Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Частное двух непрерывных функций f и g также непрерывно в некоторойокрестности точки a, если в этой точке не обращается в нуль знаменатель.Кроме того, из неравенств| Re f (z) − Re f (z0 )|| Im f (z) − Im f (z0 )| 6 |f (z) − f (z0 )|||f (z)| − |f (z0 )||следует, что если f непрерывна, то таковыми являются Re f , Im f и |f |.Производная функции определяется как предел отношения приращений независимой и зависимой переменных, т. е. по форме комплексное дифференцирование вполне аналогично вещественному:f (z) − f (a).z→az−af 0 (a) = limЭто определение производной и идентичность арифметических законов длякомплексных и вещественных чисел показывают, что обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного выполняются и в комплексномслучае.
Однако, в отличие от понятия непрерывности, которое просто сводитсяк непрерывности вещественной и мнимой частей, условие дифференцируемостивлечет совершенно неожиданные свойства функции.Теорема 2.1. Для дифференцируемости функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y)в точке z = x + iy в комплексном смысле необходимо и достаточно, чтобыона была дифференцируема в вещественном смысле (т. е. дифференцируемыфункции u(x, y) и v(x, y)) и выполнялись равенства∂v∂u=,∂x∂y∂u∂v= − .∂y∂x(2.3)11ЛЕКЦИИ ПО ТФКПДоказательство.
Вещественная дифференцируемость функции f в точкеz = x + iy означает представление приращений функций u(x, y) и v(x, y) в видеu(x + ξ, y + η) − u(x, y) = u0x · ξ + u0y · η + o(|ζ|),v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = vx0 · ξ + vy0 · η + o(|ζ|),где частные производные вычислены в точке (x, y) и ζ = ξ + iη. С другойстороны, комплексная дифференцируемость функции f в точке z эквивалентнапредставлению ее приращения в видеf (z + ζ) − f (z) = f 0 (z)ζ + ζσ(ζ),где σ(ζ) → 0 при ζ → 0. Пусть f 0 (z) = α + iβ.
Тогда, отделяя в последнемравенстве вещественную и мнимую части, получаемu(x + ξ, y + η) − u(x, y) = α · ξ − β · η + o(|ζ|),v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = β · ξ + α · η + o(|ζ|).Другими словами, du = αdx − βdy, dv = βdx + αdy. В силу единственностидифференциала получаем равенстваu0x = α,u0y = −β,vx0 = β,vy0 = α,из которых следуют соотношения (2.3). Таким образом, из комплексной дифференцируемости следует вещественная дифференцируемость и выполнениесоотношений (2.3). При этомf 0 (z) =∂u∂v∂v∂u+i=−i .∂x∂x∂y∂y(2.4)Обратно, допустим, что f дифференцируема в вещественном смысле и выполняются соотношения (2.3).
Тогда, умножая приращение функции v на i искладывая его с приращением функции u, получаем приращение функции f изкоторого следует ее комплексная дифференцируемость.Определение 2.2. Функцию f , определенную на открытом множестве D ⊂C будем называть голоморфной (аналитической, регулярной) в D, если онадифференцируема в комплексном смысле в каждой точке D. Будем говорить,что f голоморфна на произвольном множестве E ⊂ C, если она голоморфна нанекотором открытом множестве D, содержащем E.Соотношения (2.3), которым удовлетворяют вещественная и мнимая частиголоморфной функции, называются условиями (или системой уравнений) Коши—Римана.
С учетом равенств (2.3) можно записать четыре различных выражения для f 0 (z) в терминах частных производных. В ходе доказательстватеоремы были получены следующие дваf 0 (z) =∂f∂u∂v∂v∂u∂f=+i=−i= −i .∂x∂x∂x∂y∂y∂yСами условия Коши—Римана можно записать одним комплексным равенством∂f∂f= −i .∂x∂y12В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЕсли воспользоваться инвариантностью формы первого дифференциала и формальной заменой dx и dy на dz и dz, то очевидные преобразования∂f∂fdx +dy∂x∂y1 ∂f1 ∂f=(dz + dz) +(dz − dz)2 ∂x2i ∂y1 ∂f∂f1 ∂f∂f=−idz ++idz2 ∂x∂y2 ∂x∂ydf =естественным образом приводят к дифференциальным операторам1 ∂f∂f∂f1 ∂f∂f∂f=−i,=+i.∂z2 ∂x∂y∂z2 ∂x∂yВ этих терминах условия Коши—Римана принимают вид∂f= 0.∂zСистема уравнений Коши—Римана (2.3) обладает рядом интересных свойств.В частности, если предположить, что функции u(x, y) и v(x, y) являются дважды непрерывно дифференцируемыми, то из (2.3) получаем∂2v∂2u=,∂x2∂x∂y∂2u∂2v=−.∂y 2∂x∂yОтсюда и из равенства смешанных производных следует, что функция u(x, y)удовлетворяет уравнению4u =∂2u ∂2u+ 2 = 0.∂x2∂yДифференциальный оператор4 =∂2∂2+∂x2∂y 2называется оператором Лапласа, а дифференциальное уравнение 4u = 0 —уравнением Лапласа.
Аналогично предыдущему получаем, что функция v(x, y)также удовлетворяет уравнению Лапласа.Определение 2.3. Функция u(x, y) действительных переменных x, y, принимающая вещественные значения и дважды непрерывно дифференцируемая,называется гармонической в области определения (на открытом множестве D),если 4u = 0 всюду в D. Две гармонические функции u(x, y) и v(x, y), связанные соотношениями Коши—Римана (2.3), называются сопряженными гармоническими функциями.Как уже отмечалось выше, правила дифференцирования суммы, произведения и частного голоморфных функций совпадают с аналогичными правилами дифференцирования из вещественного анализа. Допустим теперь, чтоЛЕКЦИИ ПО ТФКП13w = f (z) — голоморфная в окрестности Or (z0 ) функция, которая принимаетзначения в окрестности O% (w0 ) и f (z0 ) = w0 .
Пусть также функция ζ = g(w)голоморфна в окрестности O% (w0 ). Тогда композиция ζ = h(z) = g(f (z)) является голоморфной в Or (z0 ) функцией и имеет место равенствоh0 (z0 ) = g 0 (w0 )f 0 (z0 ) = g 0 (f (z0 ))f 0 (z0 ).Действительно, пусть ∆z = z − z0 и ∆w = f (z) − f (z0 ). В силу комплекснойдифференцируемости функций f и g имеем∆w = f 0 (z0 )∆z + o(|∆z|),g(w) − g(w0 ) = g 0 (w0 ) · ∆w + ∆w · η(∆w),где η(∆w) → 0 при ∆w → 0.
Но тогдаh(z) − h(z0 )g(f (z)) − g(f (z0 ))∆w ∆w== g 0 (w0 )+η(∆w) → g 0 (w0 )f 0 (z0 )z − z0z − z0∆z∆zпри ∆z → 0.Определение 2.4. Множество E ⊂ C называется связным, если не существует двух открытых множеств G1 и G2 , удовлетворяющих условиям:(i) E ⊂ G1 ∪ G2 ;(ii) E ∩ G1 ∩ G2 = ∅;(iii) G1 ∩ E 6= ∅, G2 ∩ E 6= ∅.Интуитивно связность означает, что множество E состоит из одного кус”ка“ .
В случае, когда E является открытым множеством, условие (ii) можносформулировать в виде G1 ∩ G2 = ∅, поскольку в этом случае множества G1 иG2 , удовлетворяющие условиям (i) — (iii) можно заменить на E ∩ G1 и E ∩ G2 .Теорема 2.2. Отрезок прямой — связное множество. При этом допускается, чтобы один из концов отрезка был бесконечно удаленной точкой, а самотрезок был открытым, замкнутым или полуоткрытым.Доказательство. Допустим противное, т. е.
найдутся два открытых множества G1 и G2 , для которых выполнены условия (i) — (iii), где E — наш отрезок. Тогда на E найдутся две конечные точки a ∈ G1 и b ∈ G2 . Очевидно,что условия (i) — (iii) также выполняются при замене E на отрезок E1 = [a, b].Разобьем E1 пополам и выберем ту его часть E2 , которая представляет собойотрезок с концами в разных множествах G1 и G2 . Продолжая этот процесс, получим последовательность замкнутых вложенных отрезков E1 ⊃ E2 ⊃ .
. ., длины которых стремятся к нулю. По теореме Кантора, существует единственнаяточка ξ, принадлежащая всем отрезкам последовательности {En }. Из условий(i), (ii) следует, что ξ принадлежит одному из множеств G1 или G2 . Пусть этодля определенности будет G1 . В силу открытости G1 и стремления длин Enк нулю следует, что En ⊂ G1 при достаточно больших номерах n. Однако этопротиворечит условиям выбора En .Определение 2.5. Непустое открытое связное множество называется областью.Следующий результат дает характеристическое свойство области.14В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТеорема 2.3. Непустое открытое множество D ⊂ C является связнымв том и только том случае, если любые две его точки можно соединить ломаной, расположенной в D. При этом ломаную можно выбрать так, чтобыее звенья были параллельны координатным осям.Доказательство. Пусть D связно и a ∈ D.
Обозначим через G1 множество точек в D, которые можно соединить с a ломаной, расположенной в D иимеющей звенья, параллельные координатным осям. Через G2 обозначим теточки из D, которые не удовлетворяют этому условию. Если некоторую точкуb ∈ D можно соединить с a указанной ломаной, то и точки круговой окрестности Or (b) ⊂ D также можно соединить такой ломаной. Это означает, что G1 —открытое множество.
Аналогично убеждаемся, что G2 — открытое множество.В силу того, что D связно, одно из открытых множеств G1 или G2 должнобыть пусто. Поскольку точка a содержится в D с некоторой окрестностью,то G1 6= ∅. Следовательно, G2 = ∅ и все точки из D можно соединить с aломаной со звеньями, параллельными координатным осям.Обратно, пусть D — открытое множество и любые две точки этого множества можно соединить ломаной, расположенной в D. Тогда связность D легкоустанавливается рассуждениями от противного.
Действительно, допустим, чтоG1 и G2 — открытые множества, удовлетворяющие условиям: G1 ∪ G2 = D,G1 ∩ G2 = ∅ и G1 6= ∅, G2 6= ∅. Выберем две точки a ∈ G1 и b ∈ G2 . Поусловию их можно соединить в D ломаной. На этой ломаной найдется отрезокE, концы которого расположены в разных множествах G1 и G2 . Но тогда дляE и G1 , G2 будут выполнены условия (i) — (iii), что противоречит связностиотрезка.Определение 2.6. Область D ⊂ C называется односвязной, если ее дополнение C \ D является связным множеством в C.Заметим, что в этом определении дополнение рассматривается в расширенной комплексной плоскости C. В связи с этим определением полоса являетсяодносвязной областью.Теорема 2.4.
Пусть f — голоморфная в области D ⊂ C функция и f 0 (z) =0 для всех z ∈ D. Тогда f (z) ≡ const в D.Доказательство. Если f (z) = u(x, y) + iv(x, y), то из условия теоремыследует, что u0x ≡ 0, u0y ≡ 0, vx0 ≡ 0 и vy0 ≡ 0 в D. Допустим, что отрезокE = {z = x + iy0 : x1 6 x 6 x2 } содержится в D. Поскольку u0x (x, y0 ) = 0 приx ∈ [x1 , x2 ], то по теореме из вещественного анализа u(x, y0 ) ≡ const на [x1 , x2 ].Другими словами, функция u(x, y) является постоянной на горизонтальныхотрезках, расположенных в D.
Условие u0y ≡ 0 дает постоянство функцииu(x, y) на вертикальных отрезках. Аналогичным свойством обладает функцияv(x, y). Следовательно, функция f (z) является постоянной на горизонтальныхи вертикальных отрезках, расположенных в области D.Пусть теперь z1 и z2 — произвольные точки области D. По предыдущей теореме их можно соединить в D ломаной со звеньями, параллельными координатным осям.
В силу доказанного свойства функции f получаем f (z1 ) = f (z2 ).ЛЕКЦИИ ПО ТФКП15Теорема 2.5. [Об обратной функции]. Пусть в области D функция w =f (z) голоморфна и имеет непрерывную производную. Допустим, что точкеz0 ∈ D при отображении f соответствует точка w0 = f (z0 ) и f 0 (z0 ) 6= 0.Тогда найдутся такие окрестность U точки z0 (открытое множество, содержащее z0 ) и окрестность V точки w0 , что f взаимно однозначно отображает U на V и обратное отображение g = f −1 является голоморфнойфункцией в V . При этом1g 0 (w0 ) = 0.f (z0 )Доказательство. Заметим прежде всего, что поскольку производная f 0 (z)непрерывна, то ее модуль |f 0 (z)| также будет непрерывной функцией. По условию |f 0 (z0 )| > 0 и, следовательно, найдется круговая окрестность Or (z0 ), вкоторой выполняется неравенство |f 0 (z)| > 0.Далее, выделяя в переменных z = x+iy и w = u+iv вещественные и мнимыечасти, функцию w = f (z) можно представить как отображение f : (x, y) 7→(u, v), действующее в R2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
