Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Конформное отображение, ассоциированное с голоморфной функцией, дает наглядное представлениео ней, подобно графику в случае функции вещественного переменного. Крометого, во многие области математики и ее приложения теория функций комплексного переменного входит через конформное отображение. Одной из наиболее важных проблем, возникающих при этом, является задача отысканияконформного отображения одной области на другую. Чтобы иметь представление о разрешимости этого вопроса в рамках элементарных функций, нужнохорошо знать их отображающие свойства. Последняя цель достигается, какправило, выяснением того, как преобразуются те или иные семейства кривых.В качестве исследуемых семейств кривых часто выбирают ортогональную сетку прямых, параллельных координатным осям, или используются полярныекоординаты и изучаются образы концентрических окружностей и лучей, выходящих из начала координат.Степенная функция.Пусть α > 0.
В области C\R+ можно выделить регулярную ветвь логарифмаи регулярную ветвь многозначной функции z α = eα ln z . Выделение этих ветвей,по существу, сводится к определению в C \ R+ ветви arg z. Будем считать, чтоветвь arg z выделена. Тогда для w = z α будут выполняться равенства|w| = |z|α ,arg w = α · arg z.Отсюда сразу же следует, что дуги, расположенные на концентрических окружностях с центром в начале координат, переводятся в дуги этого же семейства, алучи, выходящие из начала координат, взаимно однозначно отображаются натакие же лучи. При этом луч, выходящий из начала координат под углом θ кположительному направлению вещественной оси, переводится в луч, которыйв w-плоскости выходит под углом αθ.Таким образом, если 0 < α < 1, то степенная функция однолистно отображает область C\R+ на угловой сектор раствора α·2π.
В случае α > 1 степеннаяфункция не является однолистной в C \ R+ . Однако она будет однолистной влюбом угловом секторе раствора 2π/α. Из равенстваdwd α ln zw=e= αdzdzzследует, что степенная функция определяет конформное отображение во всехточках области C \ R+ .Экспоненциальная функция.92В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНРассмотрим отображающие свойства функции w = ez . Если z = x + iy,то w = ex eiy , откуда видно, что прямая z = x + iy0 , −∞ < x < ∞, взаимнооднозначно отображается на луч w = ex eiy0 , −∞ < x < ∞, который выходитиз начала координат и образует с положительным направлением вещественнойоси угол, равный y0 . Прямые, параллельные мнимой оси, отображаются наокружности с центром в начале координат. При этом каждая точка окружности является бесконечно-кратной, поскольку функция ez имеет период 2πi.Всякая другая прямая в z-плоскости переходит в логарифмическую спиральв w-плоскости.
Областью однолистности экспоненциальной функции являетсявсякая горизонтальная полоса, имеющая ширину, не превышающую 2π. В частности, горизонтальная полоса {z : y1 < Im z < y2 } при y2 − y1 < 2π однолистноотображается на сектор {w : y1 < arg w < y2 }, который в случае y2 − y1 = πявляется полуплоскостью. Посколькуd ze = ez 6= 0,dzто отображение, осуществляемое экспоненциальной функцией, конформно вкаждой точке.Функция Жуковского.Рациональная функция1w =21z2 + 1z+=z2zназывается функцией Жуковского.
Ее название обусловлено тем, что этуфункцию Жуковский применил для аэродинамического расчета крыла самолета. Она имеет два простых полюса в точках z = 0 и z = ∞. Поскольку11dw=1− 2 ,dz2zто отображение, осуществляемое функцией Жуковского, конформно во всехточках расширенной комплексной плоскости C, за исключением двух точекz = ±1.
Конформность в точках z = 0 и z = ∞ следует из того, что в этихточках функция имеет простые полюсы.Выясним теперь, каким свойством должна обладать область D ⊂ C, чтобыфункция Жуковского была в ней однолистна. Пусть z1 , z2 — произвольные дветочки в C \ {0}. Из равенства 111z1 +− z2 += (z1 − z2 ) 1 −z1z2z1 z2видно, что D является областью однолистности функции Жуковского в томи только том случае, если она не содержит пары точек z1 , z2 , для которыхz1 z2 = 1. Простейшими такими областями являются внутренность и внешностьединичного круга, а также верхняя и нижняя полуплоскости.Для более полного представления о характере отображения, осуществляемого функцией Жуковского, положим z = reiθ и w = u + iv. Другими словами, вЛЕКЦИИ ПО ТФКП93z-плоскости мы рассматриваем полярные координаты, а в w-плоскости декартовы.
Тогда1111u =r+cos θ,v =r−sin θ.2r2rИз этих равенств следует, что окружность |z| = r, r 6= 1, переходит в эллипс сполуосями1 111 a =r+,b = r − 2r2rи фокусами в точках w = ±1. Действительно,u2v2+= 1a2b2и c2 = a2 − b2 = 1 (т. е. (−c, 0), (c, 0) — фокусы эллипса). При этом положительному обходу точкой z окружности |z| = r при r > 1 соответствует положительный обход эллипса точкой w, а в случае r < 1 обход эллипса осуществляется впротивоположном направлении. Кроме того, окружностям |z| = r и |z| = 1/rсоответствует в w-плоскости один и тот же эллипс. Единичная окружность|z| = 1 переходит в отрезок [−1, 1], который обходится дважды. К этому отрезку стягиваются эллипсы, которые являются образами окружностей |z| = r приr → 1.Пусть теперь θ ∈ (0, π/2) фиксировано, а r меняется от 0 до +∞. Тогда длявсех w, соответствующих точкам этого луча, будет выполняться равенствоu2v2−= 1,2cos θ sin2 θт.
е. точки w находятся на гиперболе с теми же фокусами w = ±1. Легковидеть, что когда r меняется от 0 до ∞, точка w движется по правой ветвигиперболы снизу — вверх. Если изменить знак θ, т. е. взять его из интервала (−π/2, 0), то образом этого луча будет та же ветвь гиперболы, но с противоположным обходом. Лучи, выходящие из начала координат под угломθ ∈ (π/2, π) к положительному направлению вещественной оси, отображаютсяна левые ветви гипербол, которые обходятся снизу — вверх. Смена знака θ ив этом случае приводит лишь к смене направления обхода ветви гиперболы.Отметим также, что v = ± tg θ · u — уравнения асимптот гиперболы.Образом луча, соответствующего θ = 0, является луч [1, ∞), который обходится дважды. Аналогично, образом луча, соответствующего значению θ = π,является луч (−∞, −1], который также обходится дважды. Для лучей с направлением θ = ±π/2 образами является мнимая ось с противоположнымиобходами.В силу конформности отображения, осуществляемого функцией Жуковского, семейство эллипсов (образов окружностей) и семейство гипербол (образовлучей) образуют ортогональную сетку в w-плоскости.Из приведенных выше рассуждений видно, что функция Жуковского конформно отображает внутренность, а также и внешность, единичного круга наC \ [−1, 1].
Верхняя и нижняя полуплоскости конформно отображаются наплоскость с двумя разрезами по лучам (−∞, −1] и [1, ∞).94В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНКруговое свойство дробно-линейных преобразований позволяет конформноотобразить любой круг (или полуплоскость) на область, ограниченную окружностью в C. Оказывается, что дробно-линейными преобразованиями и исчерпываются все конформные отображения одной круговой области на другую.Теорема 13.4. Совокупность всех конформных (голоморфных и однолистных) отображений f единичного круга D на себя описываются формулойf (z) = eiθгде a ∈ D, θ ∈ R.z−a,1 − az(13.5)Доказательство.
Выясним вначале вид дробно-линейного преобразования L, которое отображает D на себя, т. е. L(D) = D. При этом отображенииединичная окружность T должна перейти в себя. Пусть a ∈ D — точка, которая переходит в начало координат L(a) = 0.
В силу принципа симметрии точкаa∗ = 1/a перейдет в бесконечно удаленную точку. Таким образом, определились нули числителя и знаменателя дробно-линейного преобразования L, а сним и вид отображенияz−az−aL(z) = A= κ.z − 1/a1 − azПоскольку при z ∈ T z−a = z − a = 1, 1 − az z − aто |κ| = 1 или κ = eiθ , θ ∈ R. Кроме того, всякое отображение вида (13.5) осуществляет конформное отображение D на себя, поскольку является дробно-линейным преобразованием, которое переводит единичную окружность на себя,а точку a из D переводит в начало координат.Допустим теперь, что f : D 7→ D — произвольное конформное отображение Dна себя, и пусть f (0) = a, a ∈ D. Рассмотрим дробно-линейное преобразованиеz−a,1 − azкоторое отображает D на себя и переводит точку a в начало координат.
Тогдаϕ(z) = L ◦ f (z) также конформно отображает D на себя и ϕ(0) = 0. По леммеШварца|ϕ(z)| 6 |z|L(z) =для всех z ∈ D. С другой стороны, ϕ−1 также удовлетворяет условиям леммыШварца и потому|ϕ−1 (w)| 6 |w|для всех w ∈ D. Полагая в этом неравенстве w = ϕ(z), получаем|z| 6 |ϕ(z)|,что вместе с предыдущим неравенством приводит к тождеству |ϕ(z)| ≡ |z|. Всилу леммы Шварца тогда ϕ(z) ≡ κz, где |κ| = 1. Следовательно,L ◦ f (z) ≡ κzиf (z) = L−1 (κz),т.
е. f является дробно-линейным преобразованием.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП95Аналогично можно найти общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на единичный круг. Снова ими будут лишь дробно-линейные преобразования. Пусть w = L(z) — дробно-линейное преобразование, отображающее верхнюю полуплоскость Im z > 0 на единичный круг |w| < 1. Пусть A ∈ C,Im A > 0, — точка, которая переходит в начало координат, т. е. L(A) = 0. Тогда,поскольку L(R) = T, то симметричная точка A должна перейти в бесконечноудаленную точку. Следовательно, L должна иметь видL(z) = κz−A.z−AПоскольку |x − A| = |x − A| при x ∈ R, то условие соответствия вещественнойоси и единичной окружности приводит к равенству |κ| = 1.
Таким образом,общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на единичныйкруг определяется формулойL(z) = eiθz−A,z−Aгде θ ∈ R и Im A > 0.В геометрически ориентированной части теории аналитических функцийпроблема конформного отображения играет доминирующую роль. Теоремысуществования и единственности позволяют определить аналитическую функцию с важными свойствами, минуя ее аналитическую запись.В 1851 г. Риман объявил о фундаментальной теореме, согласно которойкаждую односвязную область, отличную от всей плоскости, можно конформно отобразить на единичный круг. Однако его доказательство оказалось нелишенным недостатков, на которые обращал внимание Вейерштрасс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
