Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Проведенные ранеевычисления показывают также, что если γ — положительно ориентированнаяЛЕКЦИИ ПО ТФКП41окружность с центром в точке a, то J(γ, a) = 1. Этим объясняется терминположительно ориентированная“ .”Для замкнутой кривой γ дополнение C \ γ является открытым множеством,а максимальные связные подмножества в C \ γ представляют собой области иназываются компонентами связности дополнения C \ γ.Теорема 7.1.
Пусть γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая. Тогда функция z 7→ J(γ, z) является целочисленной и постоянной в каждой компонентесвязности дополнения C \ γ. Кроме того, индекс обращается в нуль во внешней компоненте связности (содержащей бесконечно удаленную точку).Доказательство. Замечая, что J(γ, z) можно рассматривать как интегралКоши с плотностью, тождественно равной 1, получаем бесконечную дифференцируемость J(γ, z) и равенствоZd1dζJ(γ, z) =.dz2πi(ζ − z)2γ2Поскольку dζ/(ζ − z) является полным дифференциалом в C \ {z}, то праваячасть последнего равенства обращается в нуль. Следовательно, J(γ, z) ≡ constв каждой компоненте связности множества C \ γ.Равенство индекса нулю во внешней компоненте связности C \ γ следует изего постоянства в этой компоненте связности и того, что интегралZdζζ −zγстремится к нулю при z → ∞.7.2.
Общая форма теоремы Коши. Как было установлено в теореме 4.4,если функция f голоморфна в выпуклой области D, то результат ее интегрирования по любой замкнутой кривой γ, расположенной в D, равен нулю. Дляпроизвольной области D в таком виде результат не имеет места, на что указывает пример кольца 1 < |z − a| < 2 и голоморфной в этом кольце функцииf (z) = 1/(z − a). В связи с этим естественно возникает два вопроса: для какогокласса областей D остается верным заключение теоремы 4.4 и, если областьD произвольна, то для какого семейства замкнутых кривых интеграл от голоморфной в D функции равен нулю? Прежде, чем сформулировать ответ напоставленные вопросы, докажем одно вспомогательное утверждение и приведем некоторые определения.Лемма 7.2.
Пусть f — голоморфная в области D функция. Тогда функция f (ζ) − f (z) , если ζ 6= z,ζ −zg(ζ, z) =f 0 (z),если ζ = z,будет непрерывной в D × D, а для любой кривой γ, расположенной в D,Zh(z) =g(ζ, z)dζγ42В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНбудет голоморфной в D функцией.Доказательство. Докажем вначале непрерывность g(ζ, z) как функциидвух переменных в D × D. В точках (ζ0 , z0 ) при ζ0 6= z0 непрерывность очевидна, поскольку это является следствием непрерывности частного при не обращении в нуль знаменателя.
Пусть теперь z0 ∈ D и рассмотрим поведениефункции g(ζ, z) в окрестности точки (z0 , z0 ). Выберем r > 0 меньше расстояния от z0 до границы ∂D области D. Тогда в замкнутом круге Or (z0 ) функцияf будет представима абсолютно и равномерно сходящимся рядом Тейлораf (z) = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . .
. .Поэтому для ζ, z ∈ Or (z0 ) имеемf (ζ) − f (z) = c1 (ζ − z) +(0= (ζ − z) f (z0 ) +∞Xn=2∞Xn=2cn [(ζ − z0 )n − (z − z0 )n ])n−1cn [(ζ − z0 )n−2+ (ζ − z0 )(z − z0 ) + . . . + (z − z0 )n−1]и далее∞X f (ζ) − f (z)0|g(ζ, z) − g(z0 , z0 )| = |cn |nrn−1 .− f (z0 ) 6ζ −zn=2Замечая, что ряд в правой части последнего неравенства стремится к нулю приr → 0, приходим к непрерывности функции g в точке (z0 , z0 ).Покажем теперь, что функция h является голоморфной в области D. Сновафиксируем z0 ∈ D и r > 0 так, чтобы Or (z0 ) ⊂ D. Для любого треугольника∆, расположенного в Or (z0 ) вместе со своим замыканием имеемZZh(z)dz =∂∆ZZZ g(ζ, z)dζ dz = g(ζ, z)dz dζ.∂∆γγ∂∆Замена порядка интегрирования обоснована непрерывностью функции g.
Заметим теперь, что g(ζ, z)dz является полным дифференциалом в Or (z0 ). ПоэтомуZg(ζ, z)dz = 0∂∆для всех ζ ∈ D. Но тогда иZh(z)dz = 0.∂∆Следовательно, по теореме Морера 5.4 функция h голоморфна в Or (z0 ), а поскольку z0 выбиралось произвольным в D, то получаем голоморфность функции h во всей области D.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП43Введем теперь некоторые понятия и определения.
Пусть γ1 , . . . , γn — замкнутые кусочно-гладкие кривые и k1 , . . . , kn — целые числа. Формальную суммуΓ = k1 γ1 + . . . , kn γn будем называть циклом. Будем говорить, что цикл Γ расположен в области D, если γj ⊂ D, j = 1, . . . , n. В случае, когда Γ расположенв D, а f — непрерывная в D функция, под интегралом от функции f по циклуΓ будем пониматьZZnXf (z)dz :=kj f (z)dz.j=1ΓγjТаким образом, если k — натуральное число, то (−k)γ = k(−γ).Определение интеграла по циклу позволяет ввести понятие индекса точкиотносительно цикла. Если Γ = k1 γ1 + . .
. , kn γn — цикл и a 6∈ Γ (т. е. a не лежитни на одной из кривых γ1 , . . . , γn ), тоJ(Γ, a) :=nXkj J(γj , a).j=1Определение 7.3. Пусть Γ — цикл, расположенный в области D. Будемговорить, что цикл Γ гомологичен нулю относительно области D и писатьΓ∼0(mod D),если J(Γ, a) = 0 для всех точек a 6∈ D.Теорема 7.2. [Общая Коши.] Пусть D — область в C и Γ — цикл, гомологичный нулю относительно области D. Тогда для любой голоморфной в Dфункции f справедливы следующие утверждения:(i) если z ∈ D \ Γ, тоZf (ζ)1dζ;J(Γ, z)f (z) =2πiζ −zΓ(ii) выполняется равенствоZf (ζ)dζ = 0.ΓДоказательство. Пусть f — голоморфная в области D функция. Рассмотрим в D × D функцию f (ζ) − f (z) , если ζ 6= z,ζ −zg(ζ, z) =f 0 (z),если ζ = z,Из леммы 7.2 следует, что g непрерывна на D × D, а функцияZ1g(ζ, z)dζh(z) =2πiΓявляется голоморфной в области D.44В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНРассмотрим теперь открытое множествоQ = {z ∈ C \ Γ : J(Γ, z) = 0}и определим на нем функцию1h0 (z) =2πiZΓf (ζ)dζ.ζ −zВ силу свойств интеграла Коши функция h0 является голоморфной на Q. Кроме того, из условия Γ ∼ 0 (mod D) следует, что C \ D ⊂ Q и для z ∈ Q ∩ Dимеет место равенствоZZf (ζ) − f (z)1f (ζ)1dζ =dζ = h0 (z).h(z) =2πiζ −z2πiζ −zΓΓСледовательно, полагая(F (z) =при z ∈ D,h(z)h0 (z) при z ∈ C \ D,получаем целую функцию. При этомlim F (z) = lim h0 (z) = 0.z→∞z→∞Отсюда, в частности, следует ограниченность функции F , и по теореме Лиувилля 5.7 получаем F (z) ≡ 0.
Равенство h(z) = 0 эквивалентно утверждению(i) из формулировки теоремы.Утверждение (ii) следует из (i) применением к функции f1 (z) = (z − a)f (z),где a — произвольная точка из D \ Γ. Действительно,10 = J(Γ, a)f1 (a) =2πiZΓи теорема доказана.f1 (ζ)1dζ =ζ −a2πiZf (ζ)dζΓСледствие 7.1. [Теорема Коши для односвязной области.] Пусть D — односвязная область и γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположеннаяв D. Тогда для любой голоморфной в D функции f выполняется равенствоZf (z)dz = 0.γДоказательство. Заметим, что если точка a 6∈ D, то она принадлежитвнешней компоненте связности множества C \ γ, поскольку C \ D связно. Поэтому γ образует цикл, гомологичный нулю относительно области D.
Но тогдаутверждение следствия следует из пункта (ii) теоремы 7.2.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП45Для другого следствия общей формы теоремы Коши нам потребуется одно определение. Пусть γ — замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая. Потеореме Жордана она разбивает всю плоскость C на две области, одна из которых ограничена и называется внутренней, а другая не ограничена и называетсявнешней. При этом γ является общей границей этих областей. Как было показано выше, J(γ, z) = 0 для точек z из внешней области. Можно показать(мы не будем этого делать, поскольку в каждом конкретном случае это проверяется непосредственным вычислением или легко следует из геометрическогосмысла индекса), что в случае, когда z лежит во внутренней области, индексJ(γ, z) может равняться 1 или -1. Например, если γ — окружность с центромв точке a и ее параметризация такова, что при возрастании параметра точкадвижется по окружности, оставляя круг (область, ограниченную γ) слева, тоJ(γ, a) = 1.
Этим объясняется происхождение термина "положительно ориентированная граница". В дальнейшем под положительной ориентацией замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой γ мы будем понимать такую еепараметризацию, при которой J(γ, z) = 1 для точек z из внутренней области.Определение 7.4. Будем говорить, что цикл Γ = γ0 − γ1 − . . . − γn , где γj —кусочно-гладкие замкнутые жордановы кривые с положительной ориентацией,ограничивает область D, если Γ является границей области D и(1 при z ∈ D,J(Γ, z) =0 при z ∈ C \ D,При этом Γ называется положительно ориентированной границей области D итакже обозначается ∂D.Следствие 7.2. [Теорема Коши для многосвязной области.] Пусть Γ —цикл, ограничивающий область D, и f — голоморфная функция в области D0 ,которая содержит замыкание D. ТогдаZf (z)dz = 0.ΓДоказательство.
По условию Γ ∼ 0 (mod D0 ) и утверждение следует изпункта (ii) теоремы 7.2.Следствие 7.3. [Интегральная формула Коши для многосвязной области.]В условиях предыдущего следствия для всех z ∈ D выполняется равенствоZ1f (ζ)f (z) =dζ,(7.2)2πiζ −zΓа также для всех n = 1, 2, . . . имеет место равенство для производныхZn!f (ζ)dζ(n)f (z) =.(7.3)2πi(ζ − z)n+1Γ46В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНДоказательство. Равенство (7.2) сразу же следует из пункта (i) теоремы 7.2, если заметить, что по условию J(Γ, z) = 1. Формула (7.2) показывает,что и в случае области D, ограниченной циклом Γ, значения голоморфнойфункции f внутри области D восстанавливаются по ее значениям на границе∂D = Γ. При этом f является интегралом Коши, в котором в качестве плотности выступают ее граничные значения. Таким образом, формула (7.3) следуетиз теоремы 5.1 о свойствах интеграла Коши.§ 8. Ряд Лорана. Изолированные особые точки8.1.
Ряды Лорана. Рассмотрим вначале ряд вида b0 + b1 z −1 + b2 z −2 +. . .. Простая замена переменной z = 1/ζ приводит его к обычному степенномуP∞ряду n=0 bn ζ n . Область сходимости этого ряда, как следует из теоремы 3.1,является круг |ζ| < R, гдеp1/R = lim n |bn |.n→∞Следовательно, областью сходимости исходного ряда является внешность круга |z| > 1/R, где его сумма представляет собой голоморфную функцию. Еслискомбинировать такой ряд с обычнымстепеннымPрядом, то получим более обP∞∞щую форму степенного ряда n=−∞ cn z n , или n=−∞ cn (z − z0 )n , областьюсходимости которого (если она не пуста) является кольцо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
