Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это значит, что u(z) ≡const в D и теорема доказана.Из принципа экстремума сразу же следуют два варианта теоремы единственности для гармонических функций. Заметим при этом, что поскольку разность двух гармонических функций также является гармонической функцией,то условие совпадения двух гармонических функций можно сформулировать ввиде условий равенства нулю гармонической функции.Теорема 16.3.
[Единственности.] Пусть u(z) — гармоническая в областиD функция и выполнено одно из условий:(i) u(z) = 0 в некоторой окрестности Or (z0 ) ⊂ D;(ii) область D ограничена, а функция u(z) непрерывно продолжается в замыкание D области D и u(z) = 0 при z ∈ ∂D.Тогда u(z) ≡ 0 в области D.Доказательство.
Допустим вначале, что выполнено условие (i). Это означает, что функция u(z) достигает локального максимума (и минимума) в точкеz0 . Но в силу принципа экстремума тогда гармоническая функция u(z) должнабыть тождественно постоянной, т. е. u(z) ≡ 0 в D.Допустим теперь, что выполнено условие (ii). На ограниченном замкнутоммножестве D непрерывная функция u(z) должна достигать своего максимума и минимума. Однако в силу принципа экстремума максимум и минимумгармонической функции не может достигаться во внутренних точках области,если u(z) 6≡ const. Поскольку на границе ∂D функция u(z) принимает толькоодно значение, равное нулю, то u(z) ≡ 0 в области D и теорема доказана.Замечание 16.1. Утверждение теоремы о том, что из условия (i) следуеттождественное обращение в нуль гармонической в области D функции, называют внутренней теоремой единственности.
Действительно, если две гармонические функции u1 (z) и u2 (z) совпадают в некоторой окрестности Or (z0 ) ⊂ D, тоих разность u(z) = u1 (z) − u2 (z) должна быть тождественным нулем в областиD, т. е. u1 (z) ≡ u2 (z) в D.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП121Замечание 16.2. Утверждение теоремы о том, что из условия (ii) следуеттождественное обращение в нуль гармонической в области D функции, даеттеорему единственности решения задачи Дирихле. Под классической задачейДирихле понимается задача отыскания гармонической в области D и непрерывной в замыкании D функции u(z) по заданным граничным значениям.Пример.
В связи с различными обобщениями задачи Дирихле полезно рассмотреть следующий пример гармонической в единичном круге D функции,которая непрерывно продолжается во все точки единичной окружности T, заисключением одной ζ = 1. Пусть L(z) = (1 + z)/(1 − z) — дробно-линейноепреобразование единичного круга на правую полуплоскость.
Точка ζ = 1 переходит в бесконечно удаленную точку. Вещественная частьu(z) = Re L(z) =1 − |z|2|1 − z|2является гармонической в D функцией и принимает нулевые значения на T \{1}. Из отображающих свойств L(z) видно, что линиями уровня функции u(z)являются окружности, которые касаются единичной окружности T в точкеζ = 1.Следующий результат с учетом теоремы Каратеодори позволяет редуцировать задачу Дирихле с произвольной односвязной области D, ограниченнойжордановой кривой, на единичный круг.Теорема 16.4. [Конформная инвариантность.] Пусть u(z) — гармоническая в области G функция, а f (z) является голоморфной в области D и принимает значения из G, т. е. f (D) ⊂ G. Тогда v(z) = u(f (z)) является гармонической в области D функцией.Доказательство.
Если f (z) ≡ const, то и v(z) ≡ const, т. е. является гармонической функцией. Допустим теперь, что f (z) 6≡ const. Фиксируем произвольно точку z0 ∈ D и пусть w0 = f (z0 ). В силу принципа открытости (илисохранения области) найдется % > 0 такое, что O% (w0 ) ⊂ f (D). ПосколькуO% (w0 ) является односвязной областью, то найдется голоморфная в ней функция g(w), для которой Re g(w) = u(w) при всех w ∈ O% (w0 ). В силу непрерывности f найдется r > 0 такое, что Or (z0 ) ⊂ D и f (Or (z0 )) ⊂ O% (w0 ).
Но тогдав окрестности Or (z0 ) будет выполняться равенство v(z) = Re g(f (z)). Такимобразом, функция v(z) является гармонической в окрестности Or (z0 ), поскольку в этой окрестности она представима как вещественная часть голоморфнойфункции. Поскольку z0 выбиралось произвольно, то v(z) гармонична в областиD и теорема доказана.Доказанная теорема чаще всего применяется в случае, когда f являетсяконформным отображением.
Этим объясняется ее название. Гармоническиефункции обладают также важным свойством среднего значения, которое используется при численном моделировании.122В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТеорема 16.5. [О среднем.] Пусть u(z) — гармоническая в круге Or (z0 ) инепрерывная в замыкании Or (z0 ) функция.
Тогда1u(z0 ) =2πZ2πu(z0 + reiθ )dθ =12π0Zu(z0 + rζ)|dζ|,Tгде T — положительно ориентированная единичная окружность.Доказательство. Вначале заметим, что в силу односвязности круга найдется такая голоморфная в Or (z0 ) функция f (z), что Re f (z) = u(z) при всехz ∈ Or (z0 ). Для каждого % ∈ (0, r) применима интегральная формула Коши,согласно которойZ1f (ζ)f (z0 ) =dζ,2πiζ − z0γ%где γ% — положительно ориентированная окружность |ζ − z0 | = %. Используяпараметризацию γ% : ζ = z0 + %eiθ , 0 6 θ 6 2π, равенство выше можно переписать в видеZ2π1f (z0 + %eiθ )dθ.f (z0 ) =2π0Отделяя в обеих частях этого равенства вещественную часть, получаем1u(z0 ) =2πZ2πu(z0 + %eiθ )dθ.0В силу непрерывности функции u(z) в замкнутом круге |z − z0 | 6 r в интегралеможно осуществить предельный переход при % % r, что приводит к утверждению теоремы.Теорема 16.6.
[Формула Пуассона.] Пусть u(z) — гармоническая в единичном круге D и непрерывная в его замыкании D функция. Тогда для всехa ∈ D выполняется равенство1u(a) =2πZ2π01 − |a|21u(eiθ )dθ =|eiθ − a|22πZT1 − |a|2u(κ)|dκ|.|κ − a|2(16.1)Доказательство. В случае a = 0 равенство (16.1) выражает теорему осреднем. Допустим теперь, что a 6= 0 и рассмотрим дробно-линейное преобразованиеz−aL(z) =,1 − azкоторое конформно отображает единичный круг D на себя и L(a) = 0. Определим функцию v(z) = u ◦ L−1 (z).
В силу конформной инвариантности свойствагармоничности функция v(z) также будет гармонической в D. Кроме того, она123ЛЕКЦИИ ПО ТФКПбудет непрерывна в D и v(0) = u(a). Поэтому, применяя теорему о среднем кфункции v(z), получаемZ1u(a) = v(0) =u(L−1 (ζ))|dζ|.2πTВыполним в интеграле замену переменнойκ = L−1 (ζ),dζ = L0 (κ)dκζ = L(κ),и перепишем полученное равенство в видеZZ11 − |a|210u(κ)|L (κ)||dκ| =u(κ)|dκ|.u(a) =2π2π|1 − aκ|2TTПоскольку при κ ∈ T имеет место равенство|1 − aκ| = |κ − a| = |κ − a|,то полученное соотношение для u(a) эквивалентно (16.1).Равенство (16.1) известно как формула Пуассона, которая восстанавливаетгармоническую в D и непрерывную в D функцию u(z) по ее значениям на границе T. Таким образом, формула Пуассона дает конструктивное решение классической задачи Дирихле для единичного круга D, если известно, что решениесуществует.
Далее мы покажем, что для любой непрерывной на T функциизадача Дирихле разрешима. Мы докажем разрешимость даже более общейзадачи, когда на границе T задается не обязательно непрерывная функция.Интеграл Пуассона.Пусть ϕ — интегрируемая (абсолютно по Риману или по Лебегу) на T вещественнозначная функция. Тогда для z ∈ D определен интеграл1P (z; ϕ) =2πZ2π01 − |z|21ϕ(eiθ )dθ =|eiθ − z|22πZT1 − |z|2ϕ(κ)|dκ|,|κ − z|2который называется интегралом Пуассона с плотностью ϕ. Выражение(1 − |z|2 )/|κ − z|2называют ядром Пуассона. Легко видеть, что для z ∈ D и κ ∈ T имеет месторавенство1 − |z|2κ+z= Re.|κ − z|2κ−zВыражение (κ + z)/(κ − z) называют ядром Шварца и для плотности ϕ определен также интеграл ШварцаZκ+z1S(z; ϕ) =ϕ(κ)|dκ|.2πκ−zT124В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНСвязьRe S(z; ϕ) = P (z; ϕ)между интегралами Пуассона и Шварца с одной и той же плотностью позволяет использовать методы теории аналитических функций при изучении свойствинтеграла Пуассона.Теорема 16.7. Пусть ϕ — интегрируемая на единичной окружности T вещественнозначная функция. Тогда S(z; ϕ) является голоморфной в единичномкруге D функцией. Кроме того, если ϕ обращается в нуль на некоторой открытой дуге γ ⊂ T, то S(z; ϕ) аналитически продолжается через γ во внешность единичного круга и на γ функция S(z; ϕ) принимает чисто мнимыезначения.Доказательство.
Пусть z0 — произвольная точка единичного круга D. Выберем r > 0, меньшим половины расстояния от z0 до T. ПосколькуZz − z0κϕ(κ)S(z; ϕ) − S(z0 ; ϕ) =|dκ|,π(κ − z)(κ − z0 )Tто для z ∈ Ȯr (z0 ) имеет место следующееZZ S(z; ϕ) − S(z0 ; ϕ)κϕ(κ)|z−z|κϕ(κ)10 =|dκ||dκ|−22z − z0π(κ − z0 )π (κ − z)(κ − z0 )TTZ|z − z0 |6|ϕ(κ)||dκ|.4πr3TОтсюда следует комплексная дифференцируемость функции S(z; ϕ) в точке z0 .Поскольку z0 выбиралось произвольно, то голоморфность S(z; ϕ) в D доказана.Пусть теперь ϕ(κ) = 0 на открытой дуге γ ⊂ T. Для любого z0 ∈ γ расстояние от z0 до T \ γ будет положительным и поскольку в этом случаеZ1κ+zS(z; ϕ) =ϕ(κ)|dκ|,2πκ−zT\γто рассуждения, аналогичные проведенным в случае z0 ∈ D, приводят к непрерывности и комплексной дифференцируемости функции S(z; ϕ) на дуге γ. Кроме того, поскольку1 − |z|2κ+z=Re= 0κ−z|κ − z|2при z ∈ γ и κ ∈ T \ γ, то Re S(z; ϕ) = 0 на γ.
Аналитическое продолжениеS(z; ϕ) через дугу γ следует из принципа симметрии Римана— Шварца. Теорема доказана.Следствие 16.2. Для любой интегрируемой плотности ϕ интеграл Пуассона P (z; ϕ) является гармонической в единичном круге D функцией, а еслиплотность ϕ обращается в нуль на некоторой открытой дуге γ ⊂ T, тоP (z; ϕ) гармонически продолжается через γ во внешность единичного круга иP (z; ϕ) = 0 при z ∈ γ.125ЛЕКЦИИ ПО ТФКПОтметим три важных свойства интеграла Пуассона.1. Линейность. P (z; ϕ1 + ϕ2 ) = P (z; ϕ1 ) + P (z; ϕ2 ), P (z; αϕ) = αP (z; ϕ),где ϕ, ϕ1 , ϕ2 — плотности, а α — число.2. Монотонность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
