ТФКП в задачах - Колесникова (1188232), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ª. ¢ç¨á«¨â¥«¥ 0 ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¢ § ¬¥ ⥫¥ 0 ¢â®à®£®¯®à浪 .⢥â. 1) z = ∞ | , ¯à¥¤¥«ì ï â®çª áãé¥á⢥®®á®¡ëå â®ç¥ª;2) z = −1 | , ¯à¥¤¥«ì ï â®çª ¯®«îᮢ;3) zk = πi − 21 + k , k ∈ Z | ;4) zk = π(2k1+ 1) − 1, k ∈ Z, k 6= −1 | ¯®«îá 2-£® ¯®à浪 ;5) z = − π1 − 1 | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 .J1.5.3. ãªæ¨¨ e−1x2¨ e−1z2ᯮ¬¨¬ ¯à¨¬¥à, ª®â®àë© ¯à¨¢®¤¨âáï 1-®¬ ªãàá¥,äãªæ¨¨, àï¤ ¥©«®à ¤«ï ª®â®à®© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠x = 0 áãé¥áâ¢ã¥â, á室¨âáï, ® ¥ ª á ¬®© äãªæ¨¨. ãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:( 1− 2xf (x) = e , x 6= 0,(1.19)0,x = 0.ëç¨á«¥¨ï, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢á¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ â®çª¥ x = 0 à ¢ë 0 | ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 í⮩äãªæ¨¨ àï¤ ¥©«®à á®á⮨⠨§ ã«¥¢ëå ç«¥®¢, ¯®â®¬ã¥£® á㬬 ⮦¤¥á⢥® à ¢ 0.
ãªæ¨ï f (x) ¡¥áª®¥ç®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢á¥© ®á¨.®! ¬ äãªæ¨ï f (x) ®¡à é ¥âáï ¢ 0 ⮫쪮 ¢ ®¤®©â®çª¥ | àï¤ ª § ¤ ®© äãªæ¨¨ ¥ á室¨âáï. ®ç¥¬ã? çñ¬ ¤¥«®? ¯¥à¢®¬ ªãàᥠíâ®â ä ªâ ®¡êïá¨âì ¥¢®§¬®¦®. ⮬ë ⥯¥àì ᬮ¦¥¬.1 áᬮâਬ äãªæ¨î f (z) = e− z2 . ॣã«ïà ¢ C \ {0}.®çª z = 0 | áãé¥á⢥® ®á®¡ ï â®çª (). ãªæ¨ïॣã«ïà ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠0 < |z| < ∞, ¯®â®¬ãà §« £ ¥âáï ¢ ¥© ¢ àï¤ ®à :1f (z) = e− z2 =∞X(−1)n038n!z 2n,0 < |z| < ∞.ãªæ¨ï f (x) | ýá«¥¤þ f (z) ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì. ®f (z), ª ª ¬ë 㢨¤¥«¨, à §« £ ¥âáï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠z = 0 ¥ ¢ à拉©«®à , ¢ àï¤ ®à , ¯à¨çñ¬, ¯à ¢¨«ì ï ç áâì á®á⮨â¢á¥£® «¨èì ¨§ ®¤®£® ç«¥ : a0 = 1, £« ¢ ï ç áâì ¨¬¥¥â ¡¥á1ª®¥ç® ¬®£® á« £ ¥¬ëå. ®í⮬㠨 ®á¨ Ox ¨¬¥¥¬ e− x2 =∞ (−1)nP=, 0 < |x| < ∞, àï¤ ¥©«®à ¥ áãé¥áâ¢ã¥â!n!x2n01 ª ª ª z = 0 | , â® lim e− z2 ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
â®z→0®§ ç ¥â, çâ® ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ ¯à¥¤¥«ë à §ë¥. ®1®ª § «®áì, çâ® lim e− x2 = 0, ¨, ¥á«¨ íâ® ¯à¨ïâì § § 票¥x→0f (x)|x=0 = 0, â® ¬ë ¨ ¯®«ã稬 àï¤ ¥©«®à ¢ 0, ª®â®àë© ¥¨¬¥¥â ®â®è¥¨ï ª f (x).§ 1.6.¯à¥¤¥«¥¨¥.
ãáâìëç¥âë| ¨§®«¨à®¢ ï ®á®¡ ï â®çª ®¤®§ 箣® å à ªâ¥à ॣã«ïன äãªæ¨¨ f (z),â. ¥. f (z) ॣã«ïà ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨z = z0 ∈ C. ãáâì C : |z − z0 | = ρ | ¯à®¨§¢®«ì ï ®ªà㦮áâì ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®áâ¨. ªà㦮áâì ®à¨¥â¨à®¢ â ª,çâ® ¯à¨H ®¡å®¤¥ ª®âãà â®çª z = z0 ∈ C ®áâ ñâáï á«¥¢ . ®£¤ 1f (z) dz §ë¢ ¥âáï ¢ëç¥â®¬ äãªæ¨¨ f (z) ¢ â®çª¥2πi|z−z0 |=ρz = z0 ∈ Cz = z0 ∈ C¨ ®¡®§ ç ¥âáï12πiIf (z) dz = res f (z).z=z0|z−z0 |=ρª §ë¢ ¥âáï, çâ® ç¨á«®¢®¥ § 票¥ ¢ëç¥â ¯®«®áâì।¥«ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¯à¨ z −1 z0 , ¥á«¨ z0 ∈ C, ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¯à¨ z1 , ¥á«¨ z0 = ∞.I ®ª ¦¥¬ íâ®.1.
ãáâì z0 ∈ C | ª®¥ç ï â®çª . ®£¤ 12πi,f (z) dz =|z−z0 |=ρ39,1=2πi(a0 + a1 (z − z0 ) + . . . + an (z − z0 )n + . . .)+|z−z0 |=ρ!!a−1a−2a−n++ . . . dz =++ ... +z − z0 (z − z0 )2(z − z0 )n,Z2π1a−11z − z0 = ρeiϕ , =dz = =a i dϕ = a−1 ,dz = ρeiϕ i dϕ 2πi −12πiz − z00|z−z0 |=ρâ. ¥.
res f (z) = a−1 .z=z0 ∈Cᥠäãªæ¨¨ fm (z) = (z − z0 )m , m ∈ Z, m 6= −1 ¨¬¥îâm+1®¤®§ çë¥ ¯¥à¢®®¡à §ë¥ (z − zm0 ) , m ∈ Z, m 6= −1,+fm (z) dz = 0.¨ ¨â¥£à «ë ¯® § ¬ªã⮬㠪®âãàãáâ «áï+|z−z0 |=ρa−1z − z0 dz ,|z−z0 |=ρª®â®àë© ¬ë ¨ ¢ëç¨á«¨«¨.2. ãáâì ⥯¥àì z0 = ∞. ¯à ¢«¥¨¥ ª®âãà ¨§¬¥¨«®áì ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¥:12πi.f (z) dz =|z−z0 |=ρ1=2πi.(a0 + a1 z + . . . + an z n + . . .)+|z−z0 |=ρ!aa+ 2 + . . . + n + . .
. dz =+zzz.iϕ1a−1z = ρe , = −a−1 ,=dz = dz = ρeiϕ i dϕ 2πiza−1|z−z0 |=ρâ. ¥.res f (z) = −a−1 .z=∞¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ | ¢ â®çª¥ z0 = ∞ ¢ëç¥â à ¢¥ ª®íää¨æ¨¥â㠯ਠz1 , ¢§ï⮬ã á ®¡à âë¬ § ª®¬. ë, ®ç¥¢¨¤®,40§ ¬¥â¨«¨, çâ® íâ® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ®¡å®¤ z0 = ∞ ¯à®¨á室¨â ¢ ®¡à ⮬ ¯à ¢«¥¨¨ ¯® áà ¢¥¨î á ®¡å®¤®¬ ª®¥ç®© â®çª¨.Jᥣ¤ «¨ 㦮 à ᪫ ¤ë¢ âì äãªæ¨î ¢ àï¤ ®à ,çâ®¡ë ©â¨ ¢ëç¥â ¢ â®çª¥? ª §ë¢ ¥âáï, ¥ ¢á¥£¤ .ëç¥â ¢ ª®¥ç®© â®çª¥ a ∈ CI. ᫨ a ∈ C | ãáâà ¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª (), â®res f (z) = 0, â.
ª. ¥â á« £ ¥¬ëå £« ¢®© ç áâ¨, ᮤ¥à¦ é¨åz=a®âà¨æ ⥫ìë¥ á⥯¥¨ à §®á⨠(z − a).II. a ∈ C | ¯®«îá.1) ®«îá 1-£® ¯®à浪 . ) z=ares f (z) = lim (f (z)(z − a));z→a(1.20)∞Xa−1k (z − a) = a−1 );(lim (f (z)(z − a)) = lim ak (z − a) +z→az→az−a0¡) ᫨ äãªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ϕ(a) 6= 0, ψ(a) = 0, ψ 0 (a) 6= 0, â®res f (z) =z=af (z) =ϕ(a).ψ 0 (a)ϕ(z),ψ(z)£¤¥(1.21)ϕ(z)(z − a)=z→aψ(z)ϕ(a)(ϕ(a) + ϕ0 (a)(z − a) + .
. .)(z − a)= lim= 0 );0z→aψ (a)(z − a) + . . .ψ (a)(lim (f (z)(z − a)) = limz→a2) ®«îá k-£® ¯®à浪 .res f (z) =z=adk−1 ((z − a)k f (z))1lim.(k − 1)! z→adz k−1(1.22)III. a ∈ C | áãé¥á⢥® ®á®¡ ï â®çª (). ëç¥â ¢ëç¨á«ï¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ ¢ àï¤ ®à ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ a ∈ C. ®«®áâìî àï¤ å®¤¨âì ¥ ¤® | ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ «¨èì ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ z −1 a .41ëç¥â ¢ ∞1. ᫨ z = ∞ | ãáâà ¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª (), â®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª®¥ç®© â®çª¨, ¢ëç¥â ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ®â«¨ç¥ ®â0, â. ª.
ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ z1 室¨âáï ¢ ¯à ¢¨«ì®© ç áâ¨àï¤ ®à ¨ ¨ª ª ¥ á¢ï§ á ⨯®¬ ®á®¡®© â®çª¨ ¢ ∞.®£¤ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ z1 室¨âáï ¨§ àï¤ ®à , ® ¬®¦® ¨ ¯® ä®à¬ã«¥res f (z) = lim z(f (∞) − f (z)),z=∞z→∞£¤¥ f (∞) = z→∞lim f (z).(1.23)2. ® ¢á¥å ®áâ «ìëå ®á®¡ëå â®çª å ª®íää¨æ¨¥â a−1 ¯à¨1z 室¨âáï à §«®¦¥¨¥¬ ¢ àï¤ ®à ¢ ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ®á⨠z = ∞:res f (z) = −a−1 .z=∞¥¬¬ . ᫨ f (z) ॣã«ïà ¢ C, § ¨áª«î票¥¬, ¡ëâ쬮¦¥â, ª®¥ç®£® ç¨á« ¨§®«¨à®¢ ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª a1 , a2 ,nP. . . , an , â®res f (z) = 0.z=ak=1k1.6.1. ëç¥â ¤«ï ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¢ ∞ ©â¨ ¢ëç¥âë ¢ ∞ äãªæ¨© ez , sin z , cos z , ch z , sh z ¬®¦®¯®-à §®¬ã.1.
ᥠ§â¨ äãªæ¨¨ ॣã«ïàë ¢ C ¨ ¥ ¨¬¥îâ ª®¥çëå®á®¡ëå â®ç¥ª. ®í⮬ã á㬬 ¢ëç¥â®¢ ®â®á¨â¥«ì® ¢á¥åª®¥çëå ®á®¡ëå â®ç¥ª à ¢ 0. í⮬ á«ãç ¥, ¯® «¥¬¬¥,¢ëç¥â ∞ à ¢¥ á㬬¥ ¢ëç¥â®¢ ®â®á¨â¥«ì® ¢á¥å ª®¥çëå ®á®¡ëå â®ç¥ª á ®¡à âë¬ § ª®¬, â. ¥. ¢ëç¥â ¢ ∞¤«ï «î¡®© ¨§ äãªæ¨©: ez , sin z , cos z , ch z , sh z | à ¢¥0.2. ë ¨§ã稫¨ à §«®¦¥¨¥ äãªæ¨© ez , sin z , cos z , ch z , sh z¢ ∞. ¬ ¥â ®âà¨æ ⥫ìëå á⥯¥¥© z | ¢ëç¥â «î¡®©¨§ íâ¨å äãªæ¨© ¢ ∞ à ¢¥ 0.ਬ¥à 1.17. ©¤¨â¥ z=0res sin 3z − 3 sin z .(sin z − z) sin zI ®çª z = 0 | ¯®«îá 1-£® ¯®à浪 (1), â.
ª. ¢ ç¨á«¨â¥«¥ 0âà¥â쥣® ¯®à浪 , ¢ § ¬¥ ⥫¥ 0 ç¥â¢ñà⮣® ¯®à浪 . ®á42¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (1.20) ¤«ï 1:resz=0(sin 3z − 3 sin z)zsin 3z − 3 sin z= lim=z→0(sin z − z) sin z(sin z − z) sin z3327z3z4− 3! + 3! + o(z ) z= lim 3= 24.z→0− z3! + o(z 4 ) (z + o(z 2 ))⢥â. 24.ਬ¥à 1.18.
©¤¨â¥ ¢ëç¥âë äãªæ¨¨f (z) =(z 2J1+ 3 − 4i)(z − 2i)2¢® ¢á¥å ®á®¡ëå â®çª å.I ᥠ®á®¡ë¥ â®çª¨ | ¯®«îáë. ©¤ñ¬ ¨å:z 2 + 3 − 4i = 0 ⇐⇒ z 2 = 12 + 4i + (2i)2 ⇐⇒ z = ±(1 + 2i).â ª, z = ±(1 + 2i) | ¯®«îáë 1-£® ¯®à浪 . ®á¯®«ì§ã¥¬áïä®à¬ã«®© (1.21) ¤«ï 1:1, ψ(z) = z 2 + 3 − 4i ⇒(z − 2i)211,res=z=1+2i (z 2 + 3 − 4i)(z − 2i)22(1 + 2i)11res=−.z=−1−2i (z 2 + 3 − 4i)(z − 2i)22(1 + 2i)(1 + 4i)2®çª z = 2i | ¯®«îá 2-£® ¯®à浪 :!0 (z − 2i)211lim=res =22z→2iz=2i (z 2 + 3 − 4i)(z − 2i)21!(z + 3 − 4i)(z − 2i) 2i−2z−4i. J= 2 =2(z + 3 − 4i) 2i (1 + 4i)2ϕ(z) =¥á¬®âàï «¨ç¨¥ ä®à¬ã«, ¨®£¤ 㤮¡¥¥ 室¨âì a−1ý¢ «®¡þ | à §« £ âì äãªæ¨î ¢ àï¤ ®à .P (z)ਬ¥à 1.19. ©¤¨â¥ z=∞res n .Qn (z)I ãáâì Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . .
. + a0 , Qn (z) = bn z n ++ bn−1 z n−1 + . . . + b0 .43P (z)®£¤ z→∞lim n=Qn (z)樥⠯ਠz1 ý¢ «®¡þ:an⇒z=∞bn| . ©¤ñ¬ ª®íää¨ 1 + aan−1+ o z1nzPn (z)an z n + an−1 z n−1 + . . . + a0an ===·nn−1bn 1 + bn−1 + o 1Qn (z)bn z + bn−1 z+ . . . + b0zbn z!!11anan−1bn−1=· 1++o1−+o=bnan zzbn zz!1 an an−1 bn−11= ·−+ á« £ ¥¬ë¥, ¥ ᮤ¥à¦ 騥 .z bn anbnzP (z)âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® z=∞res nQ (z)n= an bn−1 −2 an−1 bn .⢥â.1ਬ¥à 1.20.
©¤¨â¥ z=0res.z(ez − 1)an bn−1 − an−1 bn.b2nbn â®çª¥ z = 0 ¯®«îá 2-£® ¯®à浪 (2). ©¤ñ¬ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ z1 äãªæ¨¨ f (z)«®¡þ:JI=1z(ez − 1)ý¢11= =2zz22z 1 + z + 2 + o(z ) − 1z 1 + 2 + o(z)=1 − z2 + o(z)z21 1=− +z2⇒ resá« £ ¥¬ë¥, ¥ ᮤ¥à¦ 騥11=− .2− 1)1⇒zz=0 z(ez⢥â.− 21 .J 祬 ã¦ë ¢ëç¥âë ¨ ®á®¡ë¥ â®çª¨?§ 1.7.ëç¨á«¥¨¥ ¨â¥£à «®¢ ¯® § ¬ªã⮬㪮âãàã á ¯®¬®éìî ¢ëç¥â®¢¥®à¥¬ . ãáâì ¢ ®¡« á⨠D ⊂ C á ªãá®ç®-£« ¤ª®© £à ¨æ¥© äãªæ¨ï f (z) ॣã«ïà ¢áî¤ã, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, ª®44¥ç®£® ç¨á« ¨§®«¨à®¢ ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª ®¤®§ 箣® å à ªâ¥à a1 , a2 , . .
. , an ¨ f (z) ¥¯à¥àë¢ D. ®£¤ Zf (z) dz = 2πinXk=1∂Dਬ¥à 1.21. ëç¨á«¨â¥,|z|=2(1.24)res f (z).z=ak2016ezdz .z(z 2016 − 1)ãâà¨( ®ªà㦮á⨠à ᯮ«®¦¥® 2017 ¯®«îᮢ 1-£® ¯®z = 0,à浪 : z 2016 − 1 = 0, k = 1, 2, . . . , 2016 , ¢¥ | ®¤ áãké¥á⢥® ®á®¡ ï â®çª z = ∞. ¯®«îá å ¢ëç¥â áç¨â ¥âáï«¥£ª®, ® ¯®«îᮢ 2017! z = ∞ | , ¢ ª®â®à®© ¢ëç¥âáç¨â ¥âáï ¥ ¢á¥£¤ «¥£ª®.â® ¤¥« âì?I¥à¢ë© ᯮᮡ. ª ª ª+|z|=22016ezdz = −z(z 2016 − 1)|z|=22016ezdz ,z(z 2016 − 1)â®, 祬áç¨â âì 2017 ¢ëç¥â®¢, ¯®¯à®¡ã¥¬ ©â¨ ¢ëç¥â ¢ ∞.+ezezdz = −2πi res.®£¤ z(z 2016 − 1)z=∞ z(z 2016 − 1)20162016|z|=2㤥¬ ¨áª âì a−1 à §«®¦¥¨¥¬ ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãªæ¨¨¢ ®ªà¥áâ®á⨠∞:z 20161edz = 2017z(z 2016 − 1)z=1220171+z2016(z 2016 )2+ ...2!=11 − 2016z1 + z 2016 +!! 1 2(z 2016 )21+ .
. . 1 + 2016 + 2016 + . . . =+2!zz(⥯¥àì ¡ã¤¥¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ã¬®¦ âì á« £ ¥¬ë¥ ¯¥à¢®©áª®¡ª¨ ¢â®àãî ᪮¡ªã ¨ ¢ë¯¨áë¢ âì ⮫쪮 ª®íää¨æ¨¥âë¯à¨ á« £ ¥¬ëå ¢¨¤ z 2016 )11111 + + + ... + + ... +=z2! 3!k!45á« £ ¥¬ë¥, ¥ ᮤ¥à¦ 騥 z1 .㬬¨à㥬 ¯®«ã稢訩áï ç¨á«®¢®© àï¤:+20161+111ez+ + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
