x + 1) cos(3 − x)dx,x2 − 4x + 5x + 1 · ln(x + 1).(x + 2)24. √ãáâìg(z) | ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨− 8z 2 ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ®â१ªã [−2; 2], â ª ï,1,√√e z2çâ® g(−2 2) = 2i 2. ëç¨á«¨â¥ ¨â¥£à «dz .g(z) + iz√42z 4|z|= 75.
â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.6 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.g(ary1)z+=i3π4−1|z+1|=10x¨á. 4.6189 ਠâ VII1. ©¤¨â¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï 2 ctg z − tg z = 3i.2. §«®¦¨â¥ äãªæ¨î f (z) = z + 4 2 ¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥(z + 1)ï¬ (z +1−i) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨â â®çª z0 = 0.ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.3. ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨f (z) =sin2 z + z1 − sin2 z − z1cos 2z · sin z2cth1.z−i⢥⠮¡®á®¢ âì.4. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë,1)3)z dz|z|=25Z10,2Z+∞2)cos z1 + cos z−∞x sin(4 − 2x)dx,x2 − 3x + 4dx.p5(x − 2)2 x2 (1 − x3 )5. pãáâì| ॣã«ïà ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨+ 1 ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®© γ = γ1 ∪ γ2 £¤¥3π}, â ª ï, çâ®γ1 = {z : |z| = 1, Re z > 0}, γ2 = {z : arg(z −i) =3g(z)z2g(0) = 1.,ëç¨á«¨â¥ ¨â¥£à «|z−5+5i|=64dz.2g (z) − 2g(z) − 86.
â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.7 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.yi−1i3√1− 2 0√12−1−i¨á. 4.7190x ਠâ VIII1. ©¤¨â¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï sin z + 6i cos z = 1.2. §«®¦¨â¥ äãªæ¨î f (z) = 22z + 2 4 − iz¢ àï¤®à ¯® á⥯¥ï¬ (z+2) ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨ ¤«¥¦¨ââ®çª z0 = 2i − 1. ª ¦¨â¥ £à ¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.3. ©¤¨â¥ ¨ ¨áá«¥¤ã©â¥ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äãªæ¨¨z − 8iz + 2z(1 + i)1 − 1(1 + ez )3 sin 2z3πf (z) =.(z − 3πi)3 (1 + sin z)2⢥⠮¡®á®¢ âì.4. ਬ¥ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢ ¢ëç¨á«¨âì ¨â¥£à «ë,1)3)2 ezzze dz ,−2z + 1 z + 1 + i√|z−2|= 5Z1 2x (x−12)Z+∞0(2x2 + 1) dx,x4 + 4+ 2) dx.√(2 − x) 1 − x25.
ëïá¨â¥,q᪮«ìª® ॣã«ïàëå ¢¥â¢¥© ¨¬¥¥â ¬®£®§ ç ï√1äãªæ¨ï 5 z 3 + 3 z ¢ ®¡« á⨠G = {z ∈ C: Im z > √ }. ©2¤¨â¥ § 票¥ íâ¨å ¢¥â¢¥© ¢ â®çª¥ z0 = i.6. â®¡à §¨âì ®¡« áâì, ¨§®¡à ¦ñãî à¨á. 4.8 ¢¥àåî«ã¯«®áª®áâì.yii2√− 2−1−101√1− 2x−i¨á. 4.8191⢥âë ª § ¤ ¨ï¬¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쮩 à ¡®âë⢥âë ¢ ਠâ I1.
z = 0, z = re2., r > 0.∞∞XX(z + 2)2(−1 − i)n−1 √f (z) = −+3, 2 < |z + 2| < 4.(z + 2)n22n+101± iπ33. : zn = πn, n 6= 0, n ∈ Z, : z = ± π3 , 1:π πkzk = +,422zk =, k ∈ Z,π(2k + 1)π+ πm, k, m ∈ Z, m 6= 0, 2:3: z = 0, z = ∞. !1+i 1−iπe−21) −2πi 2 −, 2)(− sin 1 + i cos 1),2!3π23π4.3)+ √3πsin 3 325zm = ±4.5. g(z) = 3πi − 2− 2π .1.2.3.4.5.∞X0(z + i)2n+1, |z + i| < 2; I = 2πi − 6π2 −(2n + 1)(2i)2n+1⢥âë ¢ ਠâ II i π πz = − ± + 2πk ∓ ln 2, k ∈ Z.4 22∞∞kXX(z − 1 + i)(−1 − i)k−1 √f (z) =+2, 2 < |z − 1 + i| <(−1 + 3i)k+1(z − 1 + i)k01√< 10.ππ: zk = i + πk , k ∈ Z, : zk = iπk, zl = − + πl,24πk, l ∈ Z. 1: zl = + πl, l ∈ Z, : z = ∞.4ππ2 −11) π (1 + 2i) e − 8(1 + i) , 2) e−4 (cos 3−2 sin 3), 3) − √ .224 32i−3π192⢥âë ¢ ਠâ III1. f (z)= −3z 6= 1 + i.∞∞XX√(−1)k−1(z − 2i)k+, 1 < |z − 2i| < 10,k+1k(1 − 3i)(z − 2i)012. : zk ==1−2,πππk+,422.3.z0 = 1 −2, k 6= 0,π(1 + 4k)1:z=: z = 1, z = ∞.3.
1) 6π2 , 2) 4πe−1 , 3)1.2:2π√ .34.R = 3, I = −2π(1 + 2i).√3 34⢥âë ¢ ਠâ IV∞∞XX(4 − 3i)k−15,−i (1 − 3i)−k−1 (z + 1 − i)k +< |z + 1 −3k (z + 1 − i)k 30 √1− i| < 10.3πi: z = 1, : z = 0, z = ± , 1: zk = πk, k 6= 0,2πi+ πni, n 6= 1, n 6= −2, k, n ∈ Z.k ∈ Z, zn =2 !πe−68π 2 4π1)(2 cos 2 + sin 2),√ − i , 2) −3 9 32r384πi32π 14.− √ .3) √ √3 + 3 − 1.163167 7⢥âë ¢ ਠâ V1. f (z) =∞∞XXzn4nin−1−, 1 < |z| < 2.2n+1z n+1012. : z3.4.= 0, : z = πi, 1: zk = iπk , k 6= 1, k ∈ Z, 2:zk = 2πk , k 6= 0, k ∈ Z, : z = ∞.√7 42πe−12(sin 5 − 6 cos 5), 3)π.1) 4π(e − 2), 2)68!∞X(−1)n−111ln 2 ++− 2 (z − 2)n , |z − 2| < 1,nnn(1+i)(1−i)1 1S= ln 26.51933.1.2.3.4.⢥âë ¢ ਠâ VI√+ (3 + 2i)2n−1, |z − 2i| > 2 2.n(z − 2i)12: z = 0, : z = , z = −2, 3: z = −1, 2: zk = k,3k 6= 0, −1, −2, k ∈ Z.
: z =∞.11) 2π −3 sin − 2 cos 1 + 3 sin 1 , 2) πe−1 (3 cos 1 + sin 1),3!√ 1π13) π 2 1 − .4. 2π 4e 8 − √4.42−11. f (z) = 1 +2.∞Xi(2 −2i)n−1⢥âë ¢ ਠâ VII√πzk = + πk − i ln 3, k ∈ Z.2∞XX(1 − k)i−kf (z) = 4i (−1)k (1 − 2i)−k−1 (z + 1 − i)k + 3,(z + 1 − i)k2√1 < |z + 1 − i| < 5.2πk − 1: z = 0, zn = , n 6= 0, n ∈ Z, 1: zk =, zn =πnπkπ πm= +, k, m ∈ Z, : z = i, z = ∞.42√√√5ππe− 72π 5 82π1) , 2) √ (3 sin 1 − 7 cos 1), 3).
5. − .2π4375 sin51.2.3.4.⢥âë ¢ ਠâ VIIIππzk = + 2πk , zn = − + 2πn − i ln 2, k, n ∈ Z.22∞∞XX2k−1f (z) = − (4 + 2i)−k−1 (z + 2)k + (1 + i), 2 < |z +(z + 2)k03√+ 2| < 2 5.π: z = 0, : z = 3πi, 4: zk = − + 2πk, k ∈ Z, 3:23πz=, : z = ∞.25π1) π(ri + 2 + 2i) + 2πe−1 (i − 1)(cos 1 + i sin 1), 2) ,8!!(4k − 1)πi116 1753) π √ − . 5. 5 ¢¥â¢¥©: hk (i) = 2 exp,2103k = 0, 4.194¨â¥à âãà 1. ®«®¢¨ª¨ . . ¡ã¨ . ., à«®¢ . . ¡®à¨ª§ ¤ ç ¯® ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. { .:¨®¬, 2006.2. ®«®¢¨ª¨ .
. ¥ªæ¨¨ ¯® ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£®¯¥à¥¬¥®£®. { .: ¨§¬ ⪨£ , 2003.3. ¨¤®à®¢ . ., ¡ã¨ . . ¥®à¨ï äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. { .: ¡®à â®à¨ï § ¨©, 2016.4. ਠâë ᥬ¥áâ஢ëå ª®â஫ìëå à ¡®â ¯® à §ëå «¥â.195£« ¢«¥¨¥à¥¤¨á«®¢¨¥ . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .« ¢ I. ¤®§ çë¥ äãªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . .§ 1.1. ¯¥à 樨 á ª®¬¯«¥ªá묨 ç¨á« ¬¨.¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© z n = a, ez = b, a, b ∈ C . . . . .356ਬ¥àë 1.1{1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12§ 1.2.®¢ë¥ ᢮©á⢠ýáâ àëå § ª®¬ëåþ: ez , sin z ,cos z , sh z , ch z . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§ 1.3.¥£ã«ïàë¥ äãªæ¨¨. ï¤ ¥©«®à . . . . . . . . . 17§ 1.4.ï¤ ®à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21ਬ¥àë 1.5{1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16ਬ¥àë 1.9{1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 201.4.1. ãªæ¨ï f (z) ¨ á㬬 S(z) ¥ñ àï¤ ¥©«®à ¨«¨®à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ਬ¥àë 1.12{1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2. ï¤ ®à ¤«ï ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¢ ∞ . . .§ 1.5. á®¡ë¥ â®çª¨ ॣã«ïàëå äãªæ¨© . . . . . . . .1.5.1. « áá¨ä¨ª æ¨ï ¨§®«¨à®¢ ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª . .1.5.2. z = ∞ | ¢á¥£¤ ®á®¡ ï â®çª ¢ C . . . . . . . . . .ਬ¥àë 1.15{1.16 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .1.5.3. ãªæ¨¨ e− ¨ e− . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.6. ëç¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1. ëç¥â ¤«ï ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¢ ∞ . . . . . .ਬ¥àë 1.17{1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1x21z2...........2224293030323438394242§ 1.7.ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢ ¯® § ¬ªã⮬㪮âãàã á ¯®¬®éìî ¢ëç¥â®¢ . .
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