Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

В. В. Горяйнов, Е. С. ПоловинкинЛекции по теории функций комплексного переменногоСодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Алгебра комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Геометрическое представление комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . .1.3. Последовательности и ряды. Расширенная комплексная плоскость. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Комплексная дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Степенные ряды и элементарные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Комплексное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1. Интеграл и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Теорема Коши для выпуклой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Интеграл Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .6. Ряд Тейлора и теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Индекс. Общая форма теоремы Коши и интегральной формулы Коши7.1. Приращение аргумента вдоль кривой. Индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Общая форма теоремы Коши . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Ряд Лорана. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .8.2. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. Вычеты и вычисление интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Регулярные ветви логарифма и корней .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.1. Условия существования регулярных ветвей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Разложение в ряды регулярных ветвей логарифма и корня . . . .11. Принцип аргумента и отображающие свойства голоморфных функций12. Локально равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1. Определение и свойства локально равномерной сходимости . . . .12.2. Принцип компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. Элементарные конформные отображения и теорема Римана об отображении .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15. Мероморфные функции . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.1. Теорема Миттаг–Леффлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.2. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15.3. Гамма–функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16. Гармонические функции и задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .cВ. В. Горяйнов, Е. С. Половинкин,1225791622222730353838414646495263636872797981859810510610911311820192В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИН17. Асимптотические методы. Функция Эйри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .17.1. Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17.2. Метод стационарной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17.3. Метод перевала . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128130133138142§ 1. Комплексные числаВозникновение комплексного анализа первоначально было связано с решением алгебраических уравнений.

В дальнейшем выяснилось, что анализ надполем комплексных чисел обладает рядом преимуществ и является основоймногих методов исследований в различных областях математики.1.1. Алгебра комплексных чисел. С точки зрения разрешимости алгебраического уравнения x2 + 1 = 0 появляется необходимость расширения полявещественных чисел. Пусть i — новое число (мнимая единица), которое удовлетворяет условию i2 = i · i = −1. Если производить операции сложения иумножения над вещественными числами и мнимой единицей, то мы естественным образом приходим к записи комплексных чисел z = x + iy, где x, y ∈ R.В этой записи x называют вещественной частью комплексного числа z и обозначают x = Re z, а y — мнимой частью с обозначением y = Im z.

Если x = 0,то комплексное число z называют чисто мнимым, а в случае y = 0 говорят,что z вещественно. Нуль является единственным комплексным числом, которое одновременно и вещественное и чисто мнимое. Под равенством двух комплексных чисел понимается одновременное равенство вещественных и мнимыхчастей.Арифметические операции сложения и умножения не выводят за рамки комплексных чисел, если предполагать, что для них выполняются те же арифметические законы, как и для вещественных чисел, а также выполняется правилоi2 = −1. Действительно,(α + iβ) + (γ + iδ) = (α + γ) + i(β + δ),(α + iβ)(γ + iδ) = (αγ − βδ) + i(αδ + βγ).Менее очевидно, что в рамках комплексных чисел возможно деление.

Пустьγ + iδ 6= 0, т. е. γ 2 + δ 2 6= 0. Тогда частное (α + iβ)/(γ + iδ) = x + iy должноопределяться из равенства α+iβ = (γ +iδ)(x+iy). С учетом условия равенствакомплексных чисел x и y должны являться решением системы двух линейныхуравнений(γx − δy = α,δx + γy = β.Поскольку γ 2 + δ 2 6= 0, то эта система имеет единственное решениеx =αγ + βδ,γ 2 + δ2y =βγ − αδ.γ 2 + δ2В частности, обратное к числу α + iβ 6= 0 определяется равенством1α − iβαβ= 2= 2−i 2.22α + iβα +βα +βα + β2ЛЕКЦИИ ПО ТФКП3Можно также получить явный вид квадратного корня из комплексного числа α+iβ.

Действительно, нам нужно найти число x+iy, которое удовлетворяетравенству(x + iy)2 = α + iβ.Снова равенство комплексных чисел приводит к системе двух вещественныхуравнений(x2 − y 2 = α,(1.1)2xy = β.Ее решение также должно удовлетворять системе уравнений(x2 − y 2 = α,(x2 + y 2 )2 = α2 + β 2 ,из которой следуют равенства1 p 2x2 =α + β2 + α ,2y2 =1 p 2α + β2 − α .2Таким образом, возможны лишь по два значения для x и для y:spspα2 + β 2 + αα2 + β 2 − αx = ±, y = ±.22Выбор знаков можно осуществить с учетом равенства 2xy = β. Если β = 0,то решениями системы (1.1) являются√x = ± α,y = 0при α > 0 иx = 0,√y = ± −αпри α < 0.

В случае β 6= 0 значения x и y должны быть одного знака при β > 0и иметь разные знаки при β < 0. Следовательно, для любого комплексногочисла α + iβ 6= 0 существует ровно два квадратных корня:sps p2222pα +β +αβα + β − αα + iβ = ± +i2|β|2√√если β 6= 0, а при β = 0 этими корнями являются ± α, если α > 0, и ±i −α,если α < 0.

Оба эти корня, как и в случае извлечения квадратного корня изположительного числа, отличаются друг от друга только знаком.Отметим также, что введенное выше равенство комплексных чисел можноподкрепить следующими рассуждениями. Пусть α + iβ = γ + iδ, т. е. мы имеемдве записи одного комплексного числа. Тогда α − γ = i(δ − β) и после возведения в квадрат обеих частей равенства приходим к равенству вещественныхчисел (α − γ)2 = −(δ − β)2 , которое возможно лишь в случае α = γ и β = δодновременно.

Совокупность всех комплексных чисел обозначают символом C.Из проведенных выше рассуждений следует, что C является числовым полем.4В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНПод комплексным сопряжением понимается операция, которая каждомукомплексному числу a = α + iβ ставит в соответствие сопряженное числоa = α − iβ. Комплексное сопряжение является инволюцией, что выражается равенством a = a. Вещественная и мнимая части комплексного числа aалгебраически выражаются через a и a:Re a =1(a + a),2Im a =1(a − a).2iФундаментальным свойством сопряжения является то, чтоa + b = a + b,ab = ab.Эти равенства легко проверяются непосредственным сравнением левых и правых частей.

Далее, поскольку частное z = a/b определяется как решение уравнения a = bz, то в силу предыдущих свойств a = bz, откуда получаемaa= .bbЗаметим теперь, что для любого комплексного числа a = α + iβ произведение aa = α2 + β 2 всегда принимает неотрицательное√ значение и равняетсянулю лишь в случае a = 0. Неотрицательный корень aa называется модулемкомплексного числа a и обозначается |a|. Отметим основные свойства модуля. Непосредственно из определения следует, что aa = |a|2 и |a| = |a|. Дляпроизведения двух комплексных чисел a и b получаем|ab|2 = abab = abab = aabb = |a|2 |b|2 ,т.

е. |ab| = |a||b|. Если b 6= 0, то для частного a/b будет выполняться равенствоb(a/b) = a. Используя свойство модуля для произведения чисел, получаем|b||a/b| = |a|, откуда следует равенствоa|a| . =b|b|В отличие от вещественных чисел комплексные числа не связаны отношением порядка. Поэтому все неравенства записываются только для вещественныхчисел. Из определения модуля сразу же следуют неравенства−|a| 6 Re a 6 |a|,−|a| 6 Im a 6 |a|.Равенство Re a = |a| имеет место в том и только том случае, если a вещественнои неотрицательно. Далее, для любых двух комплексных чисел a и b имеем|a + b|2 = (a + b)(a + b) = |a|2 + |b|2 + 2 Re{ab} 6 |a2 | + |b|2 + 2|a||b| = (|a| + |b|)2 .Отсюда следует неравенство треугольника для комплексных чисел|a + b| 6 |a| + |b|.Заметим, что в этом неравенстве знак равенства достигается лишь в случае,если ab > 0.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП5Применяя неравенство треугольника, получаем|a| = |(a − b) + b| 6 |a − b| + |b|,откуда следует, что |a| − |b| 6 |a − b|.

Аналогично получаем|b| = |(b − a) + a| 6 |b − a| + |a|и |b| − |a| 6 |a − b|. Полученные неравенства приводят к следующему||a| − |b|| 6 |a − b|.1.2. Геометрическое представление комплексных чисел. На координатной плоскости комплексное число a = α + iβ можно интерпретировать либокак точку с координатами (α, β), либо как вектор, выходящий из начала координат в эту точку. Саму плоскость при этом будем называть комплекснойплоскостью.Сложение комплексных чисел вполне согласуется с векторным сложением.Кроме того, простое геометрическое содержание получают в рамках векторной интерпретации комплексных чисел модуль |a| (длина вектора), неравенствотреугольника |a + b| 6 |a| + |b| и тождество параллелограмма|a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 ).Комплексное число a и его комплексное сопряжение a представляют на комплексной плоскости точки, симметричные относительно вещественной оси.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций