Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Но тогдаS(ϕ(ζ)) − S(z0 ) = [g(ϕ(ζ))]2 = ζ 2(17.7)при |ζ| 6 %. Пусть ζ = ξ + iη иS(z) − S(z0 ) = U (z) + iV (z).Из равенства (17.7) видно, что V (ϕ(ζ)) = Im ζ 2 = 2ξη обращается в нуль вкруге O% (0) на вещественном и мнимом диаметрах. При этом U (ϕ(ζ)) = ξ 2 − η 2достигает в точке ζ = 0 минимум на вещественном диаметре и максимум намнимом диаметре.Таким образом, кривая γ ∗ : z(t) = ϕ(it), −% 6 t 6 %, проходит через точкуz0 = z(0) и удовлетворяет условиям (i), (ii). Заметим также, что z0 являетсяседловой“точкой для функции U (z). При этом, выходя из точки z0 вдоль”∗γ , мы имеем наискорейшее убывание функции U (z).
Последнее объясняетсятем, что градиент ∇U = Ux0 + iUy0 функции U направлен вдоль кривой γ ∗ .Действительно,z 0 (t) · ∇U = |z 0 (t)| · |∇U |(cos θ + i sin θ),где θ — угол между z 0 (t) и ∇U . С другой стороны, с использованием условийКоши— Римана и равенства V (z(t)) = 0 получаемIm{z 0 (t)∇U } = Im{(x0 (t) − iy 0 (t))(Ux0 + iUy0 )}= Uy0 · x0 (t) − Ux0 · y 0 (t)= − Vx0 · x0 (t) + Vy0 · y 0 (t)d= − V (z(t)) = 0.dtСледовательно, sin θ = 0, т. е. z 0 (t) и ∇U направлены вдоль одной прямой. Всвязи с этим метод перевала называют также методом наискорейшего спускаили методом седловой“ точки.”Возвращаясь к асимптотике интеграла (17.6) заметим, что в случае, когдаудается кривую γ выбрать в соответствии с условиями (i), (ii), главный членасимптотики будет определяться интегралом по по части γ в окрестности критической точки. Другими словами, асимптотика F (λ) при λ → ∞ будет определяться интегралом по γ ∗ .
Далее,ZZf (z)eλS(z) dz = eλS(z0 ) f (z)eλ(S(z)−S(z0 )) dzγ∗= eλS(z0 )γ∗Z%−%Z%= eλS(z0 )−%f (z(t))eλU (z(t)) z 0 (t)dtefe(t)eλS(t) dt,140В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНгдеfe(t) = f (z(t))z 0 (t),eS(t)= U (z(t)) = S(z(t)) − S(z0 ).По теореме 17.1 получаемZλS(z)f (z)edz = eγ∗λS(z0 )sef (0)2π+O−λSe00 (0) !1.λe и условия S 0 (z0 ) = 0 следует, чтоИз определения S(t)Se00 (0) = (z 0 (0))2 S 00 (z0 ) = −|z 0 (0)|2 · |S 00 (z0 )|.Но тогдаsfe(0)2π= f (z0 )eiφ−λSe00 (0)s2π,λ|S 00 (z0 )|где φ = arg z 0 (0). В результате, если f (z0 ) 6= 0, тоsZ2π1λS(z)iφλS(z0 )√f (z)edz = e f (z0 )e1+Oλ|S 00 (z0 )|λγ∗при λ → ∞.Теперь мы можем завершить исследование асимптотики функции Эйри. Вэтом специальном случае (17.5) λ = u3/2 иz31 21 222S(z) = i z +y − x − 1 + ixx −y +1 .= y333Уравнение S 0 (z) = 0 имеет два корня z = ±i.
Выберем в качестве критическойточки для дальнейших вычислений z0 = i, в которой S 00 (z0 ) = −2. Черезэтуe : z(t) = it, −∞ < t < ∞, и γ : z(x) = x +p точку проходит две кривые γi 1 + x2 /3, −∞ < x < ∞, на которых Im S(z) = 0. На γe функция1 2Re S(z) = yy −13в точке z0 = i имеет локальный минимум, а на γ функцияrx222Re S(z) = − (4x + 1) 1 +33в точке z0 = i достигает абсолютного максимума. Замечая, что S(z0 ) = − 23 иz 0 (0) = 1, получаемr Zπ1λS(z)−2λ/3edz = e1+O √(17.8)λλγпри λ → ∞.141ЛЕКЦИИ ПО ТФКППокажем теперь, чтоZ∞eiλ(t+t3 /3)−∞Zdt =eλS(z) dz.(17.9)γИз параметризации кривой γ видно, что она представляет собой ветвь гиперболы с асимптотами z = reiπ/6 и z = rei5π/6 , r > 0.
Для R > 1 через ΓRобозначим контур, который состоит из отрезка [−R, R] вещественной оси, ча+−сти γR кривой γ, которая лежит внутри круга |z| 6 R, и двух дуг CRи CRокружности |z| = R, которые соединяют концы отрезка [−R, R] с концами дуги+−γR . Параметризуем кривые CRи CRследующим образом:+CR: z(t) = Reit , 0 6 t 6 θ(R);где−CR: z(t) = −Re−it , 0 6 t 6 θ(R),(√ r)31θ(R) = arccos1− 2 .2R+−Тогда ΓR = [−R, R] + CR− γR − CRбудет положительно ориентированнойграницей области DR . Поскольку S(z) является голоморфной функцией вовсей комплексной плоскости, то по интегральной теореме Коши имеет месторавенствоZeλS(z) dz = 0,ΓRкоторое можно переписать в эквивалентном видеZZZZλS(z)λS(z)λS(z)edz +edz =edz +eλS(z) dz.+CR[−R,R]γR−CRДалее, посколькуS(−Re−it )1 31 3= S(Re ) = − R sin t + R sin 3t + i R cos t + R cos 3t ,33itто при λ > 1 выполняются следующие неравенстваZZθ(R)Zπ/6Z1 3λS(z)λS(z)− 31 R3 sin 3te− 3 R sin 3t dtdz = edt 6 2Rdz 6 Re eC −C +00RR2R=3Zπ/2Zπ/2Z∞32Rππ− 13 R3 sin t− 2Rτ3πedt 6edτ 6 2e−s ds = 2 ,3RR000и при R → ∞ мы получаем равенство (17.9).
Из (17.9) и (17.8) получаемu1/2Ai(u) =2πZ∞e−∞u1/3 i(t+t3 /3)u−1/4 2 3/2dt = √ e− 3 u2 π1+O1u3/4142В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНпри u → ∞.Полученные выше результаты можно сформулировать в виде следующейтеоремы.Теорема 17.3. Для функции Эйри Ai(s) имеют место следующие асимптотические формулы:12 3/2 π1Ai(s) = √cos|s|+O−34π|s|1/4|s|3/2при s → −∞ иAi(s) =s−1/4 − 2 s3/2√ e 32 π1+O1s3/4при s → ∞.Список литературы[1] О. В. Бесов, Лекции по математическому анализу, ФИЗМАТЛИТ, М., 2014.[2] В. В.
Горяйнов, Е. С. Половинкин, Лекции по теории функций комплексного переменного, МФТИ, М., 2017.[3] М. А. Евграфов, Аналитические функции, Наука, М., 1991.[4] М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, М., 1973.[5] Е. С. Половинкин, Теория функций комплексного переменного, ИНФРА-М, М.,2015.[6] Ю. В.
Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин, Лекции по теории функций комплексного переменного, Наука, М., 1982.[7] Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ. Ч. 1, 2, Наука, М., 1985.[8] М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, БИНОМ. Лаборатория знаний, М., 2006.[9] Г. Н. Яковлев, Лекции по математическому анализу. Ч. 1, 2, ФИЗМАТЛИТ,М., 2001.[10] L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1979.[11] E. M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, NJ, 2003..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
