Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ветвей. Точка a называется изолированной особой точкой полной аналитической функции F, если существует проколотая окрестность Ȯr (a)и элемент (f, U ), U ⊂ Ȯr (a), этой функции, который продолжается вдоль любого пути в Ȯr (a). Пусть 0 < % < r и γ% — окружность с центром в точке a.Допустим также, что z0 ∈ γ% ∩ U . Тогда при продолжении начального элементавдоль пути γ% после ее обхода можем в результате получить тот же элемент. Вэтом случае точка a называется особой точкой однозначного характера.
Еслиобход γ% приводит к элементу, отличному от исходного, то a называется точкойветвления. В первом случае можно показать, что в окрестности Ȯr (a) выделяется ветвь функции F. Во втором случае возможны два варианта. Существуетцелое число n > 2 такое, что n-кратный обход γ% в одном направлении приводит104В. В. ГОРЯЙНОВ, Е.
С. ПОЛОВИНКИНк исходному элементу. Тогда точка a называется точкой ветвления конечногопорядка, а наименьшее из чисел n, обладающих этим свойством, называетсяпорядком ветвления. Если же обходы в одном направлении приводят каждый раз к новым элементам, то a называется точкой ветвления бесконечногопорядка или логарифмической точкой ветвления.Принцип симметрии Римана— Шварца.Рассмотрим теперь специальный случай аналитического продолжения, когда области D1 и D2 не пересекаются, а имеют общий участок границы.
Предварительно установим один результат, который иногда называют теорема о”стирании разреза“ .Лемма 14.1. Пусть область D и прямая L такие, что D ∩ L = I 6= ∅.Допустим также, что функция f непрерывна в D и голоморфна на D \ I.Тогда f является голоморфной и во всей области D.Доказательство. Поскольку свойство голоморфности является локальным, то для доказательства леммы достаточно установить голоморфность fв точках множества I, которое представляет собой систему непересекающихся интервалов на прямой L. Пусть a — произвольная точка множества I иOr (a) ⊂ D.
По предположению f непрерывна в Or (a). Поэтому в силу теоремы Морера голоморфность f будет доказана, если установить равенство нулюинтегралов от функции f по границе каждого треугольника, расположенногов Or (a). Заметим, что прямая L пересекает круг Or (a) по диаметру и делитего на два полукруга U + и U − .Пусть теперь ∆ — треугольник, который вместе с замыканием содержится вOr (a). Если ∆ полностью содержится в U + или U − , то равенствоZf (z)dz = 0∂∆следует из теоремы Коши. Пусть ∆+ = ∆ ∩ U + и ∆− = ∆ ∩ U − . ТогдаZZZf (z)dz =f (z)dz +f (z)dz.∂∆∂∆+∂∆−Однако, интегралы в правой части равенства равны нулю по теореме Коши илемма доказана.Следующий результат известен как принцип симметрии Римана— Шварца.Теорема 14.6.
Пусть D — область, симметричная относительно вещественной оси, и D+ = {z ∈ D : Im z > 0}, D− = {z ∈ D : Im z < 0}, I = D ∩ R.Допустим, что f является непрерывной на D+ ∪ I, голоморфной в D+ и принимает вещественные значения на I. Тогда она имеет аналитическое продолжение во всю область D, где удовлетворяет соотношению симметрииf (z) = f (z).ЛЕКЦИИ ПО ТФКП105Доказательство. Определим в области D функцию F посредством равенств(f (z), если z ∈ D+ ∪ I,F (z) =f (z), если z ∈ D− .Теорема будет доказана, если мы установим голоморфность функции F в области D. Голоморфность F в D+ следует из ее определения и предположенийтеоремы.
Пусть z0 ∈ D− и r > 0 такое, что Or (z0 ) ⊂ D− . Тогда в Or (z0 )функция F определяется по нижней формуле иF (z) − F (z0 )f (z) − f (z0 )f (z) − f (z0 )lim= lim= lim= f 0 (z0 ).z→z0z→z0z→z0z − z0z − z0z − z0Таким образом, F голоморфна в D \ I.Покажем, что F непрерывна в D. Для этого остается проверить непрерывность в точках на I.
Пусть x0 ∈ I и ε > 0. В силу непрерывности f на D+ ∪ Iнайдется такое δ > 0, что |f (z) − f (x0 )| < ε при z ∈ Oδ (x0 ) ∩ [D+ ∪ I]. Но тогдадля z ∈ Oδ (x0 ) ∩ D− будем иметь z ∈ Oδ (x0 ) ∩ D+ и в силу вещественностизначения f (x0 ) получаем|F (z) − f (x0 )| = |f (z) − f (x0 )| = |f (z) − f (x0 )| < ε.Поскольку x0 ∈ I и ε > 0 выбирались произвольно, то непрерывность F на I,а, следовательно, и в D доказана. Утверждение о голоморфности F в областиD следует из леммы.Доказанная теорема имеет очевидные обобщения в связи с тем, что любыедве окружности C1 и C2 в расширенной комплексной плоскости C можно отобразить друг на друга с помощью дробно-линейного преобразования.
ОбластьD можно выбирать симметричной относительно окружности C1 , а в качествеI тогда будет выступать пересечение C1 ∩ D. Если функция f голоморфна вчасти D+ области D, которая расположена внутри круга, ограниченного C1 ,непрерывна на D+ ∪ I и принимает значения f (z) ∈ C2 , когда z ∈ I, то ее можно продолжить аналитически во всю область D. При этом пары точек z1 , z2 ,симметричных относительно C1 , будут переходить в пары точек f (z1 ), f (z2 )симметричных относительно C2 . Принцип симметрии Римана— Шварца частоиспользуется для построения конформных отображений.§ 15. Мероморфные функцииВ конце параграфа 5 мы рассмотрели некоторые свойства целых функций,т. е.
таких, которые голоморфны во всей комплексной плоскости C.Определение 15.1. Функция f : C → C называется мероморфной, еслиона голоморфна в C, за исключением, быть может, изолированных особых точек, являющихся полюсами.Заметим, что целые функции составляют подкласс класса мероморфныхфункций. Другой важный подкласс мероморфных функций образуют рациональные функции. Отметим некоторые важные свойства рациональных функций.106В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНПусть P (z) = am z m + . . . + a0 , am 6= 0, — полином степени m и Q(z) =bn z n + . . . + b0 , bn 6= 0, — полином степени n. Допустим также, что P (z) и Q(z)не имеют общих множителей, а следовательно, общих нулей. Тогда наибольшееиз чисел m и n будем называть порядком рациональной функции P (z)/Q(z).Нули полинома P (z) являются нулями и функции R(z) с теми же кратностями,а нули полинома Q(z) представляют собой полюсы функции R(z) также с темиже кратностями.
Кроме того, из представленияR(z) =z m am + am−1 /z + . . . + a0 /z m= z m−n R1 (z),z n bn + bn−1 /z + . . . + b0 /z nгде R1 (z) → am /bn 6= 0 при z → ∞, видно, что z = ∞ является нулём функцииR кратности n − m, если m < n. В случае m > n в точке z = ∞ функция Rимеет полюс кратности m − n. Случай m = n соответствует устранимой особойточке в z = ∞ и эта точка не является нулём функции R. Таким образом,рациональная функция имеет одинаковое число нулей и полюсов в C с учётомих кратности. Это число совпадает с порядком рациональной функции.Пусть теперь A — произвольное комплексное число.
Тогда рациональнаяфункция R(z) − A имеет то же число полюсов в C (они просто совпадают),что и R(z). Следовательно, порядки этих рациональных функций совпадаюти функция R(z) − A имеет в C ровно k нулей с учётом их кратности, где k —порядок рациональной функции R(z). Другими словами, всякая рациональнаяфункция R(z) порядка k имеет в C ровно k нулей и k полюсов, а также каждоеуравнение R(z) = A имеет в точности k корней.15.1. Теорема Миттаг–Леффлера.
Возвращаясь к общему классу мероморфных функций, заметим, что в каждом круге |z| 6 R мероморфная функция может иметь лишь конечное число полюсов. В противном случае нашласьбы предельная точка полюсов. Накапливаться полюсы мероморфной функциимогут лишь к бесконечно удалённой точке. Допустим теперь, что f и g — двемероморфные функции, имеющие одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями разложений в ряды Лорана в окрестностях этих полюсов. Тогдаразность f (z) − g(z) будет целой функцией. Это наблюдение приводит к следующему выводу.
Общий вид мероморфной функции с заданными главнымичастями представляет собой сумму произвольной целой функции и некотороймероморфной функции с заданными главными частями. Например, совокупность мероморфных функций, имеющих простые полюсы с вычетом 1 в каждойточке z = n, n ∈ Z, описывается формулойf (z) = π ctg πz + h(z),где h — целая функция.Заметим, что главная часть мероморфной функции в полюсе z = a, a ∈C, имеет вид P (1/(z − a)), где P (z) — полином с нулевым свободным членом,т.
е. P (0) = 0. Вопрос построения мероморфной функции с конечным числомполюсов a1 , . . . , an , в которых функция имела бы главные части11P1, . . . , Pn,z − a1z − anЛЕКЦИИ ПО ТФКП107легко решается. СуммаnXPkk=11z − akпредставляет собой мероморфную функцию с требуемыми свойствами. Суммируя ее с произвольной целой функцией, получаем общий вид решения поставленной задачи.Сложнее обстоит дело в случае бесконечного числа полюсов.
В рассмотренном выше примере мероморфных функций с простыми полюсами в точкахz = n, n ∈ Z, ряд из главных частей∞X1z−nn=−∞не сходится ни в одной точке комплексной плоскости. Это означает, что мыдолжны преобразовать ряд из главных частей так, чтобы он стал сходящимся.Ряд из мероморфных функций будем называть сходящимся локально равномерно, если для любого компактного множества K, K ⊂ C, лишь конечноечисло членов ряда имеет полюсы на K, а после их удаления остаток ряда сходится равномерно на K.Следующий результат известен как теорема Миттаг— Леффлера.Теорема 15.1.
Пусть {ak }∞k=1 — последовательность различных точек, неимеющая ни одной предельной точки в C, а {Pk (z)}∞k=1 — последовательностьполиномов без свободных членов. Тогда существует мероморфная функцияf (z), которая имеет главные части Pk (1/(z − ak )) в точках ak , k = 1, 2, . . ., ине имеет других особых точек в C.Доказательство. Занумеруем точки последовательности полюсов так, чтобы выполнялись неравенства|a1 | 6 |a2 | 6 |a3 | 6 . . . .Допустим вначале, что a1 6=и выберем положительные числа αk , k = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
