Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В литературе этот результат известен как теорема Арцела — Асколи.Теорема 12.3. Пусть K — компактное в C множество и F ⊂ C(K) — семейство, которое равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на K.Тогда из любой последовательности {fn } ⊂ F можно выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится на K.Доказательство. В доказательстве выделим три пункта.1. Выбор счетного плотного подмножества в K. Если K является конечным множеством, то утверждение теоремы тривиально.
Поэтому будем считать, что K бесконечно, и построим счетное плотное в K подмножество. Длякаждого k = 1, 2, . . . рассмотрим разбиение комплексной плоскости на квадраты путем проведения параллельных координатным осям прямых с интерваломв 1/2k . Поскольку K является ограниченным множеством, то лишь конечноечисло замкнутых квадратов разбиения имеют не пустое пересечение с K. Вкаждом таком квадрате выберем по одной точке и полученное конечное множество обозначим через Qk . Тогда Q = ∪∞k=1 Qk будет счетным множеством,плотным в K.2. Выделение подпоследовательности функций, сходящейся на счетномподмножестве.
Занумеруем точки множества Q = {q1 , q2 , . . . } и выделим,используя диагональный метод Кантора, из {fn } подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке множества Q. Применяя к ограниченной числовойпоследовательности {fn (q1 )}∞n=1 принцип Больцано — Вейерштрасса, выделимсходящуюся подпоследовательность {f1,n (q1 )}∞n=1 . Для нумерации членов подпоследовательности мы используем двойные индексы (1, n) ∈ N. Далее, изограниченной числовой последовательности {f1,n (q2 )} выделим сходящуюсяподпоследовательность {f2,n (q2 )}. В силу того, что {f2,n } является подпоследовательностью {f1,n }, то {f2,n (q1 )} также является сходящейся последовательностью.
Продолжая процесс выбора подпоследовательностей, мы получимсчетное семейство подпоследовательностей исходной последовательности:f1,1 ,f1,2 ,f1,3 ,...f2,1 ,f2,2 ,f2,3 ,...f3,1 ,f3,2 ,f3,3 ,...............83ЛЕКЦИИ ПО ТФКППри этом каждая подпоследовательность {fm,n } сходится на множестве точекq1 , .
. . , qm из Q и является подпоследовательностью предыдущей {fm−1,n }.Таким образом, диагональная последовательность {fn,n } является подпоследовательностью исходной последовательности {fn } и сходится в каждой точкемножества Q.3. Доказательство равномерной сходимости выделенной подпоследовательности. Для упрощения обозначений будем писать gn = fn,n , n = 1, 2, . . .. Фиксируем произвольно ε > 0 и выберем δ > 0 так, чтобы для всех z 0 , z 00 из K, длякоторых |z 0 − z 00 | < δ, выполнялось неравенство |f (z 0 ) − f (z 00 )| < ε/3 при любойf из F. Это можно сделать в силу равностепенной непрерывности семействаF на K.Из способа построения множестваQk следует, что для любого z ∈ K най√дется такое q ∈ Qk√, что |z − q| < 2/2k .
Фиксируем k0 так, чтобы выполнялосьнеравенство δ > 2/2k0 . Далее, поскольку Qk0 является конечным множеством и последовательность {gn } сходится в каждой точке этого множества, томожно выбрать номер N так, чтобы|gn (q) − gm (q)| <ε3при всех q ∈ Qk0 и n, m > N . Но тогда для произвольного z ∈ K, выбираяq ∈ Qk0 ∩ Oδ (z), получаем для n, m > N|gn (z) − gm (z)| 6 |gn (z) − gn (q)| + |gn (q) − gm (q)| + |gm (q) − gm (z)|ε ε ε< + + = ε.3 3 3Это означает, что для последовательности {gn } выполняются условия критерияКоши равномерной сходимости на K.Пусть теперь D — произвольная область в комплексной плоскости C. Через H(D) будем обозначать совокупность голоморфных в области D функций.Заметим, что H(D) является линейным пространством.Определение 12.3.
Семейство F ⊂ H(D) называется локально равномерно ограниченным в D, если для всякой точки z0 ∈ D найдутся окрестностьOr (z0 ) ⊂ D и число M > 0 такие, что |f (z)| 6 M при всех z ∈ Or (z0 ) и f ∈ F.Как и в случае определения локально равномерной сходимости приведенноевыше определение можно переформулировать в терминах компактных множеств. Семейство F является локально равномерно ограниченным в областиD в том и только том случае, если на любом компактном множестве K ⊂ Dсемейство F является равномерно ограниченным.Теорема 12.4.
Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в Dсемейство. Тогда семейство производных F 0 = {f 0 : f ∈ F } также являетсялокально равномерно ограниченным в D семейством.Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка области D. По условиютеоремы найдутся r > 0 и M > 0 такие, что Or (z0 ) ⊂ D и |f (z)| 6 M для всех84В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНz ∈ Or (z0 ) и f ∈ F. В силу интегральной формулы Коши для производныхимеет место равенствоZf (ζ)1f 0 (z) =dζ2πi(ζ − z)2∂Or (z0 )для z ∈ Or (z0 ) и любой f ∈ F. Но тогда в круге Or/2 (z0 ) будет выполнятьсянеравенствоZ14M|f (ζ)||f 0 (z)| 6|dζ| 6,22π|ζ − z|r∂Or (z0 )т.
е. семейство F 0 равномерно ограничено в Or/2 (z0 ). Поскольку z0 выбираласьпроизвольным образом, то теорема доказана.Теорема 12.5. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в Dсемейство. Тогда на любом компактном множестве K ⊂ D это семействоявляется равностепенно непрерывным.Доказательство. Пусть K — компактное подмножество в области D. Поскольку расстояние d = dist(K, ∂D) от множества K до границы области Dположительно, то можно выбрать r ∈ (0, d). МножествоKr = {z : dist(z, K) 6 r}также будет компактным подмножеством области D, и по предыдущей теоременайдется такое M > 0, что|f 0 (z)| 6 Mпри всехz ∈ Krи f ∈ F.Пусть теперь ε > 0 фиксировано произвольным образом. Выберем δ <min{r, ε/M }.
Тогда для любых z 0 , z 00 из K, удовлетворяющих условию |z 0 −z 00 | <δ будем иметь [z 0 , z 00 ] ⊂ Kr и Z|f (z 0 ) − f (z 00 )| = f 0 (z)dz 6 M |z 0 − z 00 | < M δ 6 ε,[z0 ,z00 ]что и доказывает теорему.Теорема 12.6. Пусть F ⊂ H(D) — локально равномерно ограниченное в Dсемейство. Тогда из всякой последовательности {fn } ⊂ F можно выделитьподпоследовательность {fnk }, сходящуюся локально равномерно в D.Доказательство. Пусть K1 ⊂ K2 ⊂ . . . — компактное исчерпание областиD, т. е. Kj — компактные подмножества области D и ∪∞j=1 Kj = D. Такуюпоследовательность компактных множеств можно построить, например, следующим образом. Выберем R > 0 и натуральное N так, чтобы множество{z ∈ D : dist(z, ∂D) > 1/N,|z| 6 R}ЛЕКЦИИ ПО ТФКП85было не пусто.
Тогда в качестве компактного исчерпания можно взять последовательность множеств1Kj = z ∈ D : dist(z, ∂D) >, |z| 6 R + j ,N +jj = 1, 2, . . ..В силу предыдущей теоремы семейство F удовлетворяет на каждом компакте Kj условиям теоремы 12.3, т. е. оно на каждом Kj равномерно ограниченои равностепенно непрерывно. Применяя, как и при доказательстве теоремыАрцела — Асколи, диагональный метод Кантора, получаем подпоследовательность fnk , которая сходится равномерно на каждом компакте Kj , j = 1, 2, . . ..Пусть теперь K — произвольное компактное подмножество области D. Изпостроения последовательности {Kj } следует, что найдется такой номер j0 ,что K ⊂ Kj0 .
Поэтому выделенная подпоследовательность {fnk } сходится равномерно на K. Это и означает, что {fnk } сходится локально равномерно вобласти D.§ 13. Элементарные конформные отображенияи теорема Римана об отображенииДробно-линейные преобразования.Под дробно-линейным преобразованием понимается рациональная функцияL(z) =az + b,cz + d(13.1)где комплексные числа a, b, c, d называются коэффициентами преобразованияL и удовлетворяют условиюad − bc 6= 0.(13.2)Условие (13.2) отвечает за невырожденность отображения L, поскольку оноэквивалентно тому, что нуль числителя и нуль знаменателя не совпадают. Насбудет интересовать L как отображение расширенной комплексной плоскостиC на себя. В связи с этим отметим, что представление (13.1) не однозначно,поскольку умножение всех коэффициентов на одно и то же ненулевое число неизменяет самого отображения w = L(z).Предложение 13.1. Совокупность M всех дробно-линейных преобразований образует группу относительно операции композиции.Доказательство.
Пусть Lk (z) = (ak z + bk )/(ck z + dk ), k = 1, 2, — двадробно-линейных преобразования, т. е. ak dk − bk ck 6= 0. ТогдаL1 ◦ L2 (z) = L1 (L2 (z)) =(a1 a2 + b1 c2 )z + (a1 b2 + b1 d2 ).(c1 a2 + c2 d1 )z + (c1 b2 + d1 d2 )Чтобы убедиться в том, что L1 ◦ L2 является дробно-линейным преобразованием, нужно проверить выполнение условия (13.2) для этого отображения.
Простые вычисления показывают, что(a1 a2 +b1 c2 )(c1 b2 +d1 d2 )−(a1 b2 +b1 d2 )(c1 a2 +c2 d1 ) = (a1 d1 −b1 c1 )(a2 d2 −b2 c2 ) 6= 0,86В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНпоскольку условие (13.2) выполняется для L1 и L2 .Покажем теперь, что для каждого дробно-линейного преобразования L существует обратное L−1 и L−1 ∈ M. Решая уравнениеw =az + bcz + dотносительно z, находимz = L−1 (w) =dw − b.−cw + aУсловие (13.2) для L−1 эквивалентно этому же условию для L.Отметим, что группа M (которую также называют группой мебиусовых преобразований) не коммутативна. Существование обратного отображения доказывает, что дробно-линейное преобразование L осуществляет взаимно однозначное соответствие C на C. При этом L(∞) = a/c и L(−d/c) = ∞, если c 6= 0,и L(∞) = ∞, если c = 0.Предложение 13.2. Каждое дробно-линейное преобразование осуществляет конформное отображение C на себя.Доказательство.
Пусть L определяется равенством (13.1) с условием (13.2)на коэффициенты. Допустим вначале, что c 6= 0. Тогда для любого z 6= ∞ и6= −d/c выполняется условиеL0 (z) =ad − bc6= 0,(cz + d)2которое означает конформность L в точке z. В точке z = −d/c функция Lимеет простой полюс и, как следует из предыдущего параграфа, является конформным в этой точке. Бесконечно удаленная точка в рассматриваемом случаеявляется устранимой особой точкой и L(z) → a/c при z → ∞.
При этомaz(bc − ad)bc − adlim z L(z) −= lim=6= 0,z→∞z→∞ c(cz + d)cc2т. е. L конформна в точке z = ∞.Если c = 0, то в силу (13.2) коэффициенты a и d не должны обращатьсяв нуль. Поэтому L0 (z) = a/d 6= 0, что означает конформность L в конечныхточках. В бесконечно удаленной точке L имеет простой полюс и также являетсяконформным.Предложение 13.3. Пусть z1 , z2 , z3 — три различные точки в C. Тогдасуществует единственное T ∈ M, для которого T (z1 ) = 1, T (z2 ) = 0 и T (z3 ) =∞.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
